[模集]基于運放與模集設計-公式完全推導

1.1放大器基礎

電壓放大器

戴維南等效模組化：

源電壓-負載增益：

V O V S = R i R i + R S A o c R L R L + R o \frac{V_O}{V_S}=\frac{R_i}{R_i+R_S}A_{oc}\frac{R_L}{R_L+R_o} VS​VO​​=Ri​+RS​Ri​​Aoc​RL​+Ro​RL​​

（各字母含義：O-output輸出，S-source源，大寫表示為直流源，L-load負載，oc-open circuit開路，i-input輸入）（乘積各項分别對應左，中，右）

其中Aoc為開路電壓增益或無載電壓增益，即輸出開路無負載RL->∞時，電壓直接降落在源上時：

V O V S = R i R i + R S A o c \frac{V_O}{V_S}=\frac{R_i}{R_i+R_S}A_{oc} VS​VO​​=Ri​+RS​Ri​​Aoc​

拆分VI的公式為：

V O V I = R L R L + R o A o c V I V S = R i R i + R S \frac{V_O}{V_I}=\frac{R_L}{R_L+R_o}A_{oc} \\\frac{V_I}{V_S}=\frac{R_i}{R_i+R_S} VI​VO​​=RL​+Ro​RL​​Aoc​VS​VI​​=Ri​+RS​Ri​​

加載效應：乘積項第一項與第三項

​ 輸入加載量：

R i R i + R S \frac{R_i}{R_i+R_S} Ri​+RS​Ri​​

​ 輸出加載量：

R L R L + R o \frac{R_L}{R_L+R_o} RL​+Ro​RL​​

​ 來源：輸入源的電阻引起壓降+放大器輸出電阻引起壓降->總增益與源及負載有關

理想電壓放大器：Ri->∞，分得源的所有電壓；Ro->0，不占用源的任何電壓，保證全部降落于負載

電流放大器

諾頓等效模組化：

源電流-電流增益：

I o I S = R S R S + R i A s c R o R o + R L \frac{I_o}{I_S}=\frac{R_S}{R_S+R_i}A_{sc}\frac{R_o}{R_o+R_L} IS​Io​​=RS​+Ri​RS​​Asc​Ro​+RL​Ro​​

（各字母含義：O-output輸出，S-source源，大寫表示為直流源，L-load負載，sc-short circuit開路，i-input輸入）（乘積各項分别對應左，中，右）

其中Aoc為開路電壓增益或無載電壓增益，即輸出開路無負載RL->0時，電流直接流在源上時：

I o I S = R S R S + R i A s c \frac{I_o}{I_S}=\frac{R_S}{R_S+R_i}A_{sc} IS​Io​​=RS​+Ri​RS​​Asc​

拆分II的公式為：

I I I S = R S R S + R i I O I I = A s c R o R o + R L \frac{I_I}{I_S}=\frac{R_S}{R_S+R_i} \\\frac{I_O}{I_I}=A_{sc}\frac{R_o}{R_o+R_L} IS​II​​=RS​+Ri​RS​​II​IO​​=Asc​Ro​+RL​Ro​​

加載效應：乘積項第一項與第三項

​ 輸入加載量：

R S R S + R i \frac{R_S}{R_S+R_i} RS​+Ri​RS​​

​ 輸出加載量：

R O R o + R L \frac{R_O}{R_o+R_L} Ro​+RL​RO​​

​ 來源：輸入源的電阻引起壓降+放大器輸出電阻引起壓降->總增益與源及負載有關

理想電流放大器：Ri->0時Rs幾乎不分流全部流至Ri，Ro->∞時Ro幾乎不分流全部流至負載

總結：

輸入電壓，戴維南等效，輸入電阻∞以分得最大輸入電壓。輸入電流，諾頓等效，輸入電阻0以分得最大輸入電流；輸出電壓，戴維南等效，輸出電阻0以不分輸出電壓全部降落負載。輸出電流，諾頓等效，輸出電阻無窮大以不分輸出電流全部流至負載。

