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大家好，我是小彭。
上周末是 LeetCode 第 337 場周賽，你參加了嗎？這場周賽第三題有點放水，如果按照題目的資料量來說最多算 Easy 題，但如果按照動态規劃來做可以算 Hard 題。
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周賽概覽
2595. 奇偶位數（Easy）
- 題解一：模拟 O(lgn)
- 題解二：位掩碼 + bitCount O(1)
2596. 檢查騎士巡視方案（Medium）
- 題解一：模拟 O(n^2)
2597. 美麗子集的數目（Medium）
- 題解一：回溯 O(2^n)
- 題解二：同餘分組 + 動态規劃 / 打家劫舍 O(nlgn)
2598. 執行操作後的最大 MEX（Medium）
- 題解一：同餘分組 + 貪心 O(n)
2595. 奇偶位數（Easy）
題目位址
https://leetcode.cn/problems/number-of-even-and-odd-bits/
題目描述
給你一個 正 整數 n 。
用 even 表示在 n 的二進制形式（下标從 0 開始）中值為 1 的偶數下标的個數。
用 odd 表示在 n 的二進制形式（下标從 0 開始）中值為 1 的奇數下标的個數。
傳回整數數組 answer ，其中 answer = [even, odd] 。
題解一（模拟）
簡單模拟題。
寫法 1：枚舉二進制位
class Solution {
fun evenOddBit(n: Int): IntArray {
val ret = intArrayOf(0, 0)
for (index in 0..30) {
if (n and (1 shl index) != 0) {
ret[index % 2]++
}
}
return ret
}
}
複雜度分析：
- 時間複雜度：O(U) 其中 U 是整數二進制位長度；
- 空間複雜度：O(1) 僅使用常量級别空間。
寫法 2：不斷取最低位，然後右移 n，當 n 為 0 時跳出：
class Solution {
fun evenOddBit(n: Int): IntArray {
val ret = intArrayOf(0, 0)
var x = n
var index = 0
while (x != 0) {
ret[i] += x and 1 // 計數
x = x ushr 1 // 右移
i = i xor 1 // 0 -> 1 或 1 -> 0
}
return ret
}
}
複雜度分析：
- 時間複雜度：O(lgn)
- 空間複雜度：O(1) 僅使用常量級别空間。
題解二（位掩碼 + bitCount）
使用二進制掩碼 01010101 取出偶數下标，再使用 Integer.bitCount() 計算位 1 的個數：
class Solution {
fun evenOddBit(n: Int): IntArray {
val mask = 0b0101_0101_0101_0101_0101_0101_0101_0101
return intArrayOf(
Integer.bitCount(n and mask),
Integer.bitCount(n) - Integer.bitCount(n and mask)
)
}
}
複雜度分析：
- 時間複雜度：O(1) Java Integer.bitCount() 庫函數的時間複雜度是 O(1)，如果按照正常實作是 O(lgn)；
- 空間複雜度：O(1)
2596. 檢查騎士巡視方案（Medium）
題目位址
https://leetcode.cn/problems/check-knight-tour-configuration/
題目描述
騎士在一張 n x n 的棋盤上巡視。在有效的巡視方案中，騎士會從棋盤的 左上角 出發，并且通路棋盤上的每個格子 恰好一次 。
給你一個 n x n 的整數矩陣 grid ，由範圍 [0, n * n - 1] 内的不同整數組成，其中 grid[row][col] 表示單元格 (row, col) 是騎士通路的第 grid[row][col] 個單元格。騎士的行動是從下标 0 開始的。
如果 grid 表示了騎士的有效巡視方案，傳回 true；否則傳回 false。
注意，騎士行動時可以垂直移動兩個格子且水準移動一個格子，或水準移動兩個格子且垂直移動一個格子。下圖展示了騎士從某個格子出發可能的八種行動路線。
題解（模拟）
二維簡單模拟題。
class Solution {
fun checkValidGrid(grid: Array<IntArray>): Boolean {
if (grid[0][0] != 0) return false
val directions = arrayOf(
intArrayOf(1, 2),
intArrayOf(2, 1),
intArrayOf(2, -1),
intArrayOf(1, -2),
intArrayOf(-1, -2),
intArrayOf(-2, -1),
intArrayOf(-2, 1),
intArrayOf(-1, 2)
)
val n = grid.size
var row = 0
var column = 0
var count = 1
outer@ while (count < n * n) {
for (direction in directions) {
val newRow = row + direction[0]
val newColumn = column + direction[1]
if (newRow < 0 || newRow >= n || newColumn < 0 || newColumn >= n) continue
if (count == grid[newRow][newColumn]) {
row = newRow
