一階RC和二階RC低通濾波器
- RC電路原理推導
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- 一階RC低通濾波電路
- 二階RC低通濾波電路
RC電路原理推導
因為最近有做一些RC濾波電路的東西，這部分内容都是在大學大學的時候學習的，很多東西也記得不是很清晰了，手頭也沒有資料翻閱，在網上看的資料都是五花八門各不一樣，很多都出現錯誤，并且對于二階RC電路的介紹很少，是以我做了一些整理。
一階RC低通濾波電路
一階RC低通濾波電路如下圖所示
對應系統的傳遞函數的表達式如下 U o U i = 1 R C S + 1 \frac{\mathrm{U}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{U}_{\mathrm{i}}}=\frac{1}{R C S+1} UiUo=RCS+11。
對其進行離散化處理 S = 1 − z − 1 T S=\frac{1-z^{-1}}{T} S=T1−z−1
可得 R C ⋅ 1 − z − 1 T R C 1 − z − 1 T + 1 = R C ( 1 − z − 1 ) R C ( 1 − z − 1 ) + T = Y n X n \frac{R C \cdot \frac{1-z^{-1}}{T}}{R C \frac{1-z^{-1}}{T}+1}=\frac{R C\left(1-z^{-1}\right)}{R C\left(1-z^{-1}\right)+T}=\frac{Y_{n}}{X_{n}} RCT1−z−1+1RC⋅T1−z−1=RC(1−z−1)+TRC(1−z−1)=XnYn
整理可得 Y n = T T + R C X n + R C T + R C Y n − 1 Y_{n}=\frac{T}{T+R C} X_{n}+\frac{RC}{T+R C} Y_{n-1} Yn=T+RCTXn+T+RCRCYn−1
以上就是我們常見的一階濾波的形式，轉換成我們常見的表達式就是 Y n = a X n + ( 1 − a ) Y n − 1 Y_{n}=a X_{n}+(1-a) Y_{n-1} Yn=aXn+(1−a)Yn−1
二階RC低通濾波電路
好了講完一階來講二階，二階相對于一階計算的時候要複雜一點，思路還是一樣的，二階RC低通濾波的電路如下所示
二階RC低通濾波器的傳遞函數表達式為 U 0 U i = 1 S C / / ( R + 1 S C ) R + 1 S C / ( R + 1 S C ) ⋅ 1 S C R + 1 S C \frac{U_{0}}{U_{i}}=\frac{\frac{1}{S C} / /\left(R+\frac{1}{SC}\right)}{R+\frac{1}{SC} /\left(R+\frac{1}{SC}\right)} \cdot \frac{\frac{1}{SC}}{R+\frac{1}{SC}} UiU0=R+SC1/(R+SC1)SC1//(R+SC1)⋅R+SC1SC1
簡化後可得 U 0 U i = R C S + 1 R 2 C 2 S 2 + 3 R C S + 1 ⋅ 1 R C S + 1 = 1 R 2 C 2 S 2 + 3 R C S + 1 \frac{U_{0}}{U_{i}}=\frac{RCS+1}{R^{2} C^{2} S^{2}+3 R C S+1} \cdot \frac{1}{R C S+1}=\frac{1}{R^{2} C^{2} S^{2}+3 R C S+1} UiU0=R2C2S2+3RCS+1RCS+1⋅RCS+11=R2C2S2+3RCS+11
離散化 S = 1 − z − 1 T S=\frac{1-z^{-1}}{T} S=T1−z−1可得 T 2 R 2 C 2 ( 1 − z − 1 ) 2 + 3 R C ( 1 − z − 1 ) + T 2 = Y n X n \frac{T_{}^{2}}{R^{2} C^{2}\left(1-z^{-1}\right)^{2}+3 R C\left(1-z^{-1}\right)+T^{2}}=\frac{Y_{n}}{X_{n}} R2C2(1−z−1)2+3RC(1−z−1)+T2T2=XnYn整理後可得 Y n = T 2 R 2 C 2 + T 2 + 3 R C X n + 2 R 2 C 2 + 3 R C R 2 C 2 + T 2 + 3 R C Y n − 1 + − R 2 C 2 R 2 C 2 + T 2 + 3 R C Y n − 2 Y_{n}=\frac{T^{2}}{R^{2} C^{2}+T^{2}+3 RC}X_{n}+\frac{2 R^{2} C^{2}+3 R C}{R^{2} C^{2}+T^{2}+3 R C} Y_{n-1}+\frac{- R^{2} C^{2}}{R^{2} C^{2}+T^{2}+3 R C} Y_{n-2} Yn=R2C2+T2+3RCT2Xn+R2C2+T2+3RC2R2C2+3RCYn−1+R2C2+T2+3RC−R2C2Yn−2可以看出二階RC與除了與目前時刻的輸入有關系還和上兩個時刻的輸出有關。