在信号處理領域，存在諸多變換，比如标題中的五個變換。本文将對這五個變換進行介紹和比較。在開始之前，我們需要先理清什麼是平穩信号，什麼是非平穩信号。
我們知道，自然界中幾乎所有信号都是非平穩信号，比如我們的語音信号就是典型的非平穩信号。那麼何謂平穩信号和非平穩信号呢？一個通俗的了解即，平穩信号在不同時間得到的采樣值的統計特性(比如期望、方差等)是相同的，非平穩信号則與之相反，其特性會随時間變化。在信号進行中，這個特性通常指頻率。
通常
傅裡葉變換隻适合處理平穩信号，對于非平穩信号，由于頻率特性會随時間變化，為了捕獲這一時變特性，我們需要對信号進行時頻分析，就包括
短時傅裡葉變換、
小波變換、
希爾伯特變換、
希爾伯特黃變換這幾種變換。以下逐一進行分析介紹。
傅裡葉變換(Fourier Transform, FT)
首先考慮一個連續信号
的傅裡葉變換和它的反變換，如下
在實際應用中，計算機隻能處理離散信号，是以對連續信号
進行時域采樣，得到一組離散樣本
，對它進行傅裡葉變換得到
上式即為離散時間傅裡葉變換(DTFT)，由于變換後得到的頻域值仍然是連續的，我們繼續對頻域進行采樣，得到
上式就是離散傅裡葉變換(DFT)，目前計算機中常用的快速傅裡葉變換(FFT)，就是DFT的快速算法。如下即為信号
的采樣信号和經過FFT得到的幅度譜，其中采樣頻率
可以看到，該信号由兩個頻率分别為100Hz和200Hz的分量構成。利用頻譜分析，我們可以發現一些時域中看不到的資訊，比如信号的頻率分量組成、信号能量在頻域上的分布等。
然而，傅裡葉變換是一種全局的變換，時域信号經過傅裡葉變換後，就變成了頻域信号，從頻域是無法看到時域資訊的，我們可以從上節中的傅裡葉變換和反變換公式進行解釋，進行正變換時，積分區間為整個時域，是以變換結果将不包含時域資訊，反變換同理。
如果信号的頻率特性在任何時間都不發生改變(即該信号是平穩信号)的話，使用傅裡葉變換是沒有問題的，然而如果該信号是非平穩信号，這時候時域資訊就相當重要了。舉個栗子，以下分别是0~100Hz線性遞增掃頻信号和100~0Hz線性遞減掃頻信号的幅度譜，這兩個信号都是非平穩信号，可以看到它們的幅度譜是相同的，很顯然我們無法知道每一個頻率分量出現的時間，即無法知道掃頻信号的模式。
上述例子可能比較簡單，可以直接從時域信号看出掃頻模式，但是對于一些複雜的信号和它的幅度譜，比如以下的兩路掃頻信号疊加後的信号和它的幅度譜
僅僅通過時域信号或者幅度譜，我們是很難分析這段非平穩信号的特征的。下面我們将引入一個時頻分析( Time-Frequency Analysis)方法——短時傅裡葉變換(STFT)。
短時傅裡葉變換(Short-Time Fourier Transform, STFT)
短時傅裡葉變換定義為
其中
為輸入信号，
是窗函數，它在時間上反轉并且有n個樣本的偏移量。
是時間
和頻率
的二維函數，它将信号的時域和頻域聯系起來，我們可以據此對信号進行時頻分析，比如
就是語音信号所謂的語譜圖(Spectrogram)。
畫出上節中兩路掃頻信号疊加後的信号的語譜圖，如下圖
可見該信号是由一個0~250Hz二次遞增的掃頻信号和一個250~0Hz二次遞減的掃頻信号的疊加。通過STFT，我們可以很容易地得出非平穩信号的時變特性。
繼續對STFT進行分析。
計算語譜
時采用不同窗長度，可以得到兩種語譜圖，即窄帶和寬帶語譜圖。長時窗（至少兩個基音周期）常被用于計算窄帶語譜圖，短窗則用于計算寬帶語譜圖。
窄帶語譜圖具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，良好的頻率分辨率可以讓語音的每個諧波分量更容易被辨識，在語譜圖上顯示為水準條紋。相反
