數學分析中極限、連續、可導、可微、偏導數的存在與連續、混合偏導數的存在與連續、方向導數的定義及關系整理
一、一進制：
1.極限：
1）數列極限：
設${a_n}$為數列，a為定數.若對任給的正數$\varepsilon$,總存在正整數N，使得當n>N時，有\[{|a_{n}-a|}<{\varepsilon},\] 則稱數列${a_{n}}$收斂于a,定數a 稱為數列${a_n}$的極限，并記作$\lim_{n\to\infty}{a_n}=a$, 或$a_n\to a(a\to\infty)$, 讀作“當n趨于無窮大時，${a_n}$的極限等于a 或 $a_n $趨于a.
2）函數極限：
定義1($\infty $定義)：設f為定義在$[a,\infty)$上的函數，A為定數。若對任給的${\varepsilon}>{0}$,存在正數$M({M}\ge{a})$,使得當$x>M$時有\[{|f(x)-A|}<{\varepsilon}\],則稱函數$f$當$x$趨于$+\infty$ 時以$A$為極限，記作\[ \lim_{x\to + \infty}=A 或 f(x)=A (x\to + \infty)\]
定義2：設函數$f$在點$x_0$的某個空心領域$\mathring{U}(x_0;\delta{'})$内有定義,$A$為定數.若對任給的$\varepsilon>0$,存在正數$\delta$($\delta<\delta{'}),$使得當$0<|x-x_0|<\delta$時有\[ {|f(x)-A|}<{\varepsilon},\] 則稱函數$f$當$x$趨于$x_0$時以$A$為極限，記作\[\lim_{x\to x_0}f(x)=A 或 f(x)\to A(x\to x_0).\]
歸結原則（海涅定理）：\[\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A \Longleftrightarrow \]
對任何$x_n\to x_0 (n\to\infty)$有\[\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}=A.\]
2.連續：設函數$f$在某$U(x_0)$上有定義。若\[\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0),\] 則稱f在點$x_0$連續.
也等價于 \[\lim_{\Delta x\to\infty}\Delta y=0.\]
也可由$“\varepsilon-\delta” $語言叙述，
即對任給的$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得當$|x-x_0|<\delta$時有${|f(x)-f(x_0)|}<{\varepsilon}$,稱函數$f$在點$x_0$連續.
注：由“$f$在點$x_0$連續”意味着極限運算與對應法則的可交換性 即：\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(\lim_{x\to x_0}{x})\]
3.導數：設函數$y=f(x)$在點$x_0$的某鄰域内有定義，若極限 \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]存在，則稱函數$f$在點$x_0$處可導，并稱該極限為函數$f$在點$x_0$處的導數，記作 $f'(x_0).$
4.微分：設函數$y=f(x)$定義在$x_{0}$某鄰域$U(x_0)$上.當給$x_{0}$一個增量$\Delta{x},x_{0}+\Delta{x}\in{U(x_{0})}$時，相應的得到函數的增量為
\[\Delta{y}=f(x_{0}+\Delta{x}+)-f(x_0)\]
如果存在常數$A$，使得$\Delta {y}$能表示成\[ \Delta{y}=A\Delta{x}+o(\Delta{x})，\]則稱函數$f$在點$x_{0}$可微，并稱$A\Delta{x}$為$f$在點$x_{0}$處的微分，記作$dy|_{x=x_{0}}=A\Delta{x} $ 或 $df(x) |_{x=x_{0}}=A\Delta{x}$
連續(極限存在且等于函數值） $\Longleftarrow$ 可導 (定義式極限存在)$\Longleftrightarrow$可微
二、多元函數（以二進制為例）
1.極限：
定義1：設$f$為定義在${D}\subset{R^{2}}$上的二進制函數，$P_{0}$為$D$的一個聚點，$A$是一個确定的實數.若對任給整數$\varepsilon$,總存在某整數$\delta$,使得當${P}\in{{\mathring{U}(P_0;\delta)}\cap{D}}$時，都有\[{|f(P)-A|}<{\varepsilon}\],則稱$f$在$D$上當$P\to{P_0}$時以$A$為極限，記作：\[ \lim_{{P}\to{P_0}\\P\in{D}}{f(P)}=A.\]
二維時 坐标表示為 \[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}{f(x,y)}=A.\]
定義2：設D為二進制函數f的定義域，$P_0(x_0,y_0)$是D的一個聚點。若對任給的正數M，總存在點$P_0$的一個$\delta $鄰域，使得當$P(x,y)\in{{\mathring{U}(P_0;\delta)}\cap{D}}$時，都有$f(P)>M$,則稱$f$在$D$上當$P\to{P_0}$時，存在非正常極限$+\infty$,記作\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=+\infty.\]
或 \[\lim_{P\to{P_0}}f(P)=+\infty.\]
上述極限讨論為以任何方式趨近于特定點，稱為重極限.
