當有限元分析中需要使用超彈性材料模型時，工程師通常很少有實質性的資料來幫助他們進行超彈有關的非線性分析。有時幸運的工程師會有一些拉伸或壓縮應力-應變實驗資料，或者還會有一個簡單的剪應力-應變實驗資料。正确地處理這些資料是分析非線性超彈模型的關鍵一步，而對這些資料進行曲線拟合而得出對應超彈模型的材料參數就顯得尤為重要。今天我們就來了解一下超彈模型相關的實驗資料及其曲線拟合，最後也會在MatEditor軟體中給出曲線拟合的執行個體。
應變能密度函數中的材料常數确定了超彈性模型的力學響應。為了在超彈性分析中獲得正确的結果，需要評估被測材料的模型常數。這些常數通常是根據實驗應變-應力資料通過曲線拟合得出的。測試資料通常取較大範圍内的幾種變形模式。使用至少與有限元分析中所要經曆的變形狀态一樣多的測試資料，拟合出的材料常數才能準确展現材料的力學響應。
對于超彈性材料，可以使用簡單的變形測試來拟合材料常數。下圖表現了6個不同的變形模式。來自多種變形狀态下的資料組合要比單一類型的變形資料更好，更可以得到準确的超彈材料參數。
盡管存在6種不同的變形狀态，但是我們發現在施加靜水壓力後，以下變形模式會變得相同：單軸拉伸和等雙軸壓縮，單軸壓縮和等雙軸拉伸，平面張力和平面壓縮。通過這些等效的測試模式，我們隻需要這三種獨立的變形模式的實驗資料。
單軸拉伸一種簡單拉伸測試的應力-應變資料。必須提供這類測試資料，才能模拟計算拉伸應變狀态。測試資料中不存在側向限制。單軸壓縮資料可以從等雙軸資料中得出。
單軸拉伸下的第一和第二應變不變量為：
所對應的工程應力與主拉伸率的關系為：
等雙軸拉伸測試中的應力-應變資料。通過在兩個方向上均勻拉伸，展現出相當于純壓縮的應變狀态。單軸壓縮資料可以從等雙軸資料中得出。
等雙軸拉伸下的第一和第二應變不變量為：
所對應的工程應力與主拉伸率的關系為：
對于超彈性材料，這通常是指大幅拉伸的樣品，但由于該材料幾乎不可壓縮，是以存在純剪切狀态。
第一和第二應變不變量為：
所對應的工程應力與主拉伸率的關系為：
此資料用于确定體積模量。對于超彈材料，如果材料可稍加壓縮或部件整體受限制，則此資料較為重要。體積模量通常比剪切模量大2-3個數值階次。對于泡沫材料，體積資料對計算材料的可壓縮性十分重要。
超彈模型與曲線拟合由于每一種超彈模型對應的材料常數數量和實體意義都不一樣，需要在這裡給出每種超彈模型的應變能。目前，MatEditor已經支援下列常見超彈模型：
Arruda-Boyce模型
其中u是初始剪切模量，lambda是有限網格拉伸，D1是不可壓縮參數。
Blatz-Ko模型
其中u是初始剪切模量。
Gent模型
其中u是初始剪切模量，Jm是I1-3項的限定值，D1是材料不可壓縮參數。
Mooney-Rivlin 2參數模型
其中，C10，C01，和D1是材料參數。
Mooney-Rivlin 3參數模型
其中，C10，C01，C11，和D1是材料參數。
Mooney-Rivlin 5參數模型
其中，C10，C01，C20，C11，C02，和D1是材料參數。
Mooney-Rivlin 9參數模型
其中，C10，C01，C20，C11，C02，C30，C21，C12，C03 和D1是材料參數。
Neo-Hookean模型
其中，u是初始剪切模量，D1是材料不可壓縮參數。
Ogden模型
其中，N确定多項式階數，u和a是材料參數，D是不可壓縮參數。
多項式模型
其中，N确定多項式階數，c_ij和D是材料參數。
Yeoh模型
其中，N确定多項式階數，c_i0和D是材料參數。
根據具體條件，使用者可以通過結合測量得到的單軸拉伸、壓縮、雙軸拉伸和體積測試資料來更好地估算材料參數。這些測試資料随後可以對每個超彈模型進行曲線拟合。
