IEEE浮點數表示法-------------------------------------------------
float 共計32位(4位元組)
由最高到最低位分别是第31、30、29、......、0位
31位是符号位，1表示該數為負，0反之
30~23位，一共8位是指數位(-128~127)
22~ 0位，一共23位是尾數位
每8位分為一組，分成4組，分别是A組、 B組、 C組、 D組
每一組是一個位元組，在記憶體中逆序存儲，即: DCBA
31 30 23 22 0
|-|--------|-----------------------|
| | | |
|-|--------|-----------------------|
注: 尾數的存儲位為23位，由于沒有存儲最高位的1，是以實際有效位為24位。如果其中20位都用來表示小數部分，能表示的最大值為0.999999
我們先不考慮逆序存儲的問題，因為那樣會把讀者徹底搞暈，是以我先按照順序的來講，最後再把他們翻過來就行了。
純整數的表示方法
-------------------------------------------------
現在讓我們按照IEEE浮點數表示法，一步步的将float型浮點數123456.0f轉換為十六進制代碼。在處理這種不帶小數的浮點數時，直接将整數部轉化為二進制表示:
1 11100010 01000000
也可以這樣表示:
1 11100010 01000000.0
然後将小數點向左移，一直移到離最高位隻有1位:
1.11100010 01000000
一共移動了16位，在布耳運算中小數點每向左移一位就等于在以2為底的科學計算法表示中指數+1，是以原數就等于這樣
1 11100010 01000000 =
1.11100010 01000000 * (2^16)
現在我們要的尾數和指數都出來了。顯而易見，最高位永遠是1，因為你不可能把買了16個雞蛋說成是買了0016個雞蛋吧?(呵呵，可别拿你買的臭雞蛋甩我)，是以這個1我們還有必要保留他嗎?(衆：沒有!)好的，我們删掉他。這樣尾數的二進制就變成了: 11100010 01000000 最後在尾數的後面補0，一直到補夠23位：
11100010 01000000 0000000 (MD，這些個0差點沒把我數的背過氣去)
再回來看指數，一共8位，可以表示範圍是0 ~ 255的無符号整數，也可以表示-128~127的有符号整數。但因為指數是可以為負的，是以為了統一把十進制的整數化為二進制時，都先加上127。
在這裡，我們的16加上127後就變成了143，二進制表示為:
10001111
123456.0f這個數是正的，是以符号位是0，那麼我們按照前面講的格式把它拼起來:
0 10001111 11100010 01000000 0000000
再轉化為16進制為：47 F1 20 00，最後把它翻過來，就成了: 00 20 F1 47
輸出4個位元組的浮點數記憶體資料
-------------------------------------------------
#include <stdio.h>
int main()
{
float f = 123456.0;
unsigned char * c = (char *)&f;
int i = 0;
for (i = 3; i >= 0; i--)
printf("%p/n", c[i]);
}
0x47
0xf1
0x20
(nil)
整數和小數混合的表示方法
-------------------------------------------------
有了上面的基礎後，下面我再舉一個帶小數的例子來看一下為什麼會出現精度問題。
按照IEEE浮點數表示法，将float型浮點數123.456f轉換為十六進制代碼。對于這種帶小數的就需要把整數部和小數部分開處理。整數部直接化二進制: 1111011。小數部的處理比較麻煩一些，也不太好講，可能反着講效果好一點，比如有一個十進制純小數0.57826，那麼5是十分位，位階是1/10；7是百分位，位階是1/100；8是千分位，位階是1/1000 ...，這些位階分母的關系是10^1、 10^2、 10^3...，現假設每一位的序列是{S1、 S2、 S3、 ...、 Sn}，在這裡就是5、 7、 8、 2、 6，而這個純小數就可以這樣表示：
n = S1*(1/(10^1)) + S2*(1/(10^2)) + S3*(1/(10^3)) + ... + Sn*(1/(10^n))
把這個公式推廣到b進制純小數中就是這樣：
n = S1*(1/(b^1)) + S2*(1/(b^2)) + S3*(1/(b^3)) + ... + Sn*(1/(b^n))
天哪，可惡的數學，我怎麼快成了數學老師了!沒辦法，為了廣大程式設計愛好者的切身利益，喝口水繼續！現在一個二進制純小數比如0.100101011就應該比較好了解了，這個數的位階序列就因該是1/(2^1)、1/(2^2)、1/(2^3)、1/(2^4)，即0.5、0.25、0.125、0.0625...。乘以S序列中的1或着0算出每一項再相加就可以得出原數了。現在你的基礎知識因該足夠了，再回過頭來看0.456這個十進制純小數，該如何表示呢?現在你動手算一下，最好不要先看到答案，這樣對你了解有好處。
我想你已經迫不及待的想要看答案了，因為你發現這跟本算不出來！來看一下步驟：
