Matlab基礎（4）——矩陣

Matlab基礎教程（4）——矩陣

文章目錄

• ​​Matlab基礎教程（4）——矩陣​​

• ​​矩陣建立與編輯​​
• ​​矩陣運算​​

矩陣是由

個數

排成的

行

列數表，記成

含有

個

維行向量，

個

維列向量。

矩陣建立與編輯

建立 - 直接輸入

用​

​[]​

​​定義矩陣，同一行的元素用​

​,​

​​或空格分割，不同行的元素用​

​;​

​或回車分割

矩陣的大小不需要預先定義，若​

​[]​

​中不寫元素，表示空矩陣

建立 - 從檔案中讀取

可以将較為常用的矩陣寫入​

​.m​

​​檔案，調用時直接運作該檔案，即可在工作台看到相應矩陣。除此之外，可以使用​

​load​

​​指令調用​

​.txt​

​等類型的檔案。

建立 - 用函數生成特殊矩陣

可以用某些函數生成具有某些特點的矩陣，常用函數如下

函數	說明
​ ​eye(n)​ ​​ ​ ​eye(m,n)​ ​​ ​ ​eye(size(A))​ ​	建立指定大小的機關矩陣
​ ​ones(n)​ ​​ ​ ​ones(m,n)​ ​​ ​ ​ones(size(A))​ ​	建立指定大小矩陣，其中元素均為1
​ ​zeros(n)​ ​​ ​ ​zeros(m,n)​ ​​ ​ ​zeros(size(A))​ ​	建立指定大小矩陣，其中元素均為0
​ ​rand(n)​ ​​ ​ ​rand(m,n)​ ​​ ​ ​rand(size(A))​ ​	建立指定大小矩陣，其中元素服從範圍内的均勻分布
​ ​randn(n)​ ​​ ​ ​randn(m,n)​ ​​ ​ ​randn(size(A))​ ​	建立指定大小矩陣，其中元素服從标準正态分布
​ ​compan(P)​ ​	建立系數向量為的多項式的伴随矩陣
​ ​diag(v)​ ​	建立以向量中的元素為對角線的對角陣
​ ​hilb(n)​ ​	建立一個的Hilbert矩陣
​ ​magic(n)​ ​	建立一個階幻方
​ ​sparse(A)​ ​	将矩陣轉化為稀疏矩陣形式，即由的非零元素和下标構成稀疏矩陣

矩陣拼接

A = [1 2 3 4];
B = zeros(2);
C = ones(2);
D = [A; B C]
% D =
% 
%      1     2     3     4
%      0     0     1     1
%      0     0     1     1      

用​

​,​

​或空格銜接，以實作矩陣的橫向拼接，如上例中的矩陣與矩陣

用​

​;​

​或換行銜接，以實作矩陣的縱向拼接，如上例中的矩陣與拼接矩陣

引用矩陣中的某些元素

對矩陣的每個次元均指定一個索引，即可引用相應的資料。

索引可以是标量（一個數）、向量（隻能包含正整數）和​

​:​

​（表示全部）。

A = [1  2  3  4
   5  6  7  8
   9 10 11 12];

A(2,2)  % 第2行第2列，即元素6
A(3,[2,4])  % 第3行第2和第4列，即[10 12]
A(1:3,3)  % 第3列第1行至第4行，即[3;7;11]
A(3,:)  % 第3行所有元素，即[9 10 11 12]
A(:,4)  % 第4列所有元素，即[4;8;12]      

矩陣變形

• 變換次元：通過函數​

  ​reshape(X,m,n)​

  ​實作：将中的資料按列取出，再根據指定的次元，從左至右按列填充

t = 1:12;
A = reshape(t, 2, 6)
% A =
%      1     3     5     7     9    11
%      2     4     6     8    10    12

B = reshape(A, 4, 3)
% B =
%      1     5     9
%      2     6    10
%      3     7    11
%      4     8    12      

也可以僅指定一個次元，讓函數自适應另一個次元的大小

C = reshape(B, 3, []);  % 重構為3*4的矩陣
D = reshape(C, [], 2);  % 重構為6*2的矩陣      

• 旋轉與翻轉

函數	說明
​ ​rot90(X)​ ​​ ​ ​rot90(X,k)​ ​	将矩陣逆時針方向旋轉
​ ​fliplr(X)​ ​	将矩陣左右翻轉
​ ​flipud(X)​ ​	将矩陣上下翻轉
​ ​flipdim(X,dim)​ ​	​ ​dim=1​ ​​時對行翻轉，​ ​dim=2​ ​時對列翻轉

