目錄
一、飛蛾為什麼要撲火？
二、螺線及等角螺線
三、繪制等角螺線
四、拟合等角螺線
一、蛾為什麼要撲火？
暗梁聞語燕，夜燭見飛蛾。
飛蛾繞殘燭，半夜人醉起。人類很早就注意到飛蛾撲火這一奇怪的現象，并且自作主張地賦予了飛蛾撲火很多含義，引申出為了理想和追求義無反顧、不畏犧牲的精神。但是，這種引申和比喻，征求過飛蛾的意見嗎？ 複制
後來，生物學家又提出來昆蟲趨光性這一假說來解釋飛蛾撲火。不過，這個假說似乎也不成立。如果昆蟲真的追逐光明，估計地球上早就沒有昆蟲了——它們應該齊刷刷整體移民到太陽或月亮上去了。
仔細觀察飛蛾撲火，就會發現，昆蟲們并不是筆直地飛向光源，而是繞着光源飛行，同時越來越接近光源，最終釀成了“慘案”。這一行為被解釋成“失誤”似乎更合理一點。既然火燭危險，那麼飛蛾為什麼要繞着火燭飛行呢？
最新的解釋是，飛蛾在夜晚飛行時是依據月光和星光作為參照物進行導航的。星星和月亮離我們非常遠，光到了地面上可以看成平行光，當飛蛾的飛行路徑保持與光線方向成恒定夾角時，飛蛾就變成了直線飛行，如下圖所示。
然而，當飛蛾遇到了火燭等危險光源時，還是按照以前的飛行方式，路徑保持與光線方向成恒定夾角，以為依舊能飛成一條直線，結果悲劇了。此時它的飛行軌迹并不是一條直線，而是一條等角螺旋線，如下圖所示。
可憐的飛蛾！億萬年進化出來的精準導航，在人工光源的幹擾下竟如此不堪。
二、螺線及等角螺線
螺線家族很龐大，比如，阿基米德螺線、費馬螺線、等角螺線、雙曲螺線、連鎖螺線、斐波那契螺線、歐拉螺線等等。等角螺線，又叫對數螺線，螺線家族的一員。
早在2000多年以前，古希臘數學家阿基米德就對螺旋線進行了研究。公元1638年，著名數學家笛卡爾首先描述了對數螺旋線（等角螺旋線），并列出了螺旋線的解析式。這種螺旋線有很多特點，其中最突出的一點就是它的形狀，無論你把它放大或縮小它都不會有任何的改變。就像我們不能把角放大或縮小一樣。
用極坐标分析法分析飛蛾撲火的飛行軌迹，可知，軌迹線上任意一點的切線與該點與原點的連線之間的夾角是固定的，這就是等角螺線得名的由來。因為分析過程使用了對數，是以等角螺線又叫對數螺線。我不太會用LaTeX寫數學公式，是以就用 python 的方法寫出螺線方程。其中，fixed 表示螺線固定角，大于 pi/2 則為順時針螺線，小于 pi/2 則為逆時針螺線。theta 表示旋轉弧度，r 表示距離中心點距離。
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等角螺線在生活中也經常見到，比如，鹦鹉螺的花紋、玫瑰花瓣的排列，星系的懸臂，低氣壓雲圖等。
三、繪制等角螺線
給定中心點和固定角，一個等角螺線就被唯一地确定了。這個螺線可以繞很多圈，可以填滿整個宇宙。但很多時候，我們往往隻需要觀察螺線上的一小部分，這時候就需要兩個參數來約定：一個叫作 circle，表示你希望看到多少圈螺線，一個叫作 phase，表示螺線的可見部分向内（順時針）或向外（逆時針螺線）旋轉多少圈。
這是使用 matplotlib 繪制等角螺線的函數，其中固定角參數 fixed 做了一點處理：以度（°）為機關，以零為中心，大于零則為順時針螺線，小于零則為逆時針螺線
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
def plotSpiral(core, fixed, phase=0, circle=4):
"""繪制等角螺線
core - 等角螺線的中心坐标，tuple類型
fixed - 等角螺線的固定角度，機關：度（°）。fixed大于零則為順時針螺線，小于零則為逆時針螺線
phase - 初始相位，機關：圈（360°）。對順時針螺線，該數值越大，螺線越大，對逆時針螺線則相反
circle - 螺線可見部分的圈數，機關：圈（360°）
"""
plt.axis("equal")
plt.plot([core[0]], [core[1]], c='red', marker='+', markersize=10)
fixed_rad = np.radians(90 + fixed)
theta = np.linspace(0, circle*2*np.pi, 361) + phase*2*np.pi
r = fixed_rad*np.exp(theta/np.tan(fixed_rad))
x = r*np.cos(theta) + core[0]
y = r*np.sin(theta) - core[1]
plt.plot(x, y, c='blue')
plt.show()
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下圖展示了逆時針等角螺線各個參數的意義： 複制
下圖展示了順時針等角螺線各個參數的意義：
四、拟合等角螺線
在台風定位時，需要手動确定台風中心位置，并辨別出台風螺線軌迹上的部分點，然後逆合出螺線方程。如下圖所示，藍色十字為台風中心點，5個黃色圓點是手工标注的台風螺線軌迹上的點。
以下為拟合函數
import numpy as np
from scipy import optimize
def fit_spiral(core, dots):
"""拟合等角螺線，傳回定角fixed，初始相位phase"""
fixed_ccw = 0.445*np.pi
fixed_cw = 0.555*np.pi
# 将dots拆分成x_list和y_list
x_list, y_list = list(), list()
for x, y in dots:
x_list.append(x-core[0])
y_list.append(y-core[1])
# 計算距離
x = np.array(x_list)
y = np.array(y_list)
r = np.hypot(x,y)
# 按照距離排序
sort_mask = np.argsort(r)
x = x[sort_mask]
y = y[sort_mask]
r = r[sort_mask]
# 計算角度
theta = np.arctan(y/x)
theta[x<0] += np.pi
# 确定順序（CW-順時針，CCW-逆時針）
d = np.diff(theta)
print(d)
ccw = d[d>0].size > d[d<0].size
print('ccw=',ccw)
# 調整角度為升序（CCW）或降序（CW）
if ccw:
for i in range(1, theta.size):
while theta[i] < theta[i-1]:
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i] - theta[i-1]
while r[i]/r[i-1] > 1.8*np.exp(dtheta/np.tan(fixed_ccw)):
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i] - theta[i-1]
else:
for i in range(theta.size-1)[::-1]:
while theta[i] < theta[i+1]:
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i+1] - theta[i]
while r[i+1]/r[i] > 1.8*np.exp(dtheta/np.tan(fixed_cw)):
theta[i] += 2*np.pi
dtheta = theta[i+1] - theta[i]
# 定義拟合函數
def fmax(theta, fixed, phase):
fixed = np.radians(90 + fixed)
return fixed*np.exp((theta+phase*2*np.pi)/np.tan(fixed))
try:
fita, fitb = optimize.curve_fit(fmax, theta, r, [2-int(ccw), 0], maxfev=10000)
return fita
except:
return None
core = (530, 496)
dots = [(467,538), (448,675), (522,484), (513,451), (811,519)]
result = fit_spiral(core, dots)
if isinstance(result, np.ndarray):
plotSpiral(core, result[0], phase=result[1], circle=4)
else:
print(u'拟合失敗')
複制
拟合效果如下圖： 複制