給定測試資料和具體超彈模型後，材料常數可以通過最小二乘法計算殘差得到最優的參數結果，常用Levenberg-Marquardt 求解器來實作最小化算法。拟合曲線是目前找出超彈性材料模型中材料參數最主要的方法之一；但還應考慮給定超彈性材料模型的穩定性。通常采用Drucker穩定性準則來确定材料的穩定性。根據Drucker準則，與增量應力相關的應變能應大于零。如果違反了該準則，材料模型将會不穩定。在實際數值計算中，常用的方法是檢查材料剛度矩陣的正定性，以此來确定給出的材料常數是否穩定。
使用MatEditor進行超彈材料曲線拟合工程材料編輯軟體MatEditor已經支援了多種超彈模型材料及其參數拟合。通過輸入應力-應變試驗資料，就可以得到用于有限元分析的超彈材料常數。MatEditor不僅能夠使用試驗資料拟合出所選本構函數（應變能函數）的參數，而且還能将本構函數曲線與試驗資料（名義應力-應變曲線）繪制在同一圖表中，便于對比拟合效果。這樣，使用者可以利用實驗應力應變資料直接讓程式自己拟合出超彈材料模型的參數。
目前MatEditor和WelSim已經支援的超彈曲線拟合模型有：Arruda-Boyce, Mooney-Rivlin, Neo-Hookean，Ogden， Polynomial，和Yeoh模型。本例使用經典的Mooney-Rivlin 9 作為示例，曲線拟合基本步驟如下：
1. 選擇超彈性材料
從超彈清單中選擇Mooney-Rivlin 9材料屬性，添加至材料屬性編輯視窗。此時的參數為空白需要使用者輸入或者參數拟合。
2. 從測試資料清單中選擇添加單軸、雙軸、和剪切三種試驗資料，并在表格中輸入測試數值，如下圖所示單軸拉伸試驗資料。MatEditor也支援多個溫度下的測試資料。測試資料需要覆寫後續仿真的應變範圍。如果資料較多，使用者可以通過檔案導入的方式輸入應力-應變資料。
3. 确認測試資料輸入正确後。右鍵點選Mooney-Rivlin 9屬性，添加曲線拟合屬性。
4. 右鍵點選剛添加的曲線拟合屬性，計算，并拷貝計算值至材料屬性中。
5. 如果計算并指派成功，可以檢視拟合後的材料參數和曲線狀況。
6. 對比曲線和測試資料的差異。并決定是否采用這些參數進行後續的分析工作。本例中，已經計算出了Mooney-Rivlin的9個參數。而體積資料用來計算最後一個資料d（不可壓縮性因子，與泊松比有關），可以通過體積實驗曲線拟合得到。如果沒有體積試驗曲線，則d=0，這種情況下可能需要手工修改d值，如果知道泊松比u，則可用如下公式計算：d=(1-2u)/(c1+c2)。注意此式是建立在幾乎不可壓縮（u接近于或等于0.5）的前提下的。
現給出同一組資料下，不同模型曲線拟合的結果。可以直覺地了解不同超彈模型曲線拟合的特點。
1. 若要得到精确的材料常數，曲線拟合中輸入的應力-應變資料必須涵蓋分析中将遇到的完整載荷範圍。例如，如果部件除了拉伸和壓縮以外，還會遇到剪切應力，則必須輸入純剪切應力-應變資料。簡單拉伸本身不足以對這些情況下的材料行為進行模組化。如果隻拟合單軸資料，并使用計算的參數用于實際雙軸變形分析，可能會得到錯誤的有限元分析結果。在材料參數估計中，最好能結合不同的大變形模式執行曲線拟合，而非隻使用一種變形模式。
2. 在大多數情況下，曲線拟合例程無法達到完美的精度。曲線拟合的結果很大程度上取決于所需範圍内給定的測試資料。
3. 大多數的超彈模型是基于完全不可壓縮理論的（除了Blatz-Ko和Ogden Foam等），是以對于這些模型而言，輸入參數時，要注意其破松比應該接近0.5，一般大于0.49。這樣才能在有限元計算中得到合理的結果。
本文中，我們讨論了各種用于橡膠材料的常用非線性超彈模型及其曲線拟合。為了将材料參數拟合到材料模型中，我們需要正确的測量資料。我們還分析了一些典型的實驗測試、材料模型選擇。通過在MatEditor軟體示例，示範了如何在非線性超彈模型中直接使用測量資料，并拟合到不同超彈性材料模型的參數。
最後，給出相關軟體操作視訊，供大家參考。
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