目錄
- 1. 機率與機率分布
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- 1.1離散型随機變量
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- 1.1.1機率品質函數(PMF)
- 1.1.2 累計分布密度函數(CDF)
- 1.1.3 Python的實作
- 1.2 連續型随機變量
- 2. 期望值與方差
- 3. 二項分布
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- 3.1二項分布概述及其與伯努利分布的差别
- 3.2 Numpy生成二項分布随機數
- 3.3 二項分布的PMF與CDF
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- 3.3.1 PMF及其圖像繪制
- 3.3.2 CDF及其圖像繪制
- 3.3.3 二項分布在金融市場的應用
- 4. 正态分布
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- 4.1 正态分布概述
- 4.2 Python正态分布相關函數
- 4.3 正态分布在金融市場的應用
- 5. 其他連續分布
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- 5.1 卡方分布
- 5.2 t分布
- 5.3 F分布
- 6. 變量的關系
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- 6.1 聯合機率分布
- 6.2變量的獨立性
- 6.3 變量的相關性
- 6.4 上證指數與深證成指相關性分析
統計分析是可以幫助人們認清、刻畫不确定性的方法。總體是某一特定事物可能發生結果的集合， 随機變量(Random Variable) 則是一個不确定事件結果是數值函數(Function)。也就是說，把不确定事件的結果用數值來表述，即得到随機變量。随機變量又分為 離散型随機變量(Discrete Random Variable) 和 連續型随機變量(Continuous Radom Variable)。
1. 機率與機率分布
機率(Probability)是用于刻畫事物不确定性的一種測度(Measure)，根據機率的大小，我們可以判斷不确定性的高低。
1.1離散型随機變量
1.1.1機率品質函數(PMF)
假設X是一個離散型随機變量，其所有可能取值為集合{ak}，k=1,2,…,我們定義X的機率品質函數(Probability Mass Function) 為：
f X ( a k ) = P { X = a k } , k = 1 , 2 , ⋯ \displaystyle {f_X}\relax{(a_k)}=P\{X=a_k\} , k=1,2,\cdots fX(ak)=P{X=ak},k=1,2,⋯
機率品質函數可以量化地表達随機變量X取每個數值可能性的大小
1.1.2 累計分布密度函數(CDF)
對于離散型随機變量，累計分布函數可以用機率品質函數累加來獲得：
F X ( a ) = P { X ≤ a } = ∑ i : a i ≤ a f X ( a i ) \displaystyle {F_X}\relax{(a)}=P\{X\leq a\}=\sum_{i:a_i\leq a}{f_X}\relax{(a_i)} FX(a)=P{X≤a}=i:ai≤a∑fX(ai)
1.1.3 Python的實作
在Python中我們可以通過Numpy包的random子產品中的choice()函數來生成服從待定的機率品質函數的随機數。
choice()函數：
-
choice(a, size=None, replace=True, p=None)
參數a: 随機變量可能的取值序列。
參數size: 我們要生成随機數數組的大小。
參數replace: 決定了生成随機數時是否是有放回的。
參數p：為一個與x等長的向量，指定了每種結果出現的可能性。
計算頻數分布使用value_counts()函數
# 以數組形式
import numpy as np
import pandas as pd
RandomNumber=np.random.choice([1,2,3,4,5],\
size=100, replace=True,\
p=[0.1,0.1,0.3,0.3,0.2])
pd.Series(RandomNumber).value_counts() # 計算頻數分布value_counts()函數
pd.Series(RandomNumber).value_counts()/100 #計算機率分布
結果呈現：
- 增大size參數，即生成随機數的數目，得到的結果則會更接近設定的機率。
1.2 連續型随機變量
