【矩陣乘法】[NOI2013]向量内積

題目描述

兩個 d 維向量 A=[a1,a2,…,ad] 與 B=[b1,b2,…,bd] 的内積為其相對應次元的權值的乘積和，即：

⟨A,B⟩=∑i=1daibi=a1b1+a2b2+⋯+adbd

現在有 n 個 d 維向量 x1,x2,…,xn ，小喵喵想知道是否存在兩個向量的内積為 k 的倍數。請幫助她解決這個問題。

輸入格式

第一行包含 3 個正整數 n,d,k ，分别表示向量的個數，維數以及待檢測的倍數。

接下來 n 行每行有 d 個非負整數，其中第 i 行的第 j 個整數表示向量 xi 的第 j 維權值 xi,j。

輸出格式

包含兩個整數，用空格隔開。

如果存在兩個向量 xp,xq 的内積為 k 的整數倍，則輸出兩個向量的編号 p 與 q （要求 p<q）。如果存在多組這樣的向量組合，輸出其中任意一組即可。

若不存在這樣的向量組合，則輸出兩個 −1 。

樣例一

input

3 5 2
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 1 0 1 1

      

output

2 3

      

explanation

⟨x1,x2⟩=1 ， ⟨x1,x3⟩=1 ， ⟨x2,x3⟩=2 。

限制與約定

測試點編号	n	d	k	xi,j
1	2	20	2	≤10
2	5	20	2	≤10
3	10	20	3	≤10
4	20	20	2	≤100
5	50	20	3	≤100
6	50	50	2	≤1000
7	50	50	3	≤3000000
8	80	80	2	≤3000000
9	100	100	3	≤3000000
10	500	100	3	≤3000000
11	1000	100	2	≤3000000
12	1000	100	3	≤3000000
13	10000	100	2	<10
14	10000	100	3	<10
15	15000	100	2	<10
16	18000	100	2	<10
17	20000	100	2	<10
18	50000	30	3	<10
19	80000	30	3	<10
20	100000	30	3	<10

時間限制： 5s

空間限制： 256MB

分析

注意:以下運算都在模k意義下

k=2

我們把這些向量看成一個 n×d 的矩陣 A

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x1,1x2,1⋮xn,1x1,2x2,2⋮xn,2x1,3x2,3⋮xn,3⋯⋯⋱⋯x1,dx2,d⋮xn,d⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

A 的轉置矩陣AT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x1,1x1,2⋮x1,nx2,1x2,2⋮x2,nx3,1x3,2⋮x3,n⋯⋯⋱⋯xn,1xn,2⋮xnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

令 B=A×AT ，那麼 bi,j 就表示 xi⋅xj ，如果 B 矩陣除了主對角線全部是1的話，顯然無解。

但是求出B矩陣的時間顯然是 O(n2d) ，顯然是無法通過本題的。

我們令 B′ 為 bi,i=xi⋅xi ，其餘元素為1的矩陣。

如果 B =B′的話，就無解。

我們再随機找出一個列向量 C (其實就是全是1，因為0沒用。。。)

B×C=B′×CA×AT×C=B′×CA×(AT×C)=B′×C

D=AT×C 我們可以用 O(nd) 的時間求出來， A×D 也可以用 O(nd) 的時間求出來， B′×C 可以 O(n) 求出。

然後比較 A×(AT×C)  B′×C 這兩個列向量的每一個元素是否相同，如果第i行的元素不相同，說明 xi 肯定是答案隻要，枚舉找出 xj 即可。

盡管有出錯的機率，但是這個算法還是比較可靠的。

k=3

我們發現

1×1≡2×2≡1(mod3)

是以，我們令 B=(A∗AT)2 其餘矩陣定義不變，那麼展開後會發現

A′=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢x1,1×x1,1x2,1×x2,1⋮xn,1×xn,1x1,1×x1,2x2,1×x2,2⋮xn,1×xn,2x1,1×x1,3x2,1×x2,3⋮xn,1×xn,3⋯⋯⋱⋯x1,1×x1,dx2,1×x2,d⋮xn,1×xn,dx1,2×x1,1x2,2×x2,1⋮xn,2×xn,1x1,2×x1,2x2,2×x2,2⋮xn,2×xn,2⋯⋯⋱⋯x1,d×x1,dx2,d×x2,d⋮xn,d×xn,d⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥B=A′×A′T

然後參考 k=2 的算法即可，由于 k=3 時矩陣太大，記憶體開不下，但是算的時候按照規則算就行了。

代碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100000
#define MAXM 100
int n,d,k,a[MAXN+][MAXM+],s[MAXN+],c[MAXM*MAXM+],g[MAXN+];
void Read(int &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
int Get_id(int i,int j){
    return (i-)*d+j;
}
void read(){
    Read(n),Read(d),Read(k);
    int i,j;
    for(i=;i<=n;i++)
        for(j=;j<=d;j++){
            Read(a[i][j]);
            a[i][j]%=k;
            s[i]+=a[i][j]*a[i][j];
        }
    for(i=;i<=n;i++)
        s[i]%=k;
}
void solve2(){
    int i,j,k,sum;
    for(i=;i<=d;i++)
        for(j=;j<=n;j++)
            c[i]^=a[j][i];
    for(i=;i<=n;i++)
        for(j=;j<=d;j++)
            g[i]^=a[i][j]&c[j];
    for(i=;i<=n;i++)
        if(g[i]!=(s[i]^((n-)&)))
            break;
    if(i>n){
        puts("-1 -1");
        return;
    }
    for(j=;j<=n;j++)
        if(i!=j){
            sum=;
            for(k=;k<=d;k++)
                sum^=a[i][k]&a[j][k];
            if(!sum)
                break;
        }
    if(i>j)
        swap(i,j);
    printf("%d %d\n",i,j);
}
void solve3(){
    int i,j,k,sum;
    for(i=;i<=d;i++)
        for(j=;j<=d;j++)
            for(k=;k<=n;k++)
                c[Get_id(i,j)]+=a[k][i]*a[k][j];
    for(i=d*d;i;i--)
        c[i]%=;
    for(i=;i<=n;i++)
        for(j=;j<=d;j++)
            for(k=;k<=d;k++)
                g[i]+=a[i][j]*a[i][k]*c[Get_id(j,k)];
    for(i=;i<=n;i++)
        if(g[i]%!=((n-)+s[i]*s[i])%)
            break;
    if(i>n){
        puts("-1 -1");
        return;
    }
    for(j=;j<=n;j++)
        if(j!=i){
            sum=;
            for(k=;k<=d;k++)
                sum=(sum+a[i][k]*a[j][k])%;
            if(!sum)
                break;
        }
    if(i>j)
        swap(i,j);
    printf("%d %d\n",i,j);
}
int main()
{
    read();
    if(k==)
        solve2();
    else
        solve3();
}