輸入	輸出	放大器類型	增益	Ri	Ro
vi	vo	電壓	V/V	∞
Ii	Io	電流	A/A	∞
Ii	vo	跨導	A/V
vi	vo	電阻	V/A	∞	∞

1.2運放

運放=極高增益電壓放大器，741運放增益200V/mV，增益用分貝（dB-decibel）20log10(200 000)=106dB

極高增益原因：使得Vout/Vin=Vout/(Vd+Vf)=α/(1+αβ)在運放自身增益無窮大時可保證Vout/Vin=1/Vf處于穩定值

差分輸入電壓vD：

v D = v P − v N v D = v O a v_D=v_P-v_N \\v_D=\frac{v_O}{a} vD​=vP​−vN​vD​=avO​​

（其中D-device器件，vD為運算放大器的輸入電壓（注意與運放電路的電壓差別），p-positive正極，n-negative負極，a-add電壓增益，又叫無載增益）

理想運放：運放作為電壓放大器，理想特性：Ri->∞，Ro->0

TODO：WHY a太大會收斂？

1.3基本運放結構

同相放大器

$$ v_D=V_P-V_N=V_i-\frac{R1}{R1+R2}V_o \\V_o=av_D=a(V_i-\frac{R1}{R1+R2}V_o) \\A=\frac{V_o}{V_i}=\frac{a}{1+\frac{aR1}{R1+R2}}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{R1}{R1+R2}} $$ （其中A-閉環增益）

理想閉環特性：a->∞時

A i d e a l = lim ⁡ a → ∞ A = R 1 + R 2 R 1 A_{ideal}=\lim_{a\to\infty}A=\frac{R1+R2}{R1} Aideal​=a→∞lim​A=R1R1+R2​

[應用] 優點：閉環增益僅由回報網絡中的電阻決定，對設計者來說極其容易控制。R2改為可變電阻實作更靈活控制！

因為

A i d e a l = R 1 + R 2 R 1 = 1 + R 2 R 1 A_{ideal}=\frac{R1+R2}{R1}=1+\frac{R2}{R1} Aideal​=R1R1+R2​=1+R1R2​

理想閉環增益其實隻與電阻比值有關，甚至不需要兩個精确的電阻，隻要保證他們的比值為需要值即可（低品質基本電路實作精确控制）

​ 代價：無窮大開環增益（IC中可能在低成本下實作高開環增益）

電壓跟随器

又叫機關增益放大器

[應用] 隔離Rs輸入源的電阻分壓壓降

​ 加入前：

i I = V S R S + R L v L = R L R L + R S V S i_I=\frac{V_S}{R_S+R_L} \\v_L=\frac{R_L}{R_L+R_S}V_S iI​=RS​+RL​VS​​vL​=RL​+RS​RL​​VS​

​ 加入後：

i I = 0 v L = v S i_I=0 \\v_L=v_S iI​=0vL​=vS​

​ 驅動電流變為0，輸入源無需提供驅動電流和功率（由運放電壓源提供）–緩沖作用

​ 增大負載電壓

反相放大器

$$ V_N=\frac{R2}{R1+R2}V_i+\frac{R1}{R1+R2}V_o \\V_o=av_D=a(V_P-V_N)=a(0-\frac{R2}{R1+R2}V_i-\frac{R1}{R1+R2}V_o) \\A=\frac{V_o}{V_i}=\frac{\frac{-aR2}{R1+R2}}{1+\frac{aR1}{R1+R2}}=\frac{-R2}{\frac{R1+R2}{a}+R1} $$ 理想閉環特性： $$ A_{ideal}=\lim_{a\to\infty}A=-\frac{R2}{R1} $$ 此時： $$ V_N=V_P-\frac{V_o}{a}=V_P=0 $$ 輸入輸出電阻： $$ R_i=R1\quad R_o=0 $$ 輸入帶載：

