3D變換中的四元數

在3D程式中，通常用quaternion來計算3D物體的旋轉角度，與Matrix相比，quaternion更加高效，占用的儲存空間更小，此外也更便于插值。在數學上，quaternion表示複數w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虛數機關：

i*i = j*j = k*k= -1

i*j = k, j*i = -k

可以把quaternion看做一個标量和一個3D向量的組合。實部w表示标量，虛部表示向量标記為V，或三個單獨的分量（x,y,z）。是以quaternion可以記為[ w, V]或[ w，（x,y,x）]。對quaternion最大的誤解在于認為w表示旋轉角度，V表示旋轉軸。正确的了解應該是w與旋轉角度有關，v與旋轉軸有關。例如，要表示以向量N為軸，軸旋α度,相對的quaternion應該是：

q = [ cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N]

  =[ cos(α/ 2) , ( sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz ) ]

為了計算友善，一般要求N為機關矢量。對quaternion來說使用四個值就能記錄旋轉，而不是Matrix所需的十六個值。為什麼用quaternion來計算旋轉很友善呢?先說過quaternion是一個複數,如果你還記得一點點複數的知識,那麼應該知道複數乘法(叉乘)的幾何意義實際上就是對複數進行旋轉。對最簡單的複數p= x + yi來說，和另一個複數q = ( conα，sinα)相乘，則表示把p沿逆時針方向旋轉α：

p’ = pq

當然，x+yi的形式隻能表示2D變換，對3D變換來說就需要使用 quaternion了，而且計算也要複雜一點。為了對3D空間中的一個點p（x,y,z）進行旋轉，需要先把它轉換為quaternion形式p = [0, ( x, y, z)]，接下來前面讨論的内容，定義q = cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N為旋轉quaternion，這裡N為機關矢量長度的旋轉軸，α為旋轉角度。那麼旋轉之後的點p’則為：

       p’ = qpq-1