若随機變量X是連續的，我們則不再能通過機率品質函數來刻畫随機變量隻随機性，對任意ak都有 P { X = a k } = 0 \displaystyle P\{X=a_k\}=0 P{X=ak}=0。
連續型随機變量沒有PMF。對于連續型随機變量，累積分布函數
F X ( a ) = P { X ≤ a } \displaystyle {F_X}\relax{(a)}=P\{X\leq a\} FX(a)=P{X≤a}可以表達為：
F X ( a ) = ∫ − ∞ a f X ( x ) d x \displaystyle {F_X}\relax{(a)}=\int _{-\infty}^{a}{f_X}\relax{(x)}dx FX(a)=∫−∞afX(x)dx
其中 f X = d F X ( x ) d x \displaystyle {f_X}=\frac{dF_X(x)}{dx} fX=dxdFX(x)，被稱作機率密度函數
(Probability Density Function)(PDF)，X的取值落在某個區間的概
率可以用機率密度函數在這個區間上的積分來求得。
算法邏輯：
- 使用stats子產品kde包中的gaussian_kde()可以估計資料的機率密度，在其中傳入我們要統計的Series類型的變量名即可，得到的是一個“scipy.stats.kde.gaussian_kde”類型的對象，我們暫先給其命名為density。
- 然後設定好分割區間，設為數組格式，暫将該對象命名為bins。
- 注意，這次與以往繪圖不同，這次是以研究的對象資料為行進行繪圖。
- 使用上邊得到的資料類型density，以 density(bins)格式的文法可以得到一個以設定的分割區間為界限的機率密度數組，讓将density(bins)這個對象作為行傳入plot即可。
- 如果要繪制累計分布函數圖，則隻需在上邊的density(bins)對象後再調用一下cumsum()函數，對數組資料進行累加後在傳入即可。
以2020年滬深300指數(399300.SZ)的收益率(日漲跌幅)資料為例：
# 調取資料
import numpy as np
import tushare as ts
import pandas as pd
token = 'Your Token' # 輸入你的接口密匙，擷取方式及相關權限見Tushare官網。
pro = ts.pro_api(token)
df = pro.index_daily(ts_code='399300.SZ')
df['trade_date'] = pd.to_datetime(df['trade_date'])
df.set_index(['trade_date'], inplace=True) # 将日期列作為行索引
df = df.sort_index()
# 實作機率分布
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
density = stats.kde.gaussian_kde(df.pct_chg['2020']) #研究資料格式化
bins=np.arange(-5,5,0.02) # 設定分割區間
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.subplot(211)
plt.plot(bins,density(bins))
plt.title('滬深300指數2020年收益率序列機率密度曲線圖')
plt.subplot(212)
plt.plot(bins,density(bins).cumsum())
plt.title('滬深300指數2020年收益率序列累積分布函數圖')
plt.show()
結果展示如下：
2. 期望值與方差
可以用樣本資料的平均值來刻畫樣本的中心位置，期望(Expectation)是随機變量所有可能取的結果的均值，用來呈現總體的中心位置。對于離散型随機變量，期望是該随機變量所有可能結果的取值與其機率的乘積之和：
E ( X ) = ∑ k a k f X ( a k ) = ∑ k a k P { X = a k } \displaystyle E\relax{(X)}=\sum_ka_kf_X\relax{(a_k)}=\sum_ka_kP\{X=a_k\} E(X)=k∑akfX(ak)=k∑akP{X=ak}
方差(Variance)則是:
V a r ( X ) = E [ X − E ] 2 = ∑ k [ a k − E ( X ) 2 ] P { X = a k } \displaystyle Var\relax{(X)}=E\left[X-E\right]^2=\sum_k\left[a_k-E(X)^2\right]P\{X=a_k\} Var(X)=E[X−E]2=k∑[ak−E(X)2]P{X=ak}
對于一類特殊的離散型随機變量：伯努利(Bernoulli Random Variable)随機變量，伯努利随機變量X隻能取到兩個值，0或者1，對應的機率品質函數為：