column = newColumn
count++
continue@outer
}
}
return false
}
return true
}
}
複雜度分析：
- 時間複雜度：O(C·n^2) 其中 C 是騎士的行走方向，C 為常數 8；
- 空間複雜度：O(1)
2597. 美麗子集的數目（Medium）
題目位址
https://leetcode.cn/problems/the-number-of-beautiful-subsets/
題目描述
給你一個由正整數組成的數組 nums 和一個 正 整數 k 。
如果 nums 的子集中，任意兩個整數的絕對差均不等于 k ，則認為該子數組是一個 美麗 子集。
傳回數組 nums 中 非空 且 美麗 的子集數目。
nums 的子集定義為：可以經由 nums 删除某些元素（也可能不删除）得到的一個數組。隻有在删除元素時選擇的索引不同的情況下，兩個子集才會被視作是不同的子集。
預備知識
- 同餘性質：
如果 x % m == y % m，則稱 x 和 y 對模 m 同餘，即為 x ≡ (y mod m)
- 乘法定理：
如果某個任務有 n 個環節，每個環節分别有 {m_1, m_2, m_3, …, m_n} 種方案，那麼完成任務的總方案數就是 m_1m_2m3…m_n。
題解一（暴力回溯）
由于題目的資料量非常小（數組長度隻有 20），是以可以直接使用暴力算法。
算法：枚舉所有子集，并且增加限制條件：如果已經選擇過 x - k 或 x + k，則不能選擇 x。
class Solution {
private var ret = 0
fun beautifulSubsets(nums: IntArray, k: Int): Int {
subsets(nums, 0, k, IntArray(k + 1001 + k)/* 左右增加 k 避免數組下标越界 */)
return ret - 1 // 題目排除空集
}
// 枚舉子集
private fun subsets(nums: IntArray, start: Int, k: Int, cnts: IntArray) {
// 記錄子集數
ret++
if (start == nums.size) return
for (index in start until nums.size) {
val x = nums[index] + k // 偏移 k
if (cnts[x - k] != 0 || cnts[x + k] != 0) continue // 不允許選擇
// 選擇
cnts[x]++
// 遞歸
subsets(nums, index + 1, k, cnts)
// 回溯
cnts[x]--
}
}
}
複雜度分析：
- 時間複雜度：O(2^n) 其中 n 為 nums 數組長度，每個位置有選和不選兩種狀态，每個狀态的時間複雜度是 O(1)，是以整體時間複雜度是 O(2^n)；
- 空間複雜度：O(C) 數組空間。
題解二（同餘分組 + 動态規劃 / 打家劫舍）
這道題如果不使用暴力解法，難度應該算 Hard。
根據同餘性質，如果 x 和 y 對模 k 同餘，那麼 x 和 y 有可能相差 k；如果 x 和 y 對模 k 不同餘，那麼 x 和 y 不可能相差 k。 是以，我們可以将原數組按照模 k 分組，然後單獨計算每個分組内部方案數，再根據乘法定理将不同分組的方案數相乘即得到最終結果。
那麼，現在的是如何計算分組内部的方案數？
我們發現，“如果已經選擇過 x - k 或 x + k，則不能選擇 x ” 的語義跟經典動态規劃題 198.打家劫舍 的 “如果兩間相鄰的房屋在同一晚上被小偷闖入，系統會自動報警” 的語義非常類似，我們可以套用相同的解題思路：
1、先對分組内部排序，因為隻有相鄰的數才有可能不能同時選擇；
2、定義 dp[i] 表示選擇到 i 為止的方案數，則有遞推關系：
��[�]={��[�−1]+��[�−2]if ��−��−1=���[�−1]∗2if ��−��−1≠�
如果不選 a_i，那麼 a_{i-1} 一定可選，即 dp[i-1] 的方案數。
如果選擇 a_i，那麼需要考慮 a_{i-1} 與 a_i 的關系：
- 如果 a_i - a_{i-1} =k，那麼 a_i 與 a_{i-1} 不能同時選擇，dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 表示在 a_{i-1} 和 a_{i-2} 上的方案數之和；
- 如果 a_i - a_{i-1} \not=k，那麼 a_i 與 a_{i-1} 可以同時選擇 dp[i] = dp[i-1]*2
最後，還需要考慮數字重複的情況，設 c_i 表示 a_i 的出現次數：
- 如果不選 a_i，則隻有 1 種方案，即空集；
- 如果選擇 ai_i，則有 2^{c_i} 種方案，最後在減去 1 個空集方案。
整理到遞歸公式中有：
��[�]={��[�−1]+��[�−2]∗(2��−1)if ��−��−1=���[�−1]∗(2��)if ��−��−1≠�
以 [2, 3, 4, 5, 10], k = 2 為例，按照模 2 分組後：
- 餘數為 0 的分組 [2, 4, 10]：方案為 [2]、[4]、[10]、[2, 10]、[4, 10]
- 餘數為 1 的分組 [3, 5]：方案為 [3]、[5]
class Solution {
fun beautifulSubsets(nums: IntArray, k: Int): Int {
// 1、同餘分組
// <餘數 to <元素，元素計數>>
val buckets = HashMap<Int, TreeMap<Int, Int>>()
for (num in nums) {
val cntMap = buckets.getOrPut(num % k) { TreeMap<Int, Int>() }
cntMap[num] = cntMap.getOrDefault(num, 0) + 1
