1.、素數測試問題
數學原理
Wilson定理:對于給定的正整數n,判定n是一個素數的充要條件是(n-1)!
-1(mod n)。
費爾馬小定理:如果p是一個素數,且0<a<p,則a^(p-1)
1(mod p)。 例如67是一個素數,則2^66mod67=1.利用費爾馬小定理,對于給定的正整數n,可以設計一個素數判定算法。通過計算d=2^(n-1)mod n來判定整數n的素性。當d!=1時,n肯定不是素數;當d=1時,n則可能是素數。但也存在合數n使得2^(n-1)
1(mod n)。例如,滿足此條件的最小合數是n=341。
二次探測定理:如果p是一個素數,且0<x<p,則方程x^2
1(mod p)的解為x=1,p-1。
Carmichael數:費爾馬小定理是素數判定的一個必要條件。滿足費爾馬小定理條件的整數n未必全是素數。有些合數也滿足費爾馬小定理的條件,這些合數稱為Carmichael數。前3個Carmichael數是561,1105,1729。Carmichael數是非常少的,在1~100000000的整數中,隻有255個Carmichael數。
求a^m(mod n)的算法
設m的二進制表示為bkbk-1…b1b0(bk=1)。
例:m=41=101001(2),bkbk-1…b1b0=101001,(k=5)。
可以這樣來求a^m:初始C←1。
b5=1:C←C^2(=1),∵bk=1,做C←a*C(=a);
b5b4=10:C←C^2(=a^2),∵bk-1=0,不做動作;
b5b4b3=101:C←C^2(=a^4),∵bk-2=1,做C←a*C(=a^5);
b5b4b3b2=1010:C←C^2(=a^10),∵bk-3= b2=0,不做動作;
b5b4b3b2b1=10100:C←C^2(=a^20),∵bk-4= b1=0,不做動作;
b5b4b3b2b1b0=101001:C←C^2(=a^40),∵bk-5= b0=1,做C←a*C(=a^41)。
最終要對am求模,而求模可以引入到計算中的每一步:
即在求得C2及a*C之後緊接着就對這兩個值求模,然後再存入C。
這樣做的好處是存儲在C中的最大值不超過n-1,
于是計算的最大值不超過max{(n-1)^2,a(n-1)}。
是以,即便am很大,求am(mod n)時也不會占用很多空間。
代碼實作:
//随機化算法 蒙特卡羅算法 素數測試問題
//#include "stdafx.h"
#include "RandomNumber.h"
#include
#include
using namespace std;
//計算a^p mod n,并實施對n的二次探測
void power(unsigned int a,unsigned int p,unsigned int n,unsigned int &result,bool &composite)
{
unsigned int x;
if(p == 0)
{
result = 1;
}
else
{
power(a,p/2,n,x,composite); //遞歸計算
result = (x*x)%n; //二次探測
if((result == 1) && (x!=1) && (x!=n-1))
{
composite = true;
}
if((p%2)==1)
{
result = (result*a)%n;
}
}
}
//重複調用k次Prime算法的蒙特卡羅算法
bool PrimeMC(unsigned int n,unsigned int k)
{
RandomNumber rnd;
unsigned int a,result;
bool composite = false;
for(int i=1; i<=k; i++)
{
a = rnd.Random(n-3)+2;
power(a,n-1,n,result,composite);
if(composite || (result!=1))
{
return false;
}
}
return true;
}
int main()
{
int k = 10;
for(int i=1010;i<1025;i++)
{
cout< }
return 0;
}
View Code
#include"time.h"
//随機數類
const unsigned long maxshort = 65536L;
const unsigned long multiplier = 1194211693L;
const unsigned long adder = 12345L;
class RandomNumber
{
private:
//目前種子
unsigned long randSeed;
public:
RandomNumber(unsigned long s = 0);//構造函數,預設值0表示由系統自動産生種子
unsigned short Random(unsigned long n);//産生0:n-1之間的随機整數
double fRandom(void);//産生[0,1)之間的随機實數
};
RandomNumber::RandomNumber(unsigned long s)//産生種子
{
if(s == 0)
{
randSeed = time(0);//用系統時間産生種子
}
else
{
randSeed = s;//由使用者提供種子
}
}
unsigned short RandomNumber::Random(unsigned long n)//産生0:n-1之間的随機整數
{
randSeed = multiplier * randSeed + adder;//線性同餘式
return (unsigned short)((randSeed>>16)%n);
}
double RandomNumber::fRandom(void)//産生[0,1)之間的随機實數
{
return Random(maxshort)/double(maxshort);
}
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