3．數量積的幾何應用
(1)向量垂直關系的判定：a.b=0
(2)向量的投影：
2．混合積的幾何應用
(1) a,b,c共面⇔[abc]=0存在不全零的數λ,μ,γ，使得λa +μb +γc=0.
(2) 空間四點A,B,C,D共面⇔[abc]=0
(3) 以a,b,c為棱的四面體體積為：|[a b c]|/6
(4) 以a,b,c為棱的平行六面體體積為：|[a b c]|
四、空間平面及其方程
1．平面的點法式方程
設M(x0,y0,z0)為平面上的已知點，n=(A,B,C)為法向量，M(x,y,z)為平面上的任一點，則平面的點法式方程為：
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
2．平面的三點式方程
設M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)，M3 (x3,y3,z3)是某平面上不共線的三點，則由四點共面，四點構成的三個向量的混合積為零，可得平面的三點式方程：
3．平面的截距式方程
如果三點取為坐标軸上的點(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标軸上的截距為a,b,c，則平面的截距式方程為
x/a+y/b+z/c=1
4．平面的一般式方程
三元一次方程描述的圖形為空間平面，即平面的一般式方程為：
Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0).
并且平面的法向量為n=(A,B,C)，任何滿足方程的x,y,z的值構成在有序對(x,y,z)對應的點都為該方程描述的平面上的點。
【注】：法向量的哪兩個分量為零，則該平面平行于這兩個分量對應的坐标軸構成的坐标面。
五、空間直線及其方程
1．直線的向量式參數方程
設直線L過點M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)，其中m,n,p是不全為零的常數．在直線L上任取一點M(x,y,z)，并記
則直線L參數為t的向量式參數方程為
r=r0+ts(-∞
2．空間直線的坐标式參數方程
過點M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)的直線的坐标式參數方程為
3．空間直線的标準式方程
過點M0(x0,y0,z0)，方向向量為s=(m,n,p)的直線的标準式方程，或者對稱式方程，點向式方程為
(x-x0)/m =(y-y0)/n =(z-z0)/p
4．空間直線的兩點式方程
已知空間直線L上的相異的兩點A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則兩點的連線構成的直線的兩點式方程為
(x-x1)/(x2-x1) =(y-y1)/(y2-y1) =(z-z1)/(z2-z1)
(1)兩平面平行 有，
且不等于D1/D2
【注】：若兩直線平行或重合，則它們的夾角可看成是0或π；如果兩直線垂直，則它們的夾角為π/2.
4．點到直線的距離
設點M1(x1,y1,z1)是直線
上的一點，s=(m,n,p)是直線的方向向量，則點M0(x0,y0,z0)到直線L的距離為由方向向量s與M1和M0構成的向量為鄰邊構成的平行四邊形，在方向向量所在邊上的高，即由平行四邊形的面積公式可得
5．直線間的距離
平行直線之間的距離歸結為一直線上的任一點到另一直線之間的距離，即平行直線之間的距離可以直接使用點到直線的距離公式計算得到。
如果兩條直線為異面直線，即已知兩直線的标準式方程分别為：
并設M1(x1,y1,z1)是直線L1上的點，s1=(m1,n1,p1)是它的一個方向向量；M2(x2,y2,z2)是直線L2上的點，s2=(m2,n2,p2)是它的一個方向向量，則兩異面直線之間距離等于向量M1, M2構成的向量在向量s1ⅹs2上的投影的絕對值，即
6．平面與直線的位置關系
設平面和直線的方程分别為：
并設n=(A,B,C)是平面π的法向量，s=(m,n,p)是直線L的方向向量，M0(x0,y0,z0)是直線L上的一點，則有：
直線L在平面π上⇔n⊥s且
Ax0+By0+Cz0+D=0.
(3) 直線L與平面π相交⇔Am+Bn+Cp≠0.