f X ( a ) = P ( X = a ) = { p , a = 1 1 − p , a = 0 \displaystyle f_X\relax{(a)}=P\relax{(X=a)}=\begin{cases}p,&a=1 \\1-p,&a=0\end{cases} fX(a)=P(X=a)={p,1−p,a=1a=0
伯努利随機變量的期望值 E ( X ) = p \displaystyle E(X)=p E(X)=p
方差為 V a r ( X ) = ( 1 − p ) ⋅ p \displaystyle Var(X)=(1-p)·p Var(X)=(1−p)⋅p
若随機變量X為連續型随機變量，其機率密度函數為 f X \displaystyle f_X fX，則期望為： E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ a f X ( a ) d a \displaystyle E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}af_X\relax{(a)}d\relax{a} E(X)=∫−∞∞afX(a)da
方差為： V a r ( X ) = ∫ − ∞ ∞ [ a − E ( X ) ] 2 f X ( a ) d a \displaystyle Var\relax{(X)}=\int_{-\infty}^{\infty}\left[a-E\relax{(X)}\right]^2f_X\relax{(a)}d\relax{a} Var(X)=∫−∞∞[a−E(X)]2fX(a)da
随機變量可能的取值有很多(比如連續型随機變量的取值為無窮)，但其觀測值(實際值)個數有限，是以現實中随機變量的機率分布、期望、方差等特征值通常是不可知的，推斷統計就是透過其觀測值的集合——樣本資料來刻畫這些特征的。
3. 二項分布
3.1二項分布概述及其與伯努利分布的差别
研究伯努利分布時，我們關注的期望是進行一次試驗結果的期望值，這樣的結果有兩種情況，是以伯努利分布也稱“兩點分布”。
而研究二項分布時，我們關注的是n次試驗的結果，這樣的結果有多種組合。
為直覺說明，假設二點分布結果0的機率為0.4，結果為1的機率為0.6；
二項分布結果為0的機率為0.4，結果為1的機率為0.6，且進行十次。
則：
n = 10
p1 = 0.6
p2 = 0.6
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.subplot(221)
plt.bar(['0','1'], [1-p1,p1], width=0.5)
plt.title("二點分布PMF")
plt.subplot(222)
plt.plot(['0','0','1','1',' '], [0, 0.4, 0.4, 1.0,1.0])
plt.title("二點分布CDF")
plt.subplot(223)
b = [stats.binom.pmf(i,10,0.6) for i in range(0,11)]
plt.bar([str(i) for i in range(0,n+1)],b)
plt.title('二項分布PMF')
plt.subplot(224)
plt.title("二項分布CDF")
c = [str(i//2) for i in range(0,2*(n+1))]
c.append('')
d = [stats.binom.cdf(i//2,10,0.6) for i in range(0,22)]
d.insert(0,0)
plt.plot(c,d)
plt.show()
展示結果：
當np≥10，n(1-p)≥10都滿足時，二項分布可以近似為正态分布。
3.2 Numpy生成二項分布随機數
在Numpy庫中可以使用binomial()函數來生成二項分布随機數。
形式為：binomial(n, p, size=None)
參數n是進行伯努利試驗的次數，參數p是伯努利變量取值為1的機率，size是生成随機數的數量。
3.3 二項分布的PMF與CDF
3.3.1 PMF及其圖像繪制
# 求100次試驗，20次成功的機率，p=0.5
stats.binom.pmf(20,100,0.5)
# 求100次試驗，50次成功的機率,p=0.5
stats.binom.pmf(50,100,0.5)
圖像繪制
#傳入時n+1是因為10次實驗有十一種可能的結果組合。
n=10 # 十次試驗
p=0.5
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
b = [stats.binom.pmf(i, n, p) for i in range(0,n+1)]
plt.bar([str(i) for i in range(0,len(b))],b)
