凸優化第二章凸集 2.2 重要例子（仿射集合和凸集）

2.2 重要例子

1 空集、單點集、

都是

的仿射

2 任意直線都是仿射

3 一條線段是凸的，但不是仿射

4 射線是凸的，但不是仿射

5 任何子空間都是仿射的、凸錐

超平面與半空間

超平面

數學上超平面是具有下列形式的集合:

從上式看出，超平面其實是線性方程的解空間。從幾何上看，超平面其實是以a為法向量的平面。如下圖：

半空間

半空間數學上的定義是

幾何上是：

Euclid球和橢球

Euclid球

以

為球心以r為半徑的球這樣表示：

也可以寫成：

Euclid球是凸集：

橢球

其中

是橢球中心，P是對稱正定矩陣，P決定了橢球從

向各個方向占的幅度。橢球的半周長度由P的特征值的算術平方根确定。可以看出Euclid球是一種特殊的橢球，這種特殊的橢球的

，I是機關矩陣。

橢球還可以表示成：

其中A是對稱半正定矩陣，且A是非奇異方陣，

。

當A是對稱半正定矩陣，但奇異時，該橢球稱為退化的橢球，其仿射維數等于A的秩，且也是凸的。

範數球和範數錐

範數

範數表示成

具有三個性質：

1. 非負性：

   

2. 保數乘：

   

3. 三角不等式：

   

範數球

以

為球心，半徑為r的範數球定義為:

範數錐

範數錐是集合：

範數球和範數錐都是凸的。

多面體

多面體是有限個不等式和等式的解集。

從方程組的角度來看多面體是多個等式方程組和不等式方程組的解集，從幾何上來看，其實多面體是多個超平面（對應等式方程）和半空間（對應不等式方程）的交集。

半正定錐

表示對稱的

矩陣，

表示對稱半正定矩陣，

表示對稱正定矩陣。

就是一個凸錐。

不是凸錐，但是凸的。

來源：https://blog.csdn.net/wangchy29/article/details/86485059