算法——（轉）動态規劃入門

轉載自：教你徹底學會動态規劃——入門篇

1、概述　

動态規劃相信大家都知道，動态規劃算法也是新手在剛接觸算法設計時很苦惱的問題，有時候覺得難以了解，但是真正了解之後，就會覺得動态規劃其實并沒有想象中那麼難。網上也有很多關于講解動态規劃的文章，大多都是叙述概念，講解原理，讓人覺得晦澀難懂，即使一時間看懂了，發現當自己做題的時候又會覺得無所适從。我覺得，了解算法最重要的還是在于練習，隻有通過自己練習，才可以更快地提升。話不多說，接下來，下面我就通過一個例子來一步一步講解動态規劃是怎樣使用的，隻有知道怎樣使用，才能更好地了解，而不是一味地對概念和原理進行反複琢磨。

2、例題解析

    首先，我們看一下這道題（此題目來源于北大POJ）：數字三角形(POJ1163)

    在上面的數字三角形中尋找一條從頂部到底邊的路徑，使得路徑上所經過的數字之和最大。路徑上的每一步都隻能往左下或 右下走。隻需要求出這個最大和即可，不必給出具體路徑。 三角形的行數大于1小于等于100，數字為 0 - 99

    輸入格式：

    5      //表示三角形的行數    接下來輸入三角形

    7

    3   8

    8   1   0

    2   7   4   4

    4   5   2   6   5

2.1 解題思路

　要求：輸出最大和

    接下來，我們來分析一下解題思路：

    首先，肯定得用二維數組來存放數字三角形

    然後我們用D( r, j) 來表示第r行第 j 個數字(r,j從1開始算)

    我們用MaxSum(r, j)表示從D(r,j)到底邊的各條路徑中，最佳路徑的數字之和。

    是以，此題的最終問題就變成了求 MaxSum(1,1)

2.2 遞歸算法

    當我們看到這個題目的時候，首先想到的就是可以用簡單的遞歸來解題：

    D(r, j)出發，下一步隻能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故對于N行的三角形，我們可以寫出如下的遞歸式：   

if ( r == N)                
    MaxSum(r,j) = D(r,j)  
else      
    MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)           

複制

    根據上面這個簡單的遞歸式，我們就可以很輕松地寫出完整的遞歸代碼： 

#include <iostream>  
#include <algorithm> 
#define MAX 101  
using namespace std; 
int D[MAX][MAX];  
int n;  
int MaxSum(int i, int j){    
    if(i==n)  
        return D[i][j];    
    int x = MaxSum(i+1,j);    
    int y = MaxSum(i+1,j+1);    
    return max(x,y)+D[i][j];  
}
int main(){    
    int i,j;    
    cin >> n;    
    for(i=1;i<=n;i++)   
        for(j=1;j<=i;j++)        
            cin >> D[i][j];    
    cout << MaxSum(1,1) << endl;  
}              

複制

    對于如上這段遞歸的代碼，當我送出到POJ時，會顯示如下結果：

    對的，代碼運作逾時了，為什麼會逾時呢？

    答案很簡單，因為我們重複計算了，當我們在進行遞歸時，計算機幫我們計算的過程如下圖：

    就拿第三行數字1來說，當我們計算從第2行的數字3開始的MaxSum時會計算出從1開始的MaxSum，當我們計算從第二行的數字8開始的MaxSum的時候又會計算一次從1開始的MaxSum，也就是說有重複計算。這樣就浪費了大量的時間。也就是說如果采用遞規的方法，深度周遊每條路徑，存在大量重複計算。則時間複雜度為 2的n次方,對于 n = 100 行，肯定逾時。 

    接下來，我們就要考慮如何進行改進，我們自然而然就可以想到如果每算出一個MaxSum(r,j)就儲存起來，下次用到其值的時候直接取用，則可免去重複計算。那麼可以用n方的時間複雜度完成計算。因為三角形的數字總數是 n(n+1)/2

2.3 遞歸轉動态規劃

    根據這個思路，我們就可以将上面的代碼進行改進，使之成為記憶遞歸型的動态規劃程式： 

#include <iostream>  
#include <algorithm> 
using namespace std;
 
#define MAX 101
  
int D[MAX][MAX];    
int n;  
int maxSum[MAX][MAX];
 
int MaxSum(int i, int j){      
    if( maxSum[i][j] != -1 )         
        return maxSum[i][j];      
    if(i==n)   
        maxSum[i][j] = D[i][j];     
    else{    
        int x = MaxSum(i+1,j);       
        int y = MaxSum(i+1,j+1);       
        maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];     
    }     
    return maxSum[i][j]; 
} 
int main(){    
    int i,j;    
    cin >> n;    
    for(i=1;i<=n;i++)   
        for(j=1;j<=i;j++) {       
            cin >> D[i][j];       
            maxSum[i][j] = -1;   
        }    
    cout << MaxSum(1,1) << endl; 
}            

複制

    當我們送出如上代碼時，結果就是一次AC

    雖然在短時間内就AC了。但是，我們并不能滿足于這樣的代碼，因為遞歸總是需要使用大量堆棧上的空間，很容易造成棧溢出，我們現在就要考慮如何把遞歸轉換為遞推，讓我們一步一步來完成這個過程。

