淺談算法和資料結構: 六 符号表及其基本實作

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原文在這裡：http://www.cnblogs.com/yangecnu/p/Introduce-Symbol-Table-and-Elementary-Implementations.html

前面幾篇文章介紹了基本的排序算法，排序通常是查找的前奏操作。從本文開始介紹基本的查找算法。

在介紹查找算法，首先需要了解符号表這一抽象資料結構，本文首先介紹了什麼是符号表，以及這一抽象資料結構的的API，然後介紹了兩種簡單的符号表的實作方式。

一符号表

在開始介紹查找算法之前，我們需要定義一個名為符号表（Symbol Table）的抽象資料結構，該資料結構類似我們再C#中使用的Dictionary，他是對具有鍵值對元素的一種抽象，每一個元素都有一個key和value，我們可以往裡面添加key，value鍵值對，也可以根據key來查找value。在現實的生活中，我們經常會遇到各種需要根據key來查找value的情況，比如DNS根據域名查找IP位址，圖書館根據索引号查找圖書等等：

為了實作這一功能，我們定義一個抽象資料結構，然後選用合适的資料結構來實作：

public class ST<Key, Value>

ST()	建立一個查找表對象
void Put(Key key, Value val)	往集合中插入一條鍵值對記錄，如果value為空，不添加
Value Get(Key key)	根據key查找value，如果沒找到傳回null
void Delete(Key key)	删除鍵為key的記錄
boolean Contains(Key key)	判斷集合中是否存在鍵為key的記錄
boolean IsEmpty()	判斷查找表是否為空
int Size()	傳回集合中鍵值對的個數
Iterable<Key> Keys()	傳回集合中所有的鍵

二實作

1 使用無序連結清單實作查找表

查找表的實作關鍵在于資料結構的選擇，最簡單的一種實作是使用無序連結清單來實作，每一個節點記錄key值，value值以及指向下一個記錄的對象。

如圖，當我們往連結清單中插入元素的時候，從表頭開始查找，如果找到，則更新value，否則，在表頭插入新的節點元素。

實作起來也很簡單：

public class SequentSearchSymbolTable<TKey, TValue> : SymbolTables<TKey, TValue> where TKey : IComparable<TKey>, IEquatable<TKey>
{
    private int length = 0;
    Node first;
    private class Node
    {
        public TKey key { get; set; }
        public TValue value { get; set; }
        public Node next { get; set; }

        public Node(TKey key, TValue value, Node next)
        {
            this.key = key;
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }

    public override TValue Get(TKey key)
    {
        TValue result = default(TValue);
        Node temp = first;
        while (temp != null)
        {
            if (temp.key.Equals(key))
            {
                result = temp.value;
                break;
            }
            temp = temp.next;
        }

        return result;
    }

    public override void Put(TKey key, TValue value)
    {
        Node temp = first;
        while (temp != null)
        {
            if (temp.key.Equals(key))
            {
                temp.value = value;
                return;
            }
            temp = temp.next;
        }
        first = new Node(key, value, first);
        length++;
    }

    ....
}      

分析：

從圖或者代碼中分析可知，插入的時候先要查找，如果存在則更新value，查找的時候需要從連結清單頭進行查找，是以插入和查找的平均時間複雜度均為O(n)。那麼有沒有效率更好的方法呢，下面就介紹二分查找。

2 使用二分查找實作查找表

和采用無序連結清單實作不同，二分查找的思想是在内部維護一個按照key排好序的二維數組，每一次查找的時候，跟中間元素進行比較，如果該元素小，則繼續左半部分遞歸查找，否則繼續右半部分遞歸查找。整個實作代碼如下：

