一、蟻群算法簡介
蟻群算法是對自然界螞蟻的尋徑方式進行模似而得出的一種仿生算法：螞蟻在運動過程中，能夠在它所經過的路徑上留下資訊素(pheromone)的物質進行資訊傳遞，而且螞蟻在運動過程中能夠感覺這種物質，并以此指導自己的運動方向。由大量螞蟻組成的蟻群集體行為便表現出一種資訊正回報現象：某一路徑上走過的螞蟻越多，則後來者選擇該路徑的機率就越大。蟻群算法具有分布計算、資訊正回報和啟發式搜尋的特征，本質上是進化算法中的一種啟發式全局優化算法。
二、TSP問題(旅行商問題)
T S P 問 題 可 以 用 一 個 帶 權 完 全 圖G=(N,A)來表示，其中N是帶有n=|N|點(城市)的集合，A是完全連接配接這些點的邊的集合。每一條邊(i,j)屬于A都帶有一個權值，它代表城市i與城市j之間的距離。TSP問題就是要找到圖中的最短哈密爾頓回路。
1、建構圖：建構圖與問題描述圖是一緻的，成份的集合C對應着點的集合(即：C=N)，連接配接對應着邊的集合(即L=A),且每一條邊都帶有一個權值，代表點i和j之間的距離。
2、限制條件：所有城市都要被通路且每個城市最多隻能被通路一次。
3、資訊素和啟發式資訊：TSP 問題中的資訊素表示在通路城市i後直接通路城市j的期望度。啟發式資訊值一般與城市i和城市j的距離成反比。
4、解的建構：每隻螞蟻最初都從随機選擇出來的城市出發，每經過一次疊代螞蟻就向解中添加一個還沒有通路過的城市。當所有城市都被螞蟻通路過之後，解的建構就終止。
三、實作流程及僞代碼
四、代碼實作
随機生成50個城市進行測試，初始螞蟻數量為50，資訊素重要程度因子alpha = 1，啟發函數重要程度因子beta = 5，資訊素揮發因子rho = 0.1，最大疊代次數為150
%%旅行商問題(TSP)優化%%清空環境變量
clear all
clc%%導入資料%load citys_data.mat
city= ceil(rand(50,2) * 5000)
load city.mat%%計算城市間互相距離
fprintf('Computing Distance Matrix... \n');
n= size(city,1);
D=zeros(n,n);for i = 1:nfor j = 1:nif i ~=j
D(i,j)= sqrt(sum((city(i,:) - city(j,:)).^2));elseD(i,j)= 1e-4;
end
end
end%%初始化參數
fprintf('Initializing Parameters... \n');
m= 50; %螞蟻數量
alpha= 1; %資訊素重要程度因子
beta= 5; %啟發函數重要程度因子
rho= 0.1; %資訊素揮發因子
Q= 1; %常系數
Eta= 1./D; %啟發函數
Tau= ones(n,n); %資訊素矩陣
Table= zeros(m,n); %路徑記錄表
iter= 1; %疊代次數初值
iter_max= 150; %最大疊代次數
Route_best= zeros(iter_max,n); %各代最佳路徑
Length_best= zeros(iter_max,1); %各代最佳路徑的長度
Length_ave= zeros(iter_max,1); %各代路徑的平均長度%%疊代尋找最佳路徑
figure;while iter <=iter_max
fprintf('疊代第%d次\n',iter);%随機産生各個螞蟻的起點城市
start= zeros(m,1);for i = 1:m
temp=randperm(n);
start(i)= temp(1);
end
Table(:,1) =start;%建構解空間
city_index= 1:n;%逐個螞蟻路徑選擇for i = 1:m%逐個城市路徑選擇for j = 2:n
tabu= Table(i,1:(j - 1)); %已通路的城市集合(禁忌表)
allow_index= ~ismember(city_index,tabu);
allow= city_index(allow_index); %待通路的城市集合
P=allow;%計算城市間轉移機率for k = 1:length(allow)
P(k)= Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
end
P= P/sum(P);%輪盤賭法選擇下一個通路城市
Pc=cumsum(P);
target_index= find(Pc >=rand);
target= allow(target_index(1));
Table(i,j)=target;
end
end%計算各個螞蟻的路徑距離
Length= zeros(m,1);for i = 1:m
Route=Table(i,:);for j = 1:(n - 1)
Length(i)= Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
end
Length(i)= Length(i) + D(Route(n),Route(1));
end%計算最短路徑距離及平均距離if iter == 1[min_Length,min_index]=min(Length);
Length_best(iter)=min_Length;
Length_ave(iter)=mean(Length);
Route_best(iter,:)=Table(min_index,:);else[min_Length,min_index]=min(Length);
Length_best(iter)= min(Length_best(iter - 1),min_Length);
Length_ave(iter)=mean(Length);if Length_best(iter) ==min_Length
Route_best(iter,:)=Table(min_index,:);elseRoute_best(iter,:)= Route_best((iter-1),:);
end
end%更新資訊素
Delta_Tau=zeros(n,n);%逐個螞蟻計算for i = 1:m%逐個城市計算for j = 1:(n - 1)
Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
end
Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
end
Tau= (1-rho) * Tau +Delta_Tau;%疊代次數加1，清空路徑記錄表%figure;%最佳路徑的疊代變化過程
[Shortest_Length,index]= min(Length_best(1:iter));
Shortest_Route=Route_best(index,:);
plot([city(Shortest_Route,1);city(Shortest_Route(1),1)],...
