一 尺度函數與小波函數
基本尺度函數定義為：
，對其向右平移任意 k 個機關，構成函數族
， 該函數族在
空間中正交，證明如下：
1
；
2 當 m 不等于 k 時，
函數族
構成一組正交基，并形成
子空間。在
子空間中，任意函數均可表示為
的線性組合，
。
将函數族
構造寬度縮小一半，則可形成寬度為
的一組正交基，
，同樣，該函數族在
空間中正交，并形成
子空間。在
子空間中，任意函數均可表示為
的線性組合，
。
通過以上舉例可得：設 j 為非負整數，j 級函數子空間可表示為
，其對應正交基包括：
，觀察
中
可有
中
線性組合（
中任意函數均可用
中函數線性組合表達），則
為
得子空間。各個子空間之間存在如下關系：
。
使用不同子空間
中尺度函數得線性組合，可以階梯近似任意連續函數。在噪聲濾除應用中，需要提取一些屬于
（高頻資訊）但不屬于
（低頻資訊）的方法，小波函數即描述了這部分資訊，也即小波函數描述
相對于
的正交補空間。根據以上描述，小波函數應該滿足一些特性：
1 小波函數仍然位于
空間中，則他應該是
空間基函數的線性組合；
2 小波函數位于
子空間中，則它應于
正交。
空間的基本小波函數表示為：
，該函數位于
空間，且與
正交。同樣對小波函數向右平移 k 個機關，構成函數族：
，該函數族在
空間中正交。
空間的基本小波函數表示為：
，該函數族在
空間中正交。
使用尺度函數與小波函數，可以将
空間中函數進行分解：
，其中
為
空間中的小波函數，繼續以上分解，可得：
二 Haar分解
1 将函數離散化為
，該函數位于
空間中；
2 由于
，可以将
空間中該函數分解為
（更平滑尺度函數） 與
（小波函數），根據尺度函數與小波函數定義，有如下關系：
（根據圖形可驗證結論正确），進一步有：
；
3 觀察到
分解方式不一緻，需要将原函數改寫為：
；
4 對改寫後的
分别使用更平滑尺度函數與對應小波函數再次改寫，有：
，整理得：
；
5 令
，繼續分解直到
，可得：
，其中，
為相應的小波分量。
三 Haar重構
1 函數被分解為
， 其中，
；
2
（根據圖形可驗證結論正确），進一步有：
3 重構為 ；
4
重構為
；
5 ， 其中， 由
組合；
6 繼續重構 與 ，直到重構 。
參考資料 小波與傅裡葉分析基礎 Albert Boggess & Francis J. Narcowich