class BinarySearchSymbolTable<TKey, TValue> : SymbolTables<TKey, TValue> where TKey : IComparable<TKey>, IEquatable<TKey>
{
    private TKey[] keys;
    private TValue[] values;
    private int length;
    private static readonly int INIT_CAPACITY = 2;
    public BinarySearchSymbolTable(int capacity)
    {
        keys = new TKey[capacity];
        values = new TValue[capacity];
        length = capacity;
    }
    public BinarySearchSymbolTable() : this(INIT_CAPACITY)
    {
    }
    /// <summary>
    /// 根據key查找value。
    /// 首先查找key在keys中所處的位置，如果在length範圍内，且存在該位置的值等于key，則傳回值
    /// 否則，不存在
    /// </summary>
    /// <param name="key"></param>
    /// <returns></returns>
    public override TValue Get(TKey key)
    {
        int i = Rank(key);
        if (i < length && keys[i].Equals(key))
            return values[i];
        else
            return default(TValue);
    }

    /// <summary>
    /// 向符号表中插入key，value鍵值對。
    /// 如果存在相等的key，則直接更新value，否則将該key，value插入到合适的位置
    ///  1.首先将該位置往後的元素都往後移以為
    ///  2.然後再講該元素放到為i的位置上
    /// </summary>
    /// <param name="key"></param>
    /// <param name="value"></param>
    public override void Put(TKey key, TValue value)
    {
        int i = Rank(key);
        if (i < length && keys[i].Equals(key))
        {
            values[i] = value;
            return;
        }
        //如果長度相等，則擴容
        if (length == keys.Length) Resize(2 * keys.Length);
 
        for (int j = length; j > i; j--)
        {
            keys[j] = keys[j - 1];
            values[j] = values[j - 1];
        }

        keys[i] = key;
        values[i] = value;
        length++;
    }

    /// <summary>
    /// 傳回key在數組中的位置
    /// </summary>
    /// <param name="key"></param>
    /// <returns></returns>
    private int Rank(TKey key)
    {
        int lo = 0;
        int hi = length - 1;
        while (lo <= hi)
        {
            int mid = lo + (hi - lo) / 2;
            if (key.CompareTo(keys[mid]) > 0) lo = mid + 1;
            else if (key.CompareTo(keys[mid]) < 0) hi = mid - 1;
            else return mid;
        }
        return lo;
    }
    。。。
}      

這裡面重點是Rank方法，我們可以看到首先擷取mid位置，然後将目前元素和mid位置元素比較，然後更新lo或者hi的位置用mid來替換，如果找到相等的，則直接傳回mid，否則傳回該元素在集合中應該插入的合适位置。上面是使用疊代的方式來實作的，也可以改寫為遞歸：

private int Rank(TKey key, int lo, int hi)
{
    if (lo >= hi) return lo;

    int mid = lo + (hi - lo) / 2;
    if (key.CompareTo(keys[mid]) > 0)
        return Rank(key, mid + 1, hi);
    else if (key.CompareTo(keys[mid]) < 0)
        return Rank(key, lo, hi - 1);
    else
        return mid;
}      

二分查找的示意圖如下：

分析：

使用有序的二維數組來實作查找表可以看出，采用二分查找隻需要最多lgN+1次的比較即可找到對應元素，是以查找效率比較高。

但是對于插入元素來說，每一次插入不存在的元素，需要将該元素放到指定的位置，然後，将他後面的元素依次後移，是以平均時間複雜度O(n)，對于插入來說效率仍然比較低。

三 總結

本文介紹了符号表這一抽象資料結構，然後介紹了兩種基本實作：基于無序連結清單的實作和基于有序數組的實作，兩種實作的時間複雜度如下：

可以看到，使用有序數組的二分查找法提高了符号表的查找速度，但是插入效率仍舊沒有得到提高，而且在要維護數組有序，還需要進行排序操作。這兩種實作方式簡單直覺，但是無法同時達到較高查找和插入效率。那麼有沒有一種資料結構既能夠在查找的時候有較高的效率，在插入的時候也有較好的效率呢，本文隻是一個引子，後面的系列文章将會介紹二叉查找樹，平衡查找樹以及哈希表。

希望本文對您了解查找表的基本概念以及兩種基本實作有所幫助。