(4) 規定直線L與它在平面π上的投影線的夾角θ為直線與平面的夾角，即
λ是不全為零的任意實數，則該方程能夠表示的平面為除了平面π1的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解決問題的過程中，減少了一個參數，簡化問題求解過程，但是需要單獨考慮平面π1。
七、建構圖形數學描述形式的一般步驟
(1) 針對實際問題，繪制草圖，建構合适的空間直角坐标系。
【注1】當然根據問題的描述的友善，也可以是其他坐标系，比如在三重積分中我們要讨論的柱坐标系、球坐标系等。
【注2】如果問題本身帶有坐标資訊，則繪制坐标系，并根據坐标特征繪制草圖。
(2) 在圖形上，或者空間任取一符合問題背景或相關幾何意義的點，并設其坐标為M(x,y,z)。
(3) 依據問題提供的條件，比如實體意義、幾何意義、已有等式等，建構相關的等式，并轉化為點M的坐标變量x,y,z的等式；或者通過适當引入參數，将點M的坐标變量x,y,z描述為有關參數的表達式，如果是平面圖形或曲線圖形，則一個參數；如果是曲面圖形，一般為兩個參數。
(4) 化簡相關等式，得到圖形的方程描述形式。
八、旋轉曲面
空間中，一條曲線繞一定直線旋轉一周所得的曲面稱為旋轉曲面，定直線稱為旋轉曲面的旋轉軸，曲線稱為旋轉曲面的母線．
比如，yOz坐标面上的曲線C:f(y,z)=0繞z軸旋轉一周所成的旋轉曲面方程為
繞y軸旋轉一周所成的旋轉曲面的方程為
空間曲線
繞z軸旋轉一周所得旋轉曲面的參數方程為
【注1】如果三個方程能夠消去兩個參數得到x,y,z的表達式，則也就可以直接得到旋轉曲面的一般方程。
九、柱面
在空間中，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所構成的曲面叫做柱面；直覺地講，柱面就是由平行于一定直線沿曲線移動時所形成的曲面，或者說是由一條直線連續平移而形成的。其中曲線叫做柱面的準線，直線叫做柱面的母線．
圓柱面：準線為圓，母線為垂直于圓所在平面的直線所形成的曲面。
比如準線為xOy面上的圓x2+y2=R2，母線垂直于xOy面，或平行于z軸的圓柱面方程為
x2+y2=R2。
類似有中心軸為y,x軸為中心軸的圓柱面方程
z2+x2=R2，y2+z2=R2。
橢圓柱面：準線為橢圓，母線為垂直于橢圓所在平面的直線所形成的曲面。比如準線取為xOy,yOz,zOx面上的橢圓，母線分别垂直三個坐标面的橢圓柱面方程分别為
雙曲柱面：準線為雙曲線，母線為垂直于雙曲線所在平面的直線所形成的曲面。比如準線取為xOy,yOz,zOx面上的、實軸分别為x軸、y軸、z軸的雙曲線，母線分别垂直三個坐标面的雙曲柱面方程分别為
抛物柱面：準線為抛物線，母線為垂直于抛物線所在平面的直線所形成的曲面。比如，比如準線取為xOy面上的抛物線，母線為垂直xOy面的抛物柱面方程為
y^2=2px或x^2=2py。
十、常見标準曲面及其參數方程
1．球面
方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2所表示的曲面為球心在(x0,y0,z0)球面，半徑為R的球面。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可将橢球面的方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2轉為參數方程描述，即
特别有x2+y2+z2=1表示球心在原點，半徑為1的球面。
2．橢球面
方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1所表示的曲面稱為橢球面，其中a,b和c均為正常數。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可将橢球面的方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1轉為參數方程描述，即
3．雙曲面
雙曲面分為單葉雙曲面和雙葉雙曲面。
l單葉雙曲面：平方項兩正一負的和等于1的方程描述的曲面。即
其負向變量所對應的坐标軸為對稱軸．
l雙葉雙曲面：平方項一正兩負的和等于1的方程描述的曲面。即
其正向變量所對應的坐标軸為對稱軸．
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1及sec2t-tan2t=1，可将對稱軸為z的單葉雙曲面方程，雙葉雙曲面方程轉換為參數方程描述，有
4．抛物面
抛物面包括橢圓抛物面和雙曲抛物面。
l橢圓抛物面：具有1次方項等于兩個平方項的和結構的方程所表示的曲面。即
如果a=b，則為旋轉抛物面。
借助三角恒等式cos2t+sin2t=1，可将方程轉換為參數方程描述，如
l雙曲抛物面：1次方項等于兩個平方項的差結構的方程所表示的曲面。如
由于雙曲抛物面的形狀像馬鞍，是以它又稱為馬鞍面．