plt.title('X~B({},{})二項分布PMF'.format(n,p))
plt.show()
3.3.2 CDF及其圖像繪制
可以直接用pmf()函數解決這個問題。
#stats.binom.pmf函數很神奇，傳入的第一個參數是數字(指定伯努利試驗成功的次數)，生成結果就也是一個數字。如果傳入的第一個參數是數組，則會将會以該數組的shape輸出其中每個數字成功次數的條件下，對應的機率。
dd = stats.binom.pmf(np.arange(0, 21, 1), 100, 0.5)
dd
# 然後對數組求和即求出小于等于20次發生這一事件的機率
dd.sum()
此外，也可以用binom中的cdf()函數來直接解決這個問題
# 依然100次試驗成功20次，每次p=0.5
stats.binom.cdf(20,100,0.5)
圖像繪制
n=10 # 十次試驗
p=0.5
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.title('X~B({},{})二項分布CDF'.format(n,p))
c = [str(i//2) for i in range(0, 2*(n+1))]
c.append('')
d = [stats.binom.cdf(i//2, n, p) for i in range(0, 22)]
d.insert(0,0)
plt.plot(c,d)
plt.show()
3.3.3 二項分布在金融市場的應用
二項分布常常用于描述金融市場中隻有兩個結果的重複事件。
如研究平安銀行股票2020年資料：
# 導入相關子產品
import numpy as np
import tushare as ts
import pandas as pd
from scipy import stats
# 設定好接口 注意這句不能照抄，需要輸入自己的接口密匙
token = 'Your token' # 輸入你的接口密匙，擷取方式及相關權限見Tushare官網。
pro = ts.pro_api(token)
# 擷取資料
df = pro.daily(ts_code='000001.SZ') # daily為tushare的股票日線資料接口。
df['trade_date'] = pd.to_datetime(df['trade_date'])
df.set_index(['trade_date'], inplace=True) # 将日期列作為行索引
df = df.sort_index()
ret = df.pct_chg['2020']
# 估算平安銀行股價上漲的機率
p = len(ret[ret > 0]) / len(ret)
print(p)
# 估計十個交易日中，平安銀行有六個交易日上漲的機率
prob = stats.binom.pmf(6,10,p)
print(prob)
4. 正态分布
4.1 正态分布概述
正态分布(Normal Distribution)又名高斯分布(Gaussiam Distribution)，是人們最常用的描述連續型随機變量的機率分布。在金融學研究中，收益率等變量的分布假定為正态分布或者對數正态分布(取對數後服從正态分布)。因為形狀的原因，正态分布曲線也被經常稱為鐘形曲線。
正态分布分布律： 若随機變量X滿足服從一個數學期望為u, 方差為 σ 2 \displaystyle \sigma^2 σ2的正态分布，記為X ~ ( N , σ 2 ) \displaystyle(N,\sigma^2 ) (N,σ2)，則X的取值範圍為( − ∞ , + ∞ \displaystyle -\infty,+\infty −∞,+∞)，其機率密度為：
f X ( x ) = 1 2 π σ e x p [ − ( x − u ) 2 2 σ 2 ] \displaystyle f_X\relax{(x)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}exp\left[\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}\right] fX(x)=2πσ
1exp[2σ2−(x−u)2]
均值越大圖像越靠右，方差越小圖像越瘦高
服從正态分布的變量X滿足其線性變換aX+b~( a u + b , a 2 σ 2 \displaystyle au+b,a^2\sigma^2 au+b,a2σ2)。
若令a = 1 σ \displaystyle\frac{1}{\sigma} σ1，b = − u σ \displaystyle\frac{-u}{\sigma} σ−u，即可得到标準正态分布，該過程即标準化，數學式記作：
Z = X − u σ \displaystyle Z=\frac{X-u}{\sigma} Z=σX−u ~ N ( 0 , 1 ) \displaystyle(0,1) (0,1)
