一、大數定律
大數定律的一般形式：
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 ，
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 翻譯：當 n 趨近無窮大時，随機變量的均值會收斂至随機變量期望的均值
值得注意的是，大數定律的一般形式是一個性質，不是一個定律！上面的表述并非恒成立，而是說滿足這個條件的定律可以稱作大數定律
1.1 切比雪夫大數定律
大數定律的一般形式長得很像切比雪夫不等式，是以有了切比雪夫大數定律
随機變量
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 到
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 互相獨立且方差存在，滿足
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 ，則
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 ，
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 當 n 趨近無窮大時，右邊趨于 0，滿足大數定律
1.2 馬爾可夫條件
在切比雪夫大數定律中有獨立性假設，使得方差有界。事實上，隻要方差有界均可使用切比雪夫不等式證明大數定律
随機變量
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 到
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 方差存在，滿足
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 ，則
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 到
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 滿足大數定律
1.3 辛欽大數定律
随機變量
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 到
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 獨立同分布且期望存在，則
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 到
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 滿足大數定律
辛欽大數定律增加了同分布的條件，但是不要求随機變量的方差存在
證明：設 X 的特征函數為
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 則
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 的特征函數為
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 将
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 在 t=0 處泰勒展開到第一項有
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 代入得
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 又
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 原式即為 EY 的特征函數，即證
二、中心極限定理
随機變量
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 到
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 獨立同分布，期望為
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 ，方差為
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 ，則
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 依分布收斂于标準正态分布
翻譯：隻要總體分布期望與方差存在，則樣本均值分布依分布收斂于
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 。或者說，樣本均值的分布不依賴于總體的分布，這為統計推斷提供了極大的友善
證明：設
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 的特征函數為
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 則
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 的特征函數為
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 将
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 在 t=0 處泰勒展開到第二項有
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 注意到，
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 ，是以
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 代入得
大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 大數定律、中心極限定理一、大數定律二、中心極限定理 即标準正态分布的特征函數