借助三角恒等式sec2t-tan2t=1，可将方程轉換為參數方程描述。如對
5．二次錐面
在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所生成的曲面叫做錐面。直線稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線。
如方程
描述的曲面圖形為頂點在原點的橢圓錐面，其中心軸在分别為z軸，x軸，y軸．當a=b時為圓錐面。
由三角恒等式cos2t+sin2t=1，可得橢圓錐面的參數方程，如中心軸為z軸的橢圓錐面的參數方程為
十一、空間曲線的方程
1．空間曲線的一般方程
空間曲線總可以看成是某兩個曲面的交線．設兩曲面的方程為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則兩個曲面的交線Γ可以用方程組描述為
該方程組也稱為空間曲線C的一般方程．
【注1】空間曲線的一般方程不唯一。可以用任意兩個過空間曲線的曲面的方程構成的方程組來描述；并且空間曲線也位于描述空間曲線的一般方程中兩個方程的線性組合構成的方程
λF(x,y,z)+μG(x,y,z)=0
(其中λ,μ為不全為零的實數)描述的曲面圖形上。這樣就可以用相對簡單的曲面方程來描述曲線。
2．空間曲線的參數方程
一般地，空間運動的質點的軌迹對應一條空間曲線。曲線C上動點M的坐标x,y,z可以用一個參數t的函數表示為
【注1】空間曲線參數方程參數的意義可以為運動時間，也可以是轉動角度、弧度，或者為坐标變量等。
3．空間曲線一般方程與參數方程的互相轉換的思路
将空間曲線的參數方程轉換為一般方程描述比較簡單，由三個參數表達式兩兩消去參數，則可以得到兩個不包含參數的等式，它們一起構成空間曲線的一般方程。
将空間曲線的一般方程轉換為參數方程描述的基本思路為：
(1) 如果空間曲線的一般方程的兩個方程都是三個變量的方程，則通過消元，獲得一個二進制方程表達式，然後借助于二進制方程的參數方程，寫出兩個變量的參數表達式，并代入其中一個方程解出另一變量關于參數的表達式。
(2) 如果空間曲線的一般方程中，有一個方程隻有兩個變量，則可以直接通過引入參數，寫出兩個變量的參數方程，然後利用另外一個方程解出另一變量的參數表達式。也可以利用兩個變量的表達式用一個變量表示另外一個變量代入另一方程，由變換後的方程寫出參數方程後得到參數方程。
(3) 如果空間曲線的一般方程中有一個方程為單獨變量等于常數的表達式時，則直接将它代入另一個方程，由另一個方程寫出對應的參數方程表達式，并聯合這個表達式即可得所求空間曲線的參數方程。
(4) 如果有兩個方程都是單獨變量等于常數的表達式，則直接令另一變量為參數即可。
十二、空間曲線在平面上的投影
1．曲線在平面上的投影
設是一條空間曲線，是一個平面，曲線上每一點在平面上有一個垂足，曲線上的所有點在平面上的垂足所構成的曲線叫做曲線在平面上的投影曲線，簡稱投影，平面也稱為投影面。
過曲線上的每一點，都有平面的一條垂線，這些垂線構成一個柱面，并且把這樣的柱面稱為曲線關于平面的投影柱面。
空間曲線在平面上的投影曲線就是投影柱面與平面的交線。
2．一般方程描述的空間曲線在坐标面上的投影方程
設空間曲線Γ的一般方程為
則Γ關于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程可以通過方程組分别消去z,x,y變量得到。假設方程組消去變量z,x,y後得到的方程分别描述為
F(x,y)=0,G(y,z)=0,H(z,x)=0，
則以上三個方程分别描述了空間曲線關于坐标面xOy、yOz、zOx的投影柱面；并且空間曲線在三個坐标面上的投影曲線分别為
4．參數方程描述的空間曲線在坐标面上的投影方程
設空間曲線Γ的參數方程為
Γ:x=x(t),y=y(t),z=z(t)(t∈[t0,t1])，
則Γ關于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程與投影曲線方程為
xOy投影柱面：x=x(t),y=y(t)，投影曲線：C:x=x(t),y=y(t),z=0(t∈[t0,t1])
yOz投影柱面：y=y(t),z=z(t)，投影曲線：C:x=0, y=y(t),z=z(t) (t∈[t0,t1])
zOx投影柱面：z=z(t), x=x(t)，投影曲線：C: x=x(t),y=0,z=z(t),(t∈[t0,t1])
【注1】空間曲面或立體圖形在坐标面上的投影為空間曲面或圍成立體的所有曲面上的點在坐标面上的投影點構成的平面區域，可以用投影區域的邊界曲線為準線，垂直于坐标面的直線為母線形成的投影柱面與坐标面方程來描述。
【注2】空間直角坐标系中立體圖形簡圖的繪制方法：在掌握基本立體幾何形狀，比如長方體、球體、柱體、平面、直線繪制的基礎上，一般通過繪制一些關鍵性的曲線，比如圍成立體圖形的曲面的交線，平行于坐标面的平面截取空間圖形所得的交線等，來描述圖形的大緻輪廓，幫助我們更好地了解和解決問題。