【BZOJ 4403】【推公式+Lucas定理】 序列統計

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描述：

4403: 序列統計

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Description

給定三個正整數N、L和R，統計長度在1到N之間，元素大小都在L到R之間的單調不降序列的數量。輸出答案對10^6+3取模的結果。

Input

輸入第一行包含一個整數T，表示資料組數。第2到第T+1行每行包含三個整數N、L和R，N、L和R的意義如題所述。

Output

輸出包含T行，每行有一個數字，表示你所求出的答案對106+3取模的結果。

Sample Input

2 1 4 5 2 4 5

Sample Output

25

HINT

提示

【樣例說明】滿足條件的2個序列為[4]和[5]。

【資料規模和約定】對于100%的資料，1≤N,L,R≤10^9，1≤T≤100，輸入資料保證L≤R。

Source

By yts1999

題意：

統計長度在 1 到 N 之間，元素大小都在 L 到 R 之間的單調不降序列的數量。

思路：

（雖然題目很簡潔但是公式的推導需要思考一下）

先推公式

設 M=R−L+1  

長度為 i ，元素大小在 1...M 之間的單調不降序列的數量有 CM−1i+M−1 個 

故答案為 

∑Ni=1CM−1i+M−1  

=(∑Ni=1CM−1i+M−1)+CMM−1  

=(∑Ni=2CM−1i+M−1)+CMM+1−1  

=(∑Ni=3CM−1i+M−1)+CMM+2−1  

...  

=CMN+M−1  

然後Lucas定理直接上就行了

公式推導的解釋：假設序列長度為n，區間為[l,r]，首先求出這一段的答案。

對于任意一個序列，将第i個數+i，那麼原來的問題就轉化為了n個在[l+1,r+n]區間以内的單調遞增的序列的個數。後者又相當于在[l+1...r+n]這r-l+n個數中取n個的方案數，即為C(r-l+n,n)=C(r-l+n,r-l)

是以，答案就相當于C(r-l+1,r-l)+C(r-l+2,r-l)+...+C(r-l+n,r-l)=C(r-l+n+1,r-l+1)-C(r-l,r-l)=C(r-l+n+1,n)-1。

由于模數不是很大，是以後面的答案是很容易得出的。如果知道lucas定理，會更簡單一點。

不預處理會逾時。

PS:lucas 定理用來計算組合數模素數。如果素數P可以先确定，則可以 O(P) 預處理，每次計算時間複雜度為 O(logpN) ，不預處理的時間複雜度O(mlogp)。

代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using  namespace  std;
typedef long long ll;

const int mod=1e6+3;
ll fac[mod],inv[mod];
void Pretreatment(){//預處理
    int i;
    for(fac[0]=1,i=1;i<mod;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    for(inv[1]=1,i=2;i<mod;i++)
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(inv[0]=1,i=1;i<mod;i++)
        (inv[i]*=inv[i-1])%=mod;
}

ll C(int n,int m){
    if(n<m) return 0;
    if(n<mod && m<mod)
        return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n-m] % mod ;
    return C(n/mod,m/mod) * C(n%mod,m%mod) % mod ;
}

int  main(){
  int t;
  ll n,l,r;
  scanf("%d",&t);
  Pretreatment();
  while(t--){
    scanf("%d%d%d",&n,&l,&r);
    int m=r-l+1;
    printf("%d\n",(C(n+m, m)-1+mod)%mod);
  }
  return 0;
}