三角陣/對角陣的抽取

提取對角線/用對角線構造對角陣

v = 1:3;
A = diag(v)  % 生成以向量v為對角線的對角陣
%      1     0     0
% A =  0     2     0
%      0     0     3

v = diag(A)  % 提取矩陣A的對角線，生成列向量
%      1
% v =  2
%      3

A = diag(v,2)  % 生成以向量v為主對角線上第2條對角線的對角陣
%      0     0     1     0     0
%      0     0     0     2     0
% A =  0     0     0     0     3
%      0     0     0     0     0
%      0     0     0     0     0

v = diag(A,2)  % 提取主對角線上第2條對角線，生成列向
%      1
% v =  2
%      3      

提取上/下三角陣

A = ones(3);
tril(A)  % 提取下三角陣
%      1     0     0
%      1     1     0
%      1     1     1

tril(A,1)  % 從主對角線上第一條對角線開始提取下三角陣
%      1     1     0
%      1     1     1
%      1     1     1

triu(A)  % 提取上三角陣
%      1     1     1
%      0     1     1
%      0     0     1

triu(A,-1)  % 從主對角線下第一條對角線開始提取上三角陣
%      1     1     1
%      1     1     1
%      0     1     1      

幾個函數雖然功能不同，但第二個參數中對角線的定位規則一緻，正數代表主對角線上的對角線，負數代表下面的對角線，提取時取閉區間。

矩陣運算

加減運算

要求進行運算的矩陣形狀一緻，計算時對應位置相加減即可，有交換律和結合律。

乘運算

若有三個矩陣，則對矩陣中的任意一個元素，有

即

其中矩陣的列數（第二次元）需要等于矩陣的行數（第一次元）。

矩陣乘運算不滿足交換律。

點乘運算

兩個形狀一緻的矩陣，對應位相乘，得到一個形狀不變的矩陣。

除法運算 - 左除

線性方程組，若非奇異，即它的逆矩陣存在，則可解出​​

​X=inv(D)*B=D\B​

​

條件：的階數等于的行數。（非奇異表明是方陣）

除法運算 - 右除

線性方程組，若非奇異，即它的逆矩陣存在，則可解出​​

​X=B*inv(D)=B/D​

​

條件：的列數等于的階數。

• 除号偏向哪邊，哪邊要求非奇異
• 使用除法運算解線性方程組比使用​

  ​inv​

  ​求逆的方法更迅速，且擁有更小的殘差

常用矩陣運算函數

函數	說明
​ ​cond(A)​ ​	傳回2-範數逆運算的條件數，即最大奇異值與最小奇異值之比
​ ​condest(A)​ ​	傳回 1-範數條件數的下限
​ ​det(A)​ ​	傳回矩陣的行列式（一個值）
​ ​eig(A)​ ​	傳回矩陣的特征值/特征向量
​ ​inv(A)​ ​	傳回矩陣的逆
​ ​norm(A,p)​ ​	傳回矩陣的範數，​ ​p​ ​​可以為​ ​1​ ​​ ​ ​2​ ​​ ​ ​Inf​ ​​ ​ ​'fro'​ ​​，不填預設為​ ​2​ ​
​ ​normest(A)​ ​	傳回矩陣的2-範數，相當于​ ​norm(A,2)​ ​
​ ​rank(A)​ ​	傳回矩陣的秩
​ ​orth(A)​ ​	矩陣的正交化運算，傳回适用于矩陣範圍的标準正交基，列數等于秩
​ ​rcond(A)​ ​	傳回1-範數的逆條件數
​ ​trace(A)​ ​	傳回矩陣對角線之和，即矩陣的迹
​ ​expm(A)​ ​	矩陣指數運算，每個元素變為
​ ​logm(A)​ ​	矩陣對數運算，每個元素變為
​ ​sqrtm(A)​ ​	矩陣開方運算，傳回使
​ ​cdf2rdf​ ​	将複數對角矩陣轉換成實數塊對角矩陣
​ ​rsf2csf​ ​	将實數塊對角矩陣轉換成複數對角矩陣
​ ​rref​ ​	将矩陣轉換成逐行遞減的階梯矩陣
​ ​funm​ ​	一般的矩陣函數

關于矩陣的條件數與“病态”：

矩陣的條件數用于刻畫矩陣的“病态”程度，定義為

它是一個不小于1的實數，當時，說矩陣是“病态”的，反之則是“良态”的。

s = svd(A);  % 傳回矩陣A的奇異值列向量s
[U,S,V] = svd(A);  % 傳回矩陣A的奇異值分解因子U、S和V