同相放大器輸入源帶電阻對放大無影響，而反向源輸入源帶電阻相當于Rs+R1替換掉R1

1.4總結運放

輸入電壓限制：

V P = V N V_P=V_N VP​=VN​

輸入電流限制：

i I = 0 i_I=0 iI​=0

原因：負回報回路使得負向輸入端緊跟正向輸入端，vD=0，且任一輸入端都不吸收電流

力學模拟：

求和放大器：

由電壓疊加定律知：

A = V o V i = ∑ k = 1 3 R F R k V i k A=\frac{V_o}{V_i}=\sum_{k=1}^3\frac{R_F}{R_k}V_{ik} A=Vi​Vo​​=k=1∑3​Rk​RF​​Vik​

輸入輸出電阻：

R i = R k k = 1 , 2 , 3 R o = 0 R_i=R_k\quad k=1,2,3 \\R_o=0 Ri​=Rk​k=1,2,3Ro​=0

直流偏置放大器：

$$ v_O=-\frac{R_F}{R_1}v_I-\frac{R_F}{R_1}\times(-15V)=10v_I+5V $$

差分放大器：

$$ V_N=\frac{R_2}{R_1+R_2}V_{i1}+\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{o} \\V_P=\frac{R_4}{R_3+R_4}V_{i2} \\V_o=a(V_P-V_N)=a(\frac{R_4}{R_3+R_4}V_{i2}-\frac{R_2}{R_1+R_2}V_{i1}-\frac{R_1}{R_1+R_2}V_{o}) \\V_o=\frac{\frac{R_4}{R_3+R_4}V_{i2}-\frac{R_2}{R_1+R_2}V_{i1}}{\frac{1}{a}+\frac{R_1}{R_1+R_2}} \\不借助av_D直接計算V_o ，令V_{i1}=0,V_{o2}=(1+\frac{R_2}{R_1})V_P=(1+\frac{R_2}{R_1})\frac{R_4}{R_3+R_4}V_{i2} \\令V_{i2}=0,V_{o1}=-\frac{R_2}{R_1}V_{o1} \\V_o=V_{o1}+V_{o2}=\frac{R_2}{R_1}(\frac{1+{R_1}/{R_2}}{1+R_3/R_4}V_{i2}-V_{i1}) \\輸入輸出電阻： R_{i1}=R_1\quad R_{i2}=R_3+R_4\quad R_o=0 \\若加載，R_{S1}+R_1替換R_1,R_{S2}+R_2替換R_2 $$ 比例差分放大器：

$$ 當\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}構成平衡點橋時，V_o=\frac{R_2}{R_1}(V_{i2}-V_{i1}) $$ 微分器:

$$ V_o=I_RR=-C\frac{dV_i}{dt}R $$ [應用] 穩定性問題：震蕩。随開環增益随頻率而滾降

積分器：與微分器成鏡像關系

$$ V_o=\frac{\int I_cdt}{C}=-\frac{\int V_idt}{RC}=-\frac{1}{RC}(\int_0^t V_idt)+V(0)) \\輸入輸出電阻：R_i=R\quad R_o=0 $$ -符号：電壓都是向同一點灌，故電壓方向一定相反。（輸入電壓位于VN反向輸入端）

[應用] 因上式可實作高精度，廣泛應用：PID控制中的積分控制，三角波發生電路

負阻轉換：

$$ i=(v-(1+\frac{R_2}{R_1})v)/R=-\frac{R_2}{R_1R}v \\R_{eq}=-\frac{R_1}{R_2}R \\當R_1=R_2時，R_{eq}=-R\quad V_o=2V_i\quad V_R=V_i \quad i=I_R=(-V_i)/R=Vi/(-R) $$ 對源來說電流由運放流向源，方向與電壓施加方向相反，呈現負阻特性。這是由于運放因連接配接電源提供功率（負阻釋放功率），而源吸收功率造成的。

1.5負回報

紅色辨別的三個網絡：求和器，放大器，回報網絡

err誤差信号：xd=xi-xf(負回報，故回報網絡總是與VN負輸入端相連)

A = X o X i = X o X d + X f = X o / X d 1 + X f / X d = a 1 + a β 因 a β > 0 ， A < a A=\frac{X_o}{X_i}=\frac{X_o}{X_d+X_f}=\frac{X_o/X_d}{1+X_f/X_d}=\frac{a}{1+aβ} \\因aβ>0，A<a A=Xi​Xo​​=Xd​+Xf​Xo​​=1+Xf​/Xd​Xo​/Xd​​=1+aβa​因aβ>0，A<a