任何正态分布都可以進行标準化，轉變成标準正态分布。
4.2 Python正态分布相關函數
正态分布随機數的生成函數是normal()，其文法為：
normal(loc=0.0, scale=1.0, size=None)
- 參數loc：表示正态分布的均值
- 參數scale：表示正态分布的标準差，預設為1
- 參數size：表示生成随機數的數量
# 生成五個标準正态分布随機數
Norm = np.random.normal(size=5)
# 求生成的正态分布随機數的密度值
stats.norm.pdf(Norm)
# 求生成的正态分布随機數的累積密度值
stats.norm.cdf(Norm)
繪制正态分布PDF
# 注意這裡使用的pdf和cdf函數是norm包裡的
u=0
sigma=1
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.title('X~N({},{})正态分布PDF'.format(u,sigma**2))
x = np.linspace(-5,5,100000) # 設定分割區間
y1 = stats.norm.pdf(x,u,sigma**2)
plt.plot(x,y1)
plt.tight_layout() # 自動調整子圖，使之充滿畫布整個區域
plt.show()
圖像效果：
繪制正态分布CDF
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.title('X~N({},{})正态分布CDF'.format(u,sigma**2))
x = np.linspace(-5,5,100000) # 設定分割區間
y2 = stats.norm.cdf(x,u,sigma**2)
plt.plot(x,y2)
plt.tight_layout()
plt.show()
圖像效果：
4.3 正态分布在金融市場的應用
VAR(Value at Risk)，即在險價值。是指在一定機率水準(α%)下，某一金融資産或金融資産組合在未來特定一段時間内的最大可能的損失，該定義可表達為： P { X t < − V a R } \displaystyle P\{X_t < -VaR\} P{Xt<−VaR} = α%
其中，随機變量Xt為金融資産或金融資産組合在持有期 Δ t \displaystyle \Delta t Δt内的損失，1-α%被叫做VaR的置信水準。
這裡用到了ppf() 函數，來擷取指定分位數的累積密度值。
假設平安銀行股價2020年日收益率序列服從正态分布，下面用Python來求解當機率水準為5%時平安銀行股價日收益率在2021年初個交易日的VaR:
# 上邊已經定義過ret變量了，為平安銀行2020年股價日收益率資料，
# 這裡直接接着使用
ret_mean = ret.mean() # 求均值
ret_variance = ret.var() # 求方差
# 查詢累積密度值為0.05的分位數
stats.norm.ppf(0.05, ret_mean, ret_variance**0.5)
也就是說，在2021年的第一個交易日，有95%機率平安銀行股票的損失不會超過3.475523569%。
（雖然當天實際跌了3.83，産生了異常值。）
5. 其他連續分布
5.1 卡方分布
若Z1, Z2, … Zn,為n個服從标準正态分布的随機變量，則變量：
X = Z 1 2 + Z 2 2 + ⋯ + Z n 2 \displaystyle X=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_n^2 X=Z12+Z22+⋯+Zn2
服從自由度(Degree of Freedom)為n的卡方分布，
通常表示為 X 2 \displaystyle X^2 X2~ χ 2 \displaystyle \chi^2 χ2
因為n的取值可以不同，是以卡方分布是一族分布而不是一個單獨的分布。根據X的表達式，服從卡方分布的随機變量值不可能取負值，其期望值為n，方差為2n。
plt.plot(np.arange(0, 5, 0.002),\
stats.chi.pdf(np.arange(0, 5, 0.002), 3))
plt.title('卡方分布PDF（自由度為3）')
生成圖像如下：
卡方分布以0為起點，分布是偏斜的，即非對稱的，在自由度為3的卡方分布下，大多數值都小于8，查表可知隻有5%的值大于7.82%。
5.2 t分布
若随機變量 Z \displaystyle Z Z ~ N ( 0 , 1 ) \displaystyle N(0,1) N(0,1)， Y \displaystyle Y Y ~ χ 2 ( n ) \displaystyle\chi^2(n) χ2(n)，且二者互相獨立，