寬帶語譜圖具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，低頻率分辨率隻能得到譜包絡，良好的時間分辨率适合用于分析和檢驗英語語音的發音。
如下圖所示，分别為一段語音的幀長為128和512的語譜圖。
可見，對于幀長固定的短時傅裡葉變換，在全局範圍内的時間分辨率和頻率分辨率是固定的。如果我們想要在低頻區域具有高頻率分辨率，在高頻區域具有高時間分辨率，顯然STFT是不能滿足要求的。我們繼續引入另一種時頻分析方法——小波變換。
小波變換(Wavelet Transform, WT)
對于任意能量有限信号
，其連續小波變換(CWT)定義為
其中
是母小波或者基本小波，它滿足
，
，
，前兩個條件表明
在時域上是一個有限長的函數，最後一個條件則表明
必須時正時負地波動，否則它的積分結果不會為零，是以它在頻域上也是有限的。是以不同于傅裡葉變換的基函數是一個無限長的正弦波，小波變換的基函數是一個經過衰減處理的有限長小波，小波基函數在時域和頻域上都是局部化的，如下圖分别為傅裡葉變換和小波變換的基函數
将
進行伸縮和平移得到一族函數
，稱為分析小波，這就是小波變換的基函數族，其中
為伸縮參數，當
時，沿時間軸方向拉伸，因子
是為了保持伸縮之後能量不變；
為平移參數。
使用MATLAB的小波變換工具箱畫出上節兩路掃頻信号疊加信号的小波變換結果，如下圖，其中縱軸(頻率軸)是對數軸。
可見在低頻區域的變換結果具有較高的頻率分辨率(頻率軸是對數軸，在低頻區域跨度較小)，在高頻區域具有較高的時間分辨率。
一些總結
我們對上述方法進行總結，可以發現上述方法的差別都可以歸結為選取的時頻窗尺寸不同。畫出時域信号、頻域信号、使用STFT得到的時頻域信号、使用小波變換得到的時頻域信号的時頻窗，如下圖，每一個小方塊表示一個時頻窗，沿時間方向的邊長表示時間分辨率，沿頻率方向的邊長表示頻率分辨率
由上圖可以知道：
- 對于時域信号，它可以有很高的時間分辨率，然而其頻率分辨率為零。
- 經過傅裡葉變換得到的頻域信号可以實作很高的頻率分辨率，然而其時間分辨率為零。
- 對于短時傅裡葉變換(STFT)，它在時域和頻域都有一定的分辨率，并且在全局範圍内STFT的時頻分辨率都是一樣的。但是由于Heisenberg不确定原理(也就是量子力學中的測不準原理)的制約，每一個時頻窗的面積都是固定的，即時間分辨率和頻率分辨率成反比，是以這兩個分辨率不能同時很高。
- 小波變換在不同時間和頻率上具有不同尺寸的時頻窗，可以在低頻區域實作較高的頻率分辨率，然而其仍然受到Heisenberg不确定原理的限制，時間分辨率和頻率分辨率不能兩全其美。同時小波變換的時頻窗并非完全是自适應的，它還需要人為地選擇基函數。
上述的方法都會受到Heisenberg不确定原理的限制，而且并不是完全自适應的方法。接下來介紹一種不受Heisenberg不确定原理限制、同時還有更好的自适應性的時頻分析方法——希爾伯特黃變換
希爾伯特變換(Hilbert Transform, HT)
在介紹希爾伯特黃變換之前，我們先介紹一下希爾伯特變換。
希爾伯特變換也是傅裡葉變換的一種擴充，它常常用于通信系統中的調制解調，當然它也可以用于信号的時頻分析。其計算方法為
- 計算輸入信号的FFT，儲存為向量F
- 建立一個向量h，其中
3. 計算F與h的内積
4. 計算上步得到的序列的iFFT
稍微介紹下它在通信系統中的應用，利用MATLAB中的
hilbert
函數對一個掃頻信号進行希爾伯特變換，得到的結果是一個解析信号，在同一坐标系畫出該解析信号的實數部分和虛數部分，如下圖
可見虛數部分較實數部分滞後
，我們可以利用這個性質消掉負頻率。使用MATLAB中的
fft
函數對一個信号進行傅裡葉變換，結果中的負頻率儲存在下半軸。如下是一個掃頻信号的幅度譜以及使用希爾伯特變換得到的解析信号的幅度譜