累次極限：
定義:設$f(x,y),(x,y)\in{D},D$在$x$軸，$y$軸上的投影分别為$X、Y$,即\[X=\{x|(x,y)\in{D}\}, Y=\{y|(x,y)\in{D}\},\]$x_0,y_0$分别是$X，Y$的聚點，若對每一個$y\in{Y}，$存在極限\[\lim_{x\to{x_0}}f(x,y),\]它一般與$y$有關，故記作\[ \varphi(y)=\lim_{x\to{x_0}}f(x,y),\]
如果進一步還存在極限\[L=\lim_{y\to{y_0}}\varphi(y),\]
則稱此極限L為$f(x,y)$先對$x(\to{x_0}),$後對$y(to{y_0})$的累次極限，記作\[L=\lim_{y\to{y_0}}\lim_{x\to{x_0}}f(x,y).\]
類似可定義\[K=\lim_{x\to{x_0}}\lim_{y\to{y_0}}f(x,y).\]
重極限與累次極限的關系：
某點$P_0(x_0,y_0)$存在重極限與累次極限(之一即可),則它們必相等;
$\Longrightarrow $
1.累次極限、重極限都存在則三者必相等
2.兩個累次極限存在但不相等則重極限必不存在.
例1: $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.$
例2: $f(x,y)=\frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}.$
例3: $f(x,y)=x\sin\frac{1}{y}+y\sin\frac{1}{x}.$
2.連續：
定義：設$f$為定義在點集$D\subset{R^2}$上的二進制函數，$P_0\in{D}$($P_0$為聚點或孤立點)對于任給的正數$\varepsilon$,總存在相應正數$\delta $，隻要$P\in{U(P_0;\delta)\cap{D}}，$就有\[|f(P)-f(P_0)|<\varepsilon,\]
則稱$f$關于集合$D$在點$P_0$連續.
增量形式:\[\lim_{(\Delta{x},\Delta{y})\to(0,0)\\(x,y)\in{D}}\Delta{z}=0.\] $\Longrightarrow$
$f$在點$P_0$連續.
3.可微：定義：設函數$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某鄰域$U(P_0)$上有定義，對于$U(P_0)$中的點$P(x,y)=(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})$,若函數f在點$P_{0}$處的全增量\Delta{z} 可表示為
\[\begin{aligned}\Delta{z}&=f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})-f(x_0,y_0)\\&=A\Delta{x}+B\Delta{y}+o(\rho)\\&=A\Delta{x}+B\Delta{y}+\alpha\Delta{x}+\beta\Delta{y}\\\lim_{(\Delta{x},\Delta{y})\to(0,0)}\alpha=\lim_{(\Delta{x},\Delta{y})\to(0,0)}\beta=0.\end{aligned}\]
其中A，B是僅與點$P_0$有關的常數，$\rho=\sqrt{\Delta{x}^2+\Delta{y}^2}$,$o(\rho)$是較$\rho$高階的無窮小量,則稱函數f在點$P_0$可微.并稱關于$\Delta{x},\Delta{y}$的線性函數$A\Delta{x}+B\Delta{y}$為函數$f$在點$P_0$的全微分，記作$$dz|_{P_0}=df(x_0,y_0)=A\Delta{x}+B\Delta{y}$$
4.偏導數：設函數$z=f(x,y),(x,y)\in{D}.$若$(x_0,y_0)\in{D}$,且$f(x,y_0)$在$x_0$的某鄰域内有定義，則當極限
\[\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{\Delta{_x}f(x_0,y_0)}{\Delta{x}}=\lim_{\Delta{x}\to{0}}\frac{f(x_0+\Delta{x},y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta{x}}\]
存在時，稱這個極限為函數$f$在點$(x_0,y_0)$關于$x$的偏導數，
記作 $f_{x}(x_0,y_0)$或$z_{x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial x}|_(x_0,y_0),\frac{\partial z}{\partial x}_(x_0,y_0).$
偏導數連續$\Longrightarrow$可微$\Longleftrightarrow$偏導數存在
5.方向導數：
定義：設三元函數$f$在點$P_{0}(x_0,y_0,z_0)$的某鄰域$U(P_0)\subset{R^3}$有定義，$l$為從點$P_{0}$出發的射線，$P(x,y,z)$為$l$上且包含于$U(P_0)$内的任一點，以$\rho$表示$P$與$P_0$兩點間的距離.若極限\[\lim_{\rho\to{0^+}}\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho}=\lim_{\rho\to{0^+}}\frac{\Delta_{l}f}{\rho}\]存在，則稱此極限為函數$f $在點$P_0$沿方向$l$的方向導數，記作\[\frac{\partial f}{\partial l}|_{P_0}f_{l}(P_0)或f_{l}(x_0,y_0,z_0).\]
若$f$在$P_0$可微，則在$P_0$沿任一方向$l$的方向導數都存在，且\[f_{l}(P_0)=f_{x}(P_0)\cos{\alpha}+f_{y}(P_0)\cos{\beta}+f_{z}(P_0)\cos{\gamma},\]其中$\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma $為方向$l$的方向餘弦.
引入 梯度(gradient)：$grad=(f_{x}(P_0),f_{y}(P_0),f_{z}(P_0)).$
又$l$可機關化為$l_0=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) $
進而 $f_{l}(P_0)=gradf(P_0)\cdot{l_0}=|gradf(P_0)|\cos\theta$
6.混合偏導數連續必相等.(構造函數+中值定理）
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