1/2^1位(為了友善，下面僅用2的指數來表示位)，0.456小于位階值0.5故為0；1/2^2位，0.456大于位階值0.25，該位為1，并将0.456減去0.25得0.206進下一位；1/2^3位，0.206大于位階值0.125，該位為1，并将0.206減去0.125得0.081進下一位；1/2^4位，0.081大于0.0625，為1，并将0.081減去0.0625得0.0185進下一位；1/2^5位0.0185小于0.03125，為0...。問題出來了，即使超過尾數的最大長度23位也除不盡！這就是著名的浮點數精度問題了。不過我在這裡不是要給大家講《數值計算》，用各種方法來提高計算精度，因為那太龐雜了，恐怕我講上一年也理不清個頭緒啊。我在這裡就僅把浮點數表示法講清楚便達到目的了。
0.456 0.5 (1/2^1) 0.456 < 0.5 0 0.456-0.5*0 = 0.456
0.456 0.25(1/2^2) 0.456 > 0.25 1 0.456-0.25*1 = 0.206
0.206 0.125 0.206 > 0.125 1 0.206-0.125*1 = 0.081
0.081 0.0625 0.081 > 0.0625 1 0.081-0.0625*1 = 0.0165
0.0165 0.03125 0.0165 -< 0.03125 -0 0.0165-0.03125*0 = 0.0165
0.0165 0.015625 0.0165 -> 0.015625 1 0.0165-0.015625*1= 0.000875
OK，我們繼續。嗯，剛說哪了?哦對對，那個數還沒轉完呢，反正最後一直求也求不盡，加上前面的整數部算夠24位就行了(最高位的1不存入記憶體)：
1111011. 011101001 01111001。某BC問：“不是23位嗎？”我：“倒，不是說過了要把第一個1去掉嗎?當然要加一位喽!”現在開始向左移小數點，大家和我一起移，衆：“1、2、3...”好了，一共移了6位，6加上127得133(怎麼跟教國小生似的?呵呵)，二進制表示為：10000101，符号位為...再...不說了，越說越啰嗦，大家自己看吧：
0 10000101 11101101110100101111001
42 F6 E9 79
79 E9 F6 42
将小數部分換算成二進制
-------------------------------------------------
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
float f;
f = 0.456;
int i, j;
unsigned char c[23];
for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {
if (f > pow(2, i)) {
c[j] = 1;
printf("c[%d] = %d/n", j, c[j]);
f = f - pow(2, i);
}
else {
c[j] = 0;
printf("c[%d] = %d/n", j, c[j]);
}
}
}
純小數的表示方法
-------------------------------------------------
下面再來講如何将純小數轉化為十六進制。對于純小數，比如0.0456，我們需要把他規格化，變為1.xxxx*(2^n)的型式，要求得純小數X對應的n可用下面的公式:
n = int(-1+log(2)X);
0.0456我們可以表示為1.4592乘以以2為底的-5次方的幂，即1.4592*(2^-5)。轉化為這樣形式後，再按照上面第二個例子裡的流程處理:
1. 01110101100011100010001
去掉第一個1
01110101100011100010001
-5 + 127 = 122
0 01111010 01110101100011100010001
最後：
11 C7 3A 3D
另外不得不提到的一點是0.0f對應的十六進制是00 00 00 00，記住就可以了。
将十進制的純小數用二進制表示
-------------------------------------------------
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
float f;
int i, j;
f = 0.0456;
i = (int)(-1 + log(f)/log(2));
f = f / pow(2, i);
f = f - 1;
unsigned char c[23];
for (i = -1, j = 0; i >= -23; i--, j++) {
if (f > pow(2, i)) {
c[j] = 1;
printf("%d", c[j]);
f = f - pow(2, i);
}
else {
c[j] = 0;
printf("%d", c[j]);
}
}
printf("/n");
}
01110101100011100010000
為什麼最後一位不一緻！ 是不是需要計算24位(011101011000111000100001)，然後将最後一位進位！
![241 Different Ways to Add Parentheses（C代碼版）[圖]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)