則變量 X = Z Y / n \displaystyle X=\frac{Z}{\sqrt{Y/n}} X=Y/n
Z服從自由度為n的t分布，
可以記作 X \displaystyle X X~ t ( n ) \displaystyle t(n) t(n)。
類似卡方分布，t分布也是整整一族，自由度n不同t分布即不同。
t分布變量取值範圍為（ − ∞ , + ∞ \displaystyle -\infty,+\infty −∞,+∞），其期望值與方差存在于否，取值大小均與t分布的自由度有關。
- t(1)分布無有限期望值。
- t(2)有有限期望值，但方差不存在。
- n>2時，t(n)才同時有有限的期望值和方差，其中期望值為0，方差為n/(n-2)，是以自由度越大，變量的方差越小，也就是說分布的離散程度越小。
下邊使用Python繪制不同自由度下的t分布的機率分布圖：
x = np.arange(-4,4.004,0.004)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x), label='Normal')
plt.plot(x, stats.t.pdf(x,5), label='df=5')
plt.plot(x, stats.t.pdf(x,30), label='df=30')
plt.legend()
結果如圖所示：
t分布的pdf曲線是以0為中心，左右對稱的單峰分布，其形态變化與自由度n的大小有關，自由度越小，分布越分散；自由度越大，變量在其均值周圍的聚集程度越高，也越接近标準正态分布曲線。
自由度為30時，t分布已經接近标準正态分布曲線。相較于标準正态分布，t分布的密度函數呈現出“尖峰厚尾”的特點。在現實中資産收益率分布往往呈現這種形态，是以t分布在對實際抽樣結果的刻畫上更為精确。t分布是在推斷統計中常用的分布。
————
5.3 F分布
若Z，Y為兩個獨立的随機變量，且 Z \displaystyle Z Z~ χ 2 ( m ) \displaystyle \chi^2(m) χ2(m)、 Y \displaystyle Y Y~ χ 2 ( n ) \displaystyle ~\chi^2(n) χ2(n)，
則變量 X = Z / m Y / n \displaystyle X=\frac{Z/m}{Y/n} X=Y/nZ/m服從第一自由度為m，第二自由度為n的F分布。
記作X~ F ( m , n ) \displaystyle F(m, n) F(m,n)
變量X是兩個卡方變量(非負)之比，是以X的取值範圍也為非負，其期望和方差存在于否取決于第二自由度n。
n > 2時，才存在期望，為 n n − 2 \displaystyle \frac{n}{n-2} n−2n
n > 4時，才存在方差，為 2 n 2 ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) 2 ( n − 4 ) \displaystyle \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)} m(n−2)2(n−4)2n2(m+n−2)
plt.plot(np.arange(0,5,0.002),\
stats.f.pdf(np.arange(0,5,0.002), 4, 40))
plt.title('F分布PDF(df1=4, df2=40)')
它的機率密度函數形态如圖所示
6. 變量的關系
我們面對的多個随機變量，之間可能會有互相影響。
6.1 聯合機率分布
多個變量之間的聯合行為可以用聯合機率分布(Joint Probability Distribution)來刻畫。
若變量X, Y是離散的，其所有可能取值的集合為{ak}和{bk}, k=1，2，…，
則X，Y的聯合機率品質函數(Joint Probability Mass Function)為:
f X , Y ( a , b ) = P { X = a i 且 Y = b j } \displaystyle f_{X,Y}(a,b)=P\{X=a_i 且 Y=b_j\} fX,Y(a,b)=P{X=ai且Y=bj}, i,j=1,2…
雙變量X和Y的聯合累積分布函數(Joint Cumulative Distribution Function)為： F X , Y ( a , b ) = P { X ≤ a 且 Y ≤ b } \displaystyle F_X,Y(a,b)=P\{X \leq a 且 Y \leq b\} FX,Y(a,b)=P{X≤a且Y≤b}
-
當X和Y是離散型的：