[city(Shortest_Route,2);city(Shortest_Route(1),2)],'o-');
pause(0.3);
iter= iter + 1;
Table=zeros(m,n);%end
end%%結果顯示
[Shortest_Length,index]=min(Length_best);
Shortest_Route=Route_best(index,:);
disp(['最短距離:'num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路徑:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);%%繪圖
figure(1)
plot([city(Shortest_Route,1);city(Shortest_Route(1),1)],...
[city(Shortest_Route,2);city(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid onfor i = 1:size(city,1)
text(city(i,1),city(i,2),[' 'num2str(i)]);
end
text(city(Shortest_Route(1),1),city(Shortest_Route(1),2),'起點');
text(city(Shortest_Route(end),1),city(Shortest_Route(end),2),'終點');
xlabel('城市位置橫坐标')
ylabel('城市位置縱坐标')
title(['蟻群算法優化路徑(最短距離:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距離','平均距離')
xlabel('疊代次數')
ylabel('距離')
title('各代最短距離與平均距離對比')
五、實驗結果：
5.1随機生成的50個城市坐标
實驗資料1：螞蟻數量為50，資訊素重要程度因子alpha = 1，啟發函數重要程度因子beta = 5，資訊素揮發因子rho = 0.1，最大疊代次數為150
實驗資料2：其他資料不變，資訊素揮發因子rho = 0.5
實驗資料3：其他資料不變，啟發函數重要程度因子beta = 3，
實驗資料4：其他資料不變，啟發函數重要程度因子beta = 7
實驗資料5：其他資料不變，資訊素重要程度因子alpha = 4
六、結果分析與總結
1、 螞蟻數量、資訊素重要程度因子、啟發函數重要程度因子beta、最大疊代次數相同時，rho=0.1與rho=0.5
rho=0.1時，城市序列的起點為39，終點為46。在最短距離的疊代中，疊代次數約為10時，各代的最短距離趨于平緩。當将資訊素揮發因子調整為0.5時，可以發現當資訊素增大後，最短距離變小，疊代次數約為40時，各代的最短距離就已經趨于平緩。雖然資訊素的揮發速度越來越快，但是尋找到的最短路徑反而比之前的更短，當rho過小時，未被選中的路徑上的資訊素量将迅速衰減，容易陷入局部最優，算法的收斂性加大。另外，當rho過大時，被選中的路徑上的資訊素量增量減小，搜尋空間變大，這樣算法雖然陷入局部最優的可能性減小，但是算法的收斂性降低。
2、Bete=5與Bete=3、bete=7
當其他因素不變，bete改為3時，發現最短距離變小，且城市序列的起點為9，終點為33。bete=5時，在最短距離的疊代中，在大概10代的時候有一個急劇的減少。但在bete=3時沒有極具的下降。在bete=7，疊代過程中開始時就趨于平緩。bete的值反映了啟發式資訊在指導螞蟻搜尋過程中的重要程度。Bete過小，蟻群陷入随機搜尋，就很難找到最優解。Bete過大，螞蟻在某個局部點上選擇局部最短路徑的可能性也就越大，但蟻群搜尋最優路徑的随機性就減弱，容易陷入局部最優。
3、alpha=1與alpha=4
當alpha=1時，在最短距離的疊代中，疊代次數約為10時，各代的最短距離趨于平緩。當alpha=4時，城市序列起點是7，終點是24，最短距離有所增大，但各代的最短距離的疊代趨勢和alpha=1時差不多。疊代次數在40-55之間時，平均距離有急劇下降的現象而後逐漸趨于平緩。是以，alpha的值越大，螞蟻選擇以前走過的路徑的可能性就越大，搜尋的随機性就減弱，算法也會早收斂。