    我們首先需要計算的是最後一行，是以可以把最後一行直接寫出，如下圖：

    現在開始分析倒數第二行的每一個數，現分析數字2，2可以和最後一行4相加，也可以和最後一行的5相加，但是很顯然和5相加要更大一點，結果為7，我們此時就可以将7儲存起來，然後分析數字7，7可以和最後一行的5相加，也可以和最後一行的2相加，很顯然和5相加更大，結果為12，是以我們将12儲存起來。以此類推。。我們可以得到下面這張圖：

    然後按同樣的道理分析倒數第三行和倒數第四行，最後分析第一行，我們可以依次得到如下結果：

    上面的推導過程相信大家不難了解，了解之後我們就可以寫出如下的遞推型動态規劃程式： 

#include <iostream>  
#include <algorithm> 
using namespace std; 
 
#define MAX 101  
 
int D[MAX][MAX];   
int n;  
int maxSum[MAX][MAX]; 
int main(){    
    int i,j;    
    cin >> n;    
    for(i=1;i<=n;i++)   
        for(j=1;j<=i;j++)        
            cin >> D[i][j];   
    for( int i = 1;i <= n; ++ i )     
        maxSum[n][i] = D[n][i];   
    for( int i = n-1; i>= 1;  --i )     
        for( int j = 1; j <= i; ++j )         
            maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];    
    cout << maxSum[1][1] << endl;  
}            

複制

     我們的代碼僅僅是這樣就夠了嗎？當然不是，我們仍然可以繼續優化，而這個優化當然是對于空間進行優化，其實完全沒必要用二維maxSum數組存儲每一個MaxSum(r,j),隻要從底層一行行向上遞推，那麼隻要一維數組maxSum[100]即可,即隻要存儲一行的MaxSum值就可以。

     對于空間優化後的具體遞推過程如下：

    接下裡的步驟就按上圖的過程一步一步推導就可以了。進一步考慮，我們甚至可以連maxSum數組都可以不要，直接用D的第n行直接替代maxSum即可。但是這裡需要強調的是：雖然節省空間，但是時間複雜度還是不變的。

    依照上面的方式，我們可以寫出如下代碼：    

#include <iostream>  
#include <algorithm> 
using namespace std; 
 
#define MAX 101  
 
int D[MAX][MAX];  
int n; 
int * maxSum; 
 
int main(){    
    int i,j;    
    cin >> n;    
    for(i=1;i<=n;i++)   
        for(j=1;j<=i;j++)        
            cin >> D[i][j];   
    maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行    
    for( int i = n-1; i>= 1;  --i )     
        for( int j = 1; j <= i; ++j )       
            maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];    
    cout << maxSum[1] << endl;  
}           

複制

 3、總結

3.1 遞歸到動規的一般轉化方法

    遞歸函數有n個參數，就定義一個n維的數組，數組的下标是遞歸函數參數的取值範圍，數組元素的值是遞歸函數的傳回值，這樣就可以從邊界值開始， 逐漸填充數組，相當于計算遞歸函數值的逆過程。

3.2 動規解題的一般思路

    1. 将原問題分解為子問題

•     把原問題分解為若幹個子問題，子問題和原問題形式相同或類似，隻不過規模變小了。子問題都解決，原問題即解決(數字三角形例）。
•     子問題的解一旦求出就會被儲存，是以每個子問題隻需求 解一次。

    2.确定狀态

•     在用動态規劃解題時，我們往往将和子問題相關的各個變量的一組取值，稱之為一個“狀 态”。一個“狀态”對應于一個或多個子問題， 所謂某個“狀态”下的“值”，就是這個“狀 态”所對應的子問題的解。
•     所有“狀态”的集合，構成問題的“狀态空間”。“狀态空間”的大小，與用動态規劃解決問題的時間複雜度直接相關。 在數字三角形的例子裡，一共有N×(N+1)/2個數字，是以這個問題的狀态空間裡一共就有N×(N+1)/2個狀态。

    整個問題的時間複雜度是狀态數目乘以計算每個狀态所需時間。在數字三角形裡每個“狀态”隻需要經過一次，且在每個狀态上作計算所花的時間都是和N無關的常數。

    3.确定一些初始狀态（邊界狀态）的值

    以“數字三角形”為例，初始狀态就是底邊數字，值就是底邊數字值。

    4. 确定狀态轉移方程

     定義出什麼是“狀态”，以及在該“狀态”下的“值”後，就要找出不同的狀态之間如何遷移――即如何從一個或多個“值”已知的 “狀态”，求出另一個“狀态”的“值”(遞推型)。狀态的遷移可以用遞推公式表示，此遞推公式也可被稱作“狀态轉移方程”。

    數字三角形的狀态轉移方程: 

3.3 能用動規解決的問題的特點

    1) 問題具有最優子結構性質。如果問題的最優解所包含的 子問題的解也是最優的，我們就稱該問題具有最優子結 構性質。

    2) 無後效性。目前的若幹個狀态值一旦确定，則此後過程的演變就隻和這若幹個狀态的值有關，和之前是采取哪種手段或經過哪條路徑演變到目前的這若幹個狀态，沒有關系。