F ( X , Y ) ( a , b ) = ∑ i : a i ≤ a ∑ j : b j ≤ b P { X = a i 且 Y = b j } = ∑ i : a i ≤ a ∑ j : b j ≤ b f X , Y ( a i , b j ) \displaystyle F_{(X,Y)}(a,b)=\sum_{i:a_i \leq a} \sum_{j:b_j \leq b} P \{X=a_i且Y=b_j\}=\sum_{i:a_i \leq a} \sum_{j:b_j \leq b}f_{X,Y}(a_i,b_j) F(X,Y)(a,b)=i:ai≤a∑j:bj≤b∑P{X=ai且Y=bj}=i:ai≤a∑j:bj≤b∑fX,Y(ai,bj)
-
當X和Y是連續型的：
F ( X , Y ) ( a , b ) = ∫ − ∞ a ∫ − ∞ b f X , Y ( x , y ) d x d y \displaystyle F_{(X,Y)}(a,b)=\int_{-\infty}^a\int_{-\infty}^bf_{X,Y}(x,y)dxdy F(X,Y)(a,b)=∫−∞a∫−∞bfX,Y(x,y)dxdy
其中 f X , Y ( x , y ) d x d y \displaystyle f_{X,Y}(x,y)dxdy fX,Y(x,y)dxdy是聯合機率密度函數(Joint Probability Density Function)>
若已知X和Y的聯合機率分布，則X的期望值為：
E ( X ) = ∑ i ∑ j a i f X , Y ( a i , b j ) \displaystyle E(X)=\sum_i \sum_ja_if_{X,Y}(a_i,b_j) E(X)=i∑j∑aifX,Y(ai,bj)
= ∑ i a i ∑ j f X , Y ( a i , b j ) \displaystyle =\sum_i a_i\sum_jf_{X,Y}(a_i,b_j) =i∑aij∑fX,Y(ai,bj)
= ∑ i a i f X ( a i ) \displaystyle =\sum_i a_if_X(a_i) =i∑aifX(ai)
其中 f X ( a i ) = ∑ j f X , Y ( a i , b i ) \displaystyle f_X(a_i)=\sum_jf_{X,Y}(a_i,b_i) fX(ai)=j∑fX,Y(ai,bi)為變量X的邊際機率函數(Marginal Probability Function)，代表的是變量X自己的機率分布，是以這裡 f X ( a i ) \displaystyle f_X(a_i) fX(ai)依然滿足 f X ( a k ) = P { X = a k } \displaystyle {f_X}\relax{(a_k)}=P\{X=a_k\} fX(ak)=P{X=ak}定義式。同理可得 E ( Y ) = ∑ j b j f Y ( b j ) \displaystyle E(Y)=\sum_j b_jf_Y(b_j) E(Y)=j∑bjfY(bj)，其形式與單變量的形式無差别。方差求解亦是如此。
6.2變量的獨立性
如果随機變量X和Y的聯合累積分布函數滿足：
F ( X , Y ) ( a , b ) = F X ( a ) F Y ( b ) \displaystyle F_{(X,Y)}(a,b)=F_X(a)F_Y(b) F(X,Y)(a,b)=FX(a)FY(b)
則稱X和Y是獨立的，否則二者是相依的。
兩變量的獨立關系也可以表達成，
f X , Y ( a , b ) = f X ( a ) f Y ( b ) \displaystyle f_{X,Y}(a,b)=f_X(a)f_Y(b) fX,Y(a,b)=fX(a)fY(b)
對于離散型随機變量，此式等價于
P { X = a 且 Y = b } = P { X = a } P { Y = b } \displaystyle P\{X=a且Y=b\}=P\{X=a\}P\{Y=b\} P{X=a且Y=b}=P{X=a}P{Y=b}
變量之間的互相獨立是衆多統計分析的基本假設，也是變量之間的基本關系。
6.3 變量的相關性
随機變量X和Y的協方差(Covariance)可以衡量二者之間的關系，描述的是兩随機變量與各自期望的偏差共同的變動狀況，表達式為：
C o v ( X , Y ) = E [ ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) ] Cov(X,Y)=E\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right] Cov(X,Y)=E[(X−E(X))(Y−E(Y))]
協方差為正說明，平均而言變量X、Y與各自期望的偏差呈同方向變動；如果為負，則為反方向變動。
協方差有如下性質：
- C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
- C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( Y , X ) Cov(aX,bY)=abCov(Y,X) Cov(aX,bY)=abCov(Y,X) (a,b是常數)