由上圖可見，解析信号的幅度譜沒有負頻率，并且各個頻率分量的幅度是原來實信号的兩倍。
通過希爾伯特變換可以得到沒有負頻率的解析信号，基于此可以實作信号的單邊帶調制，進而節省帶寬和降低發射功率。感興趣可以繼續檢視
Single-Sideband Amplitude Modulationwww.mathworks.com
繼續探讨基于希爾伯特變換的時頻分析。在時頻分析領域，希爾伯特變換主要用于瞬時頻率估計。
由上述分析可知使用希爾伯特變換可以得到原始信号的解析信号，假設解析信号為
其中
，表示瞬時幅值，
，表示瞬時相位，
，表示瞬時頻率。由瞬時幅值和瞬時頻率可将信号表示為
若使用
表示瞬時能量，則可在時間-頻率面上畫出信号的瞬時能量分布，這個分布譜圖就是Hilbert譜，記為
。如下為一個0~100Hz掃頻信号的時域信号和它的Hilbert譜
上圖中的信号為單頻率成分信号，即同一時刻隻有一個頻率分量的信号，我們可以由Hilbert譜很好地觀察出信号的時頻特征，且有很高的的時間分辨率，但是信号邊界處的誤差往往較大。
如果是對一個多頻率成分信号(同一時刻有多個頻率分量的信号)進行希爾伯特變換，結果會怎樣呢？如下為兩路掃頻信号疊加信号的Hilbert譜
從上圖中的Hilbert譜我們并不能概括出該信号的時頻特征，是以對多頻率成分信号不能直接進行Hilbert變換，我們還需要對其進行進一步處理，将原始信号分解成單頻率信号的疊加，這就要用到希爾伯特黃變換中的EMD分解。
希爾伯特黃變換(Hilbert-Huang Transform, HHT)
相比于HT，HHT就多了一個經驗模态分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)，EMD就是把複雜信号分解成從高頻到低頻的若幹個固有模态函數(Intrinsic Mode Function, IMF)，IMF需要滿足兩個條件：
- 信号極值點的數量與零點數相等或相差為1
- 信号的由極大值定義的上包絡和由極小值定義 的下包絡的局部均值為0(即包絡上下對稱)
簡單的了解就是，EMD是依次提取信号在每個局部的最高頻分量的過程，是以每個IMF實際上是一個單頻率分量信号，這樣我們就可以對每個IMF分量進行Hilbert變換，進而得到每個分量的Hilbert譜。如下是對兩個掃頻信号疊加後的信号進行EMD分解得到的IMF分量
對上述的IMF分量進行Hilbert變換，求得Hilbert譜，如下
從上圖我們大緻可以看出信号的時頻特性：該信号是一個0~250Hz二次遞增的掃頻信号和一個250~0Hz二次遞減的掃頻信号的疊加。
當然HHT并不是完美的，目前對于它的關鍵步驟EMD分解的研究尚不完善，缺乏一些理論基礎。從上圖我們也可以看到，HHT在低頻區域可能會出現一些不存在的頻率分量。
參考
小波變換（Wavelet Transform）blog.csdn.net
淺析信号處理：人們認識信号本質的大飛躍_函數www.sohu.com
唐曉初. 小波分析及其應用[M]. 重慶大學出版社, 2006.
Marple L . Computing the discrete-time "analytic" signal via FFT[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1999.
羅利春. 用希爾伯特變換構造解析信号進行時頻分析[J]. 航天電子對抗, 2003(03):27-30.
Qian S , Chen D . Joint time-frequency analysis[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 1999, 16(2):P.52-67.