（其中所有量都為正，f-feedback）

回報量：分母1+aβ，A=a/回報量

環路增益：T=aβ。信号經求和器放大器回報網絡的總增益

$$ 當T\to\infty(相當于a\to\infty)\quad A_{ideal}=\lim_{T\to\infty}A=\frac{1}{β}\tag{1.0} \\A=\frac{a}{1+aβ}=\frac{1/β}{1/T+1}=\frac{A_{ideal}}{1/T+1} \\誤差函數=\frac{1}{1/T+1}=1-\frac{1}{T+1}=1-\epsilon \\相對偏差\epsilon=\frac{1}{T+1} \\增益誤差（\%）=\frac{A-A_{ideal}}{A_{ideal}}=-\frac{1}{T+1}\approx-\frac{1}{T} $$ [應用] 濾波頻選網絡，RC組合電路，因電容頻率越高（容抗1/(2ΠfC)）分壓越小，那麼選中電容可濾除高頻，選中電阻可濾除低頻。（振蕩器）

（注意Aideal=1/β，≠a）

有A=100，至少理想情況下成立，否則失敗

閉環增益以回報量大小倍縮，放棄大量開環增益。但閉環增益越小(a/(1+T)），與理想閉環增益誤差（1/T)也就越小。如此看來回報量較為沖突，較大增益則小，但增益誤差也小

回報在信号Xd，Xf上效果：

X d = X o / a = ( A X i ) / a = ( A / a ) X i = 1 1 + T X i X f = β X o = β ( A X i ) = A A i d e a l X i = 1 1 / T + 1 X_d=X_o/a=(AX_i)/a=(A/a)X_i=\frac{1}{1+T}X_i \\X_f=βX_o=β(AX_i)=\frac{A}{A_{ideal}}X_i=\frac{1}{1/T+1} Xd​=Xo​/a=(AXi​)/a=(A/a)Xi​=1+T1​Xi​Xf​=βXo​=β(AXi​)=Aideal​A​Xi​=1/T+11​

典例：同相放大器

差分放大器二義性：輸入為VP與VN之差；Vo=Vi2-Vi1

降低增益靈敏度：同時減小波動，增強穩定性（熱漂移，電壓變化，老化，電源波動）

A = a 1 + a β d A d a = 1 + a β − a β ( 1 + a β ) 2 = A 1 a ( 1 + T ) d A A = 1 1 + T d a a 用 有 限 增 量 代 替 微 分 Δ A A = 1 1 + T Δ a a 在 a 上 引 起 較 大 變 化 ， 在 A 上 引 起 較 小 變 化 (1.1) A=\frac{a}{1+aβ} \\\frac{dA}{da}=\frac{1+aβ-aβ}{(1+aβ)^2}=A\frac{1}{a(1+T)} \\\frac{dA}{A}=\frac{1}{1+T}\frac{da}{a} \\用有限增量代替微分\frac{\Delta A}{A}=\frac{1}{1+T}\frac{\Delta a}{a}\tag{1.1} \\在a上引起較大變化，在A上引起較小變化 A=1+aβa​dadA​=(1+aβ)21+aβ−aβ​=Aa(1+T)1​AdA​=1+T1​ada​用有限增量代替微分AΔA​=1+T1​aΔa​在a上引起較大變化，在A上引起較小變化(1.1)

将增益值縮小為原來1/(1+T)，回報量1+T又叫去靈敏度系數

Vi增大後Vo可以提供上升電壓的幅度，不是Vo/Vi增益不是絕對值，是某一點的斜率

增益定義：

$$ a=\frac{dv_o}{dv_i} $$ （其中：VTC電壓傳遞曲線（voltage transfer curve））

非線性回報的減小：

因負回報後對增益的相對變化量不敏感（降低增益靈敏度(1.1)），故可認為T->∞時增益維持不變，且為1/β（1.0）。