- C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( Y , X 2 ) Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(Y,X_2) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(Y,X2)
第二個性質說明，協方差受比例影響，并不能準确地衡量兩變量相關性的大小。，不能直接衡量兩變量相關性強弱。對協方差進一步處理，清除比例的影響，于是就有了相關系數(Correlation Coefficient):
ρ X , Y = C o v ( X , Y ) σ X σ Y \displaystyle \rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} ρX,Y=σXσYCov(X,Y)
相關系數取值範圍為[-1,+1]
ρ=0時，說明兩個變量是不相關的。
0<ρ<1時， 說明兩變量呈正向的線性關系
-1<ρ<0時，說明兩變量呈負向的線性關系。
aX和bX的相關性：
ρ a X , b Y = C o v ( a X , b Y ) V a r ( a X ) ( V a r ( b Y ) ) \displaystyle \rho_{aX,bY}=\frac{Cov(aX,bY)}{\sqrt{Var{(aX)}}\sqrt{(Var(bY))}} ρaX,bY=Var(aX)
(Var(bY))
Cov(aX,bY)
= a b C o v ( X , Y ) ∣ a ∣ σ X ∣ b ∣ σ Y \displaystyle=\frac{abCov(X,Y)} {|a|\sigma_X|b|\sigma_Y} =∣a∣σX∣b∣σYabCov(X,Y)
= ± ρ X , Y \displaystyle=\pm \rho_{X,Y} =±ρX,Y
如果變量Y是X的線性變換，滿足Y=a+bX，則二者之間的相關系數為：‘
ρ X , Y = C o v ( X , a + b X ) σ X V a r ( a + b X ) \displaystyle \rho_{X,Y}=\frac{Cov(X,a+bX)}{\sigma_X\sqrt{Var(a+bX)}} ρX,Y=σXVar(a+bX)
Cov(X,a+bX)
b V a r ( X ) ∣ b ∣ V a r ( X ) = ± 1 \displaystyle \frac{b{Var(X)}}{|b|Var(X)}=\pm1 ∣b∣Var(X)bVar(X)=±1
6.4 上證指數與深證成指相關性分析
上證指數和深證成指是股票市場常用的反映股票市場情況的指數，我們認為兩個指數的日收益率可以存在相關的關系。代碼如下：
import numpy as np
import tushare as ts
import pandas as pd
token = 'Your Token' # 輸入你的接口密匙，擷取方式及相關權限見Tushare官網。
pro = ts.pro_api(token)
# 深證成指
SZindex = pro.index_daily(ts_code='399001.SZ')
SZindex['trade_date'] = pd.to_datetime(SZindex['trade_date'])
SZindex.set_index(['trade_date'], inplace=True)
SZindex = SZindex.sort_index()
# 上證指數
SHindex = pro.index_daily(ts_code='000001.SH')
SHindex['trade_date'] = pd.to_datetime(SHindex['trade_date'])
SHindex.set_index(['trade_date'], inplace=True)
SHindex = SHindex.sort_index()
# 用2020年日收益率資料繪制散點圖
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.scatter(SHindex.pct_chg['2020'],SZindex.pct_chg['2020'])
plt.title('上證指數與深證成指2020年收益率散點圖')
plt.xlabel('上證指數收益率')
plt.ylabel('深證成指收益率')
plt.show()
生成圖像展示如下：
# 計算上證綜指和深證成指收益率相關系數
SHindex.pct_chg['2020'].corr(SZindex.pct_chg['2020'])
相關系數為0.9308847411746248，可以認為二者存在較強的相關性，二者呈現正向的線性關系。