第四章 随機數産生原理; 一、引言;1、數值計算的研究;這是一個衆所周知的積分公式，我們當然也可以把它一般的看為是一個高維積分，如果從傳統的數值計算方法來看待，則高維問題是随着維數的增加計算量成指數增加的，計算很快就失去控制。但是如果我們換一個角度來看待這個問題，從機率論的角度，它實際是：;【例4.1.1】 用Monte-Carlo 對 積分;面積計算結果為：s = 0.3482
;【例4.1.2】 利用Monte-Carlo方法計算定積分。;這裡 x 是積分定義域中的均勻分布随機數???這是革命性的一個視角。從這個視角，我們把繁難的積分計算變成了簡單的算術平均，而大量的抽樣計算又是計算機的拿手好戲，更重要的是當維數增加時并不增加計算難度，進而用 Monte-Carlo 方法研究高維積分問題已是當今計算數學界的熱門課題。;;例：用計算機模拟高分子鍊;鍊的末端距;二、僞随機數産生原理 ;基本定理：如果随機變量X的分布函數F(x)連續，則R = F(x)是[0，1]上的均勻分布的随機變量。證：因為分布函數F(x)是在(0，1)上取值單調遞增的連續函數，是以當X在(－∞，x)内取值時，随機變量R則在(0，F(x))上取值，且對應于(0，1)上的一個R值，至少有一個x滿足，見圖4.2.1;; 基本定理給出了任一随機變量和均勻分布R之間的關系。而有些随機變量可以通過分布函數的逆變換來獲得，是以如果我們可以産生高品質的均勻分布，我們就可以通過變換獲得高品質的其他分布。見公式 (4.2.3)
;例4.2.1 産生1000個均勻分布随機數，利用變換産生λ=6的指數分布并進行拟合優度檢驗。;;三、 (0，1)均勻分布随機數的産生;為了達到快速的要求，一般采用遞推公式;乘同餘法; 例4.3.1 曆史上比較有名的稱為“菲波那西”數列為加同餘法 的特例。?;我們知道對于一個來自均勻分布的随機序列，應該滿足獨立性、均勻性等統計特性，但僞随機數往往有一些缺陷，例如 (4.3.7) 序列到一定長度後，又開始重複下面的序列，這稱為周期性是一種明顯的規律，與随機性沖突。通常我們隻能選用一個周期内的序列作為我們的僞随機數。是以研究一種算法，使得其産生的随機序列的周期盡可能長，我們可以通過調節(4.3.1)的參數來實作。是以如何來獲得一個周期比較長的序列，就成了我們研究的一個内容：有關僞随機數序列的周期有如下的一些結論：;定理 4.3.1 混合同餘法産生序列達最大周期 M 的充要條件： (1) b 與 M 互素 (2) 對于 M 的任意素因子 p，有 (3)?如果 4 是 M 的因子，則 顯然乘同餘法産生的序列達不到周期 M(不滿足(1))。當取 (k為任意整數)時，因為 M 隻有一個素因子2， 且4是 M 的因子，則由條件(2)、(3)有 ，進而混合同餘發生器達到最大周期的算法為：
?;其中c，d為任意整數。混合同餘發生器是否達到最大周期M與初始值無關。;利用這些性質可得到以下定理。定理4.3.2 對乘同餘發生器，若 ，則使
成立得最小正整數 V 就是此發生器得周期。;從算法上我們知道公式是遞推的，是以一般的随機發生器程式都要預先賦初值，這種初值為種(Seed)，有些統計軟體如SPSS要求使用者給出Seed.以均勻分布(0，1)随機變量R變換成的随機變量。以r,ε,u,分别表示 (0,1) 均勻分布,指數分布，N(0,1) 标準正态分布。其他常見的分布如卡方分布、F分布等的抽樣方法見表4.3.1。
;;四、其他分布随機數的産生 ;;其中，函數 ， 的逆變換存在，記為;例4.4.2 用變換抽樣産生标準正态分布的随機變量 U 随機變量 U 的密度函數為:;由(4.4.2)，随機變量 的密度函數;3) 随機變量的商 X/Y;若随機變量
的各個分量獨立且同分布，則值序統計量 的密度函數和分布函數分别為：;特别當随機變量 為[0，1]上的均勻分布時，得密度函數為：;;我們來驗證(2)，即是否服從a=1，b=5的貝塔分布，按公式抽5個均勻分布的随機數，取其中最小的為一個樣本，共取1000個，然後用分布的Kolmogorov-Smirnov拟合優度檢驗，程式如