每日一小練——快速Fibonacci數算法

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題目：快速Fibonacci數算法

内容：先說說Fibonacci數列，它的定義是數列：f1,f2....fn有如下規律：

嘗試尋找快速的求出fn的方法

我的解法：上來沒多想，打開vs2013就敲了起來，問題果然很簡單，分分鐘就超神。。奧，不對就解決了！

其實題目中就給出了這個算法的遞歸形式，是以首先我想到的是遞歸解法，不過因為求解快速方法在遞歸之前，我編寫了一個非遞歸的算法

#include <iostream>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int f(int n);
	cout << f(7) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

int f(int n)
{
	int temp = 0, f1 = 1, f2 = 1;
	if (n == 1 || n == 2)
		return 1;
	else
	{
		for (int i = 1; i < (n - 1); i++)
		{
			temp = f1 + f2;
			f2 = f1;
			f1 = temp;
		}
		return temp;
	}
}
           

然後我又編寫了遞歸的算法

#include <iostream>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int f(int n);
	cout << f(7) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

int f(int n)
{
	if (n == 1|| n==2)
		return 1;
	if (n > 2)
		return f(n - 1) + f(n - 2);
}
           

在遞歸的基礎上，有人提出了更犀利的算法，這個我沒有想到。。慚愧。。。

這個算法利用了一些技巧矩陣，通過矩陣乘法來算Fibonacci的加法，然後通過我在《數值自乘非遞歸解》中提到的利用區分奇偶數來利用指數二進制堆乘的方法，減少乘法的次數。

ps：

利用上面的矩陣連乘，在矩陣11位置的數就是矩陣11和21的和，并且用矩陣11和21表示Fibonacci的f(n-1)和f(n-2)，通過連乘來求fn。

#include <iostream>
using namespace std;

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int f(int n);
	cout << f(7) << endl;
	getchar();
	return 0;
}

int f(int n)
{
	void matrix_power(int a, int b, int c, int d, int n, int *aa, int *bb, int *cc, int *dd);
	int a, b, c, d;
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		matrix_power(1, 1, 1, 0, n - 2, &a, &b, &c, &d);
		return a + b;
	}
}

void matrix_power(int a, int b, int c, int d, int n, int *aa, int *bb, int *cc, int *dd)
{
	int xa, xb, xc, xd;
	if (n == 1)
		*aa = a, *bb = b, *cc = c, *dd = d;
	else if (n & 0x01 == 1)
	{
		matrix_power(a, b, c, d, n - 1, &xa, &xb, &xc, &xd);
		*aa = a*xa + b*xc;
		*bb = a*xb + b*xd;
		*cc = c*xa + d*xc;
		*dd = c*xb + d*xd;
	}
	else
	{
		matrix_power(a, b, c, d, n >> 1, &xa, &xb, &xc, &xd);
		*aa = xa*xa + xb*xc;
		*bb = xa*xb + xb*xd;
		*cc = xc*xa + xd*xc;
		*dd = xc*xb + xd*xd;
	}
}
           

三段代碼的實驗結果同如下：

歡迎大家加入每日一小練，嘿嘿！

每天練一練，日久見功夫，加油！

            -End-

參考文獻：《c語言名題精選百則》