}
// 2、枚舉分組
var ret = 1
for ((_, bucket) in buckets) {
// 3、動态規劃
val n = bucket.size
// dp[i] 表示選擇到 i 位置的方案數，這裡使用滾動數組寫法
// val dp = IntArray(n + 1)
var pre2 = 0 // dp[i-2]
var pre1 = 1 // dp[i-1]
var index = 1
var preNum = -1
for ((num, cnt) in bucket) {
if (index > 1 && num - preNum == k) {
// a_i 不可選
val temp = pre1
pre1 = pre1 + pre2 * ((1 shl cnt) - 1)
pre2 = temp
} else {
// a_i 可選可不選
val temp = pre1
pre1 = pre1 * (1 shl cnt)
pre2 = temp
}
preNum = num
index++
}
ret *= pre1
}
return ret - 1
}
}
複雜度分析：
- 時間複雜度：O(nlgn + n) 其中 n 為 nums 數組的長度，使用有序集合進行分組的時間複雜度是 O(nlgn)，枚舉分組的步驟每個元素最多通路一次，時間複雜度是 O(n)；
- 空間複雜度 O(n)：有序集合空間 O(n)，動态規劃過程中使用滾動數組空間為 O(1)。
相似題目
- 78. 子集
- 784. 字母大小寫全排列
- 198. 打家劫舍
近期周賽子集問題：
LeetCode 周賽 333 · 無平方子集計數（Medium）
2598. 執行操作後的最大 MEX（Medium）
題目位址
https://leetcode.cn/problems/smallest-missing-non-negative-integer-after-operations/
題目描述
給你一個下标從 0 開始的整數數組 nums 和一個整數 value 。
在一步操作中，你可以對 nums 中的任一進制素加上或減去 value 。
- 例如，如果 nums = [1,2,3] 且 value = 2 ，你可以選擇 nums[0] 減去 value ，得到 nums = [-1,2,3] 。
數組的 MEX (minimum excluded) 是指其中數組中缺失的最小非負整數。
- 例如，[-1,2,3] 的 MEX 是 0 ，而 [1,0,3] 的 MEX 是 2 。
傳回在執行上述操作 任意次 後，nums **的最大 MEX 。
預備知識
- 同餘性質：
如果 x % m == y % m，則稱 x 和 y 對模 m 同餘，即為 x ≡ (y mod m)
- 負數取模技巧：
如果 x 和 y 都大于 0，則 x ≡ (y mod m) 等價于 x % m == y % m
10%3==1−4%3==1
如果 x 和 y 都小于 0，則 x ≡ (y mod m) 等價于 x % m == y % m
−10%3==−1−4%3==−1
如果 x < 0，而 y≥0，則 x ≡ (y mod m) 等價于 x % m + m == y % m
−10%3==−1+3==2−4%3==−1+3==25%3==2
可以看到，為了避免考慮正負數，可以統一使用 (x % m + m) % m 對 x 取模，如此無論 x 為正負數，餘數都能轉換到 [0,m) 範圍内。
題解（同餘分組 + 貪心）
這道題依然考同餘性質。
根據同餘性質，如果 x 和 y 對模 value 同餘，那麼經過若幹次操作後 x 總能轉換為 y。如果 x 和 y 對模 value 不同餘，那麼無論經過多少次操作 x 也無法轉換為 y。
舉個例子：{-10、-4、-1、2、5} 都對模 3 同餘，而 1 對模 3 不同餘。隻要經過若幹次 +value/-value，總能轉換為同餘的其他數；
- -10 + 3 * 2 = -4
- -10 + 3 * 3 = -1
- -10 + 3 * 4 = 2
- -10 + 3 * 5 = 5
- 其它同理。
- -10 無法轉換為 1
貪心思路：繼續分析題目，由于不同分組中的數不可能轉換為其它分組的數，為了讓目标 “确實的最小非負整數盡可能大”，應該取盡可能小的同餘數，否則無法使結果更優。
舉個例子，假設 value 為 3，且不同分組的個數如下：
- 餘數為 0 的分組中有 3 個元素：應該取 0、3、6
- 餘數為 1 的分組中有 4 個元素：應該取 1、4、7、10
- 餘數為 2 的分組中有 1 個元素：應該取 2、[缺失 5]
如果餘數為 0 的分組取 0、6、9，則缺失的元素會變成 4。
class Solution {
fun findSmallestInteger(nums: IntArray, value: Int): Int {
// 同餘分組
val buckets = HashMap<Int, Int>()
for (num in nums) {
val mod = (num % value + value) % value
buckets[mod] = buckets.getOrDefault(mod, 0) + 1
}
// 試錯
var mex = 0
while (true) {
val mod = mex % value // mex 一定是非負數
buckets[mod] = buckets.getOrDefault(mod, 0) - 1
// 計數不足
if (buckets[mod]!! < 0) break
mex++
}
return mex
}
}
複雜度分析：
- 時間複雜度：O(n) 其中 n 為 nums 數組的長度，計數時間為 O(n)，試錯最多嘗試 n 次，整體時間複雜度為 O(n)；
- 空間複雜度：O(value) 散清單最多記錄 value 個分組。
相似題目：
- 264. 醜數 II
OK，這場周賽就講這麼多，我們下周見。