【Tinsen】A1493. 城市規劃【簡單無向連通圖個數——NTT】

傳送門：【Tinsen】A1493. 城市規劃

前言：

今天很不在狀态= =，NTT裡面竟然同一個地方寫錯兩次……而且腦補的時候明顯比平時遲鈍了很多……

題目分析：

首先我們可以輕易知道N個點能構成的無向圖的個數： 2C2n ，令其等于 d(N) 。然後假設我們固定一個點，枚舉這個點所在連通塊的大小，這樣我們得到N個點的無向連通圖公式：

dp[n]=d(n)−∑n−2i=0Cin−1dp(i+1)⋅d(n−i−1)

=d(n)−∑n−2i=0(n−1)!i!(n−i−1)!d(i+1)⋅d(n−i−1)

=d(n)−∑n−2i=0(n−1)!dp(i+1)i!⋅d(n−i−1)(n−i−1)!

可以發現右邊是一個卷積公式，然後我們可以用 FFT 去優化。同時我們需要使用 CDQ 分治，先遞歸處理cdq(l,m)的部分，然後将(l,m)的貢獻傳遞給(m+1,r)，然後我們遞歸計算cdq(m+1,r)，由于出題人好心的給了費馬素數，那麼我們就使用 NTT 來保證精度。

PS：出題人資料打錯了……N=4時ans=38。

my  code:

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std ;

typedef long long LL ;

#define clr( a , x ) memset ( a , x , sizeof a )
#define cpy( a , x ) memcpy ( a , x , sizeof a )

const int MAXN =  ;
const int mod =  ;
const int g =  ;

int n ;
int d[MAXN] ;
int dp[MAXN] ;
int f[MAXN] ;
int invf[MAXN] ;
int x1[MAXN] , x2[MAXN] ;

LL power ( LL a , LL b ) {
    LL res =  , tmp = a ;
    while ( b ) {
        if ( b &  ) res = res * tmp % mod ;
        tmp = tmp * tmp % mod ;
        b >>=  ;
    }
    return res ;
}

void NTT ( int y[] , int n , int rev ) {
    for ( int i =  , j , k , t ; i < n ; ++ i ) {
        for ( j =  , t = i , k = n >>  ; k ; t >>=  , k >>=  ) {
            j = j <<  | t &  ;
        }
        if ( i < j ) swap ( y[i] , y[j] ) ;
    }
    for ( int s =  , ds =  ; s <= n ; ds = s , s <<=  ) {
        LL wn = power ( g , ( mod -  ) / s ) ;
        if ( rev <  ) wn = power ( wn , mod -  ) ;
        for ( int k =  ; k < n ; k += s ) {
            LL w =  , t ;
            for ( int i = k ; i < k + ds ; ++ i , w = w * wn % mod ) {
                y[i + ds] = ( y[i] - ( t = w * y[i + ds] % mod ) + mod ) % mod ;
                y[i] = ( y[i] + t ) % mod ;
            }
        }
    }
    if ( rev <  ) {
        LL invn = power ( n , mod -  ) ;
        for ( int i =  ; i < n ; ++ i ) {
            y[i] = y[i] * invn % mod ;
        }
    }
}

void cdq ( int l , int r ) {
    if ( l == r ) return ;
    int m = ( l + r ) >>  ;
    cdq ( l , m ) ;
    int n1 =  ;
    while ( n1 <= r - l ) n1 <<=  ;
    for ( int i =  ; i < n1 ; ++ i ) {
        x1[i] = i + l <= m ? ( LL ) dp[i + l] * invf[i + l - ] % mod :  ;
        x2[i] = i + l <= r ? ( LL ) invf[i + ] * d[i + ] % mod :  ;
    }
    NTT ( x1 , n1 ,  ) ;
    NTT ( x2 , n1 ,  ) ;
    for ( int i =  ; i < n1 ; ++ i ) {
        x1[i] = ( LL ) x1[i] * x2[i] % mod ;
    }
    NTT ( x1 , n1 , - ) ;
    for ( int i = m +  ; i <= r ; ++ i ) {
        dp[i] = ( dp[i] - ( LL ) f[i - ] * x1[i - l - ] % mod + mod ) % mod ;
    }
    cdq ( m +  , r ) ;
}

void preprocess () {
    invf[] = f[] =  ;
    for ( int i =  ; i <=  ; ++ i ) {
        d[i] = power (  , ( LL ) i * ( i -  ) /  ) ;
        dp[i] = d[i] ;
        f[i] = ( LL ) f[i - ] * i % mod ;
        invf[i] = power ( f[i] , mod -  ) ;
    }
    d[] =  ;
    cdq (  ,  ) ;
}

int main () {
    preprocess () ;
    while ( ~scanf ( "%d" , &n ) ) printf ( "%d\n" , dp[n] ) ;
    return  ;
}