漫步數學分析三十四——鍊式法則

求導中最重要的一個方法是鍊式法則，例如為了求 (x3+3)6 的導數，我們令 y=x3+3 ，首先求 y6 的導數，得到 6y5 ，然後乘以 x3+3 的導數得到最終的答案 6(x3+3)53x2 ，對多變量函數來說存在同樣的處理過程。例如如果 u,v,f 是兩個變量的實值函數，那麼

∂∂xf(u(x,y),v(x,y))=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x

接下來我們給出一般的理論

定理5 令 f:A→Rm 在開集 A⊂Rn 上是可微的， g:B→Rp 在開集 B⊂Rm 上是可微的，假設 f(A)⊂B ，那麼複合函數(composite) g∘f 在 A 上是可微的且D(g∘f)(x0)=Dg(f(x0))∘Df(x0)。

注意這個公式邏輯上是成立的，因為 Df(x0):Rn→Rm,Dg(f(x0)):Rm→Rp ，是以他們的複合是有定義的。

回顧一下兩個矩陣的乘積對應于他們所表示線性變換的複合，進而根據定理5我們得出下面的事實： g∘f 在 x=(x1,…,xn) 處的雅克比矩陣是 f 在x處的雅克比矩陣與 f 在f(x)處的雅克比矩陣的乘積，那麼如果 h=g∘f,y=f(x) ，可得

Dh(x)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂g1∂y1⋅⋅⋅∂gp∂y1……∂g1∂ym⋅⋅⋅∂gp∂ym⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂f1∂x1⋅⋅⋅∂fm∂x1……∂f1∂xn⋅⋅⋅∂fm∂xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

其中 ∂gi/∂yj 是 y=f(x),∂fi/∂xj 在 x 處求的值，寫出來就是

∂h1∂x1=∑j=1m∂g1∂yj∂fj∂x1

當我們改變變量的話會發生下面的情況，例如假設 f(x,y) 是一個實值函數，令 x=rcosθ,y=rsinθ ，其中 r,θ (極坐标)是新變量，那麼我們得到下面的公式

h(r,θ)=f(rcosθ,rsinθ)

進而

∂h∂r=∂f∂xcosθ+∂f∂ysinθ

且

∂h∂θ=−∂f∂xrsinθ+∂f∂yrcosθ

對于球坐标 (r,φ,θ) 可以推出類似的公式，其中 x=rcosθsinφ,y=rcosθsinφ,z=rcosφ (我們會在後續文章中詳細讨論球坐标)。

鍊式法則也稱為複合函數定理，因為它告訴我們如何對複合函數求導。

另一種解釋可能會更好了解。假設我們有函數 u(x,y),v(x,y),w(x,y),f(u,v,w) 并且他們構成函數 h(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y)) ，那麼根據定理5可得

∂h∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x+∂f∂w∂w∂x

粗略來說，我們可以從下面的公式看出上面的結論，

[h(x+Δx,y)−h(x,y)]Δx=[f(u(x+Δx,y),v(x+Δx,y),w(x+Δx,y))−f(u(x,y),v(x+Δx,y),w(x+Δx,y))]Δx+[f(u(x,y),v(x+Δx,y),w(x+Δy,y))−f(u(x,y),v(x,y),w(x+Δx,y))]Δx+[f(u(x,y),v(x,y),w(x+Δx,y))−f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))]Δx

接下來它近似于(利用 f(u+Δu,v,w)−f(u,v,w)≈Δu∂f/∂u )

∂f∂uΔuΔx+∂f∂vΔvΔx+∂f∂wΔwΔx

是以令 Δx→0 得出所要的公式。

例1： 對函數 f(u,v,w)=u2v+wv2,u=xy,v=sinx,w=ex 驗證鍊式法則。

解： 這裡 h(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y)) 為

h(x,y)=x2y2sinx+exsin2x

是以直接可得

∂h∂x=2xy2sinx+x2y2cosx+exsin2x+ex2sinxcosx

另一方面

∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x+∂f∂w∂w∂x=2uv∂u∂x+u2∂v∂x+2wv∂v∂x+v2∂w∂x=2xy2sinx+x2y2cosx+2exsinxcosx+exsin2x

與上面的結果一樣，對于 ∂h/∂y 來說同樣可以得出他們是相同的。

例2： 令 f:R→R,F:R2→R 為 F(x,y)=f(xy) ，驗證

x∂F∂x=y∂F∂y

解： 根據鍊式法則

∂F∂x=f′(xy)y

且

∂F∂y=f′(xy)x

得出所要的結論。