點積 - 天天看點

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在數學中，數量積（dot product; scalar product，也稱為點積）是接受在實數R上的兩個向量并傳回一個實數值标量的二進制運算。它是歐幾裡得空間的标準内積。[1]

兩個向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的點積定義為：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩陣乘法并把（縱列）向量當作n×1 矩陣，點積還可以寫為：

a·b=a^T*b，這裡的a^T訓示矩陣a的轉置。

中文名: 數量積
外文名: dot product; scalar product
别名: 标量積、點積、内積、向量的積

運算類型: 二進制運算
點積的三個值: u、v、u,v夾角的餘弦
點積的值: u,v的點積=|u||v|cos<u,v>
應用學科: 線性代數

點積定義

點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾坐标系，向量之間的點積既可以由向量坐标的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。[1]

點積廣義定義

在一個向量空間V中，定義在

上的正定對稱雙線性形式函數即是V的數量積，而添加有一個數量積的向量空間即是内積空間。

點積代數定義

設二維空間内有兩個向量

和

，定義它們的數量積（又叫内積、點積）為以下實數：

更一般地，n維向量的内積定義如下：[1]

點積幾何定義

設二維空間内有兩個向量

和

，它們的夾角為

，則内積定義為以下實數：[2]

該定義隻對二維和三維空間有效。

這個運算可以簡單地了解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這裡，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然後通過除以它們的标量長度來“标準化”。這樣，這個分數一定是小于等于1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

點積定義的等價性

以三維空間為例子。

①幾何定義推導代數定義

設

，

，根據向量坐标的意義可知

根據點乘的配置設定律得

又

，

是以

注意：點乘的配置設定律在空間内可通過幾何證明，無需藉助向量關系，是以不屬于循環推導。

②代數定義推導幾何定義

設

，

，它們的終點分别為

和

，原點為O，

夾角為

。則

在△OAB中，由餘弦定理得：

利用距離公式對這個等式稍作處理，得

去括号、合并得

注意：餘弦定理和距離公式亦無需向量知識。

點積點積的值

u的大小、v的大小、u,v夾角的餘弦。在u,v非零的前提下，點積如果為負，則u,v形成的角大于90度；如果為零，那麼u,v垂直；如果為正，那麼u,v形成的角為銳角。[2]

點積

兩個機關向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值，通過它可以知道兩個向量的相似性，利用點積可判斷一個多邊形是否面向錄影機還是背向錄影機。

向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，是以在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物體離光照的軸線越近，光照越強。

點積運算律

交換律：

配置設定律：

結合律：

，其中m是實數。

點積應用

平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念，利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、菱形的對角線互相垂直、矩形的對角線相等等。如證明：[3]

（1）勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，則

|CA|²+|CB|²=|AB|²。

∵AB = CB-CA

∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

又∵ ∠C=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0

∴ AB²=AC²+BC²

（2）菱形對角線互相垂直：菱形ABCD中,點O為對角線AC、BD的交點，求證AC⊥BD。

設 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα

又∵ cosα=-cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0

∴AC⊥BD

在生産生活中，點積同樣應用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向錄影機還是背向錄影機。向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，是以在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則實體離光照的軸線越近，光照越強。實體中，點積可以用來計算合力和功。若b為機關矢量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩矢量點積大于0，則它們的方向朝向相近；如果小于0，則方向相反。矢量内積是人工智能領域中的神經網絡技術的數學基礎之一，此方法還被用于動畫渲染（Animation-Rendering）。

線性變換中點積的意義：

根據點積的代數公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假設a為給定權重向量，b為特征向量，則a·b其實為一種線性組合，函數F（a·b）則可以建構一個基于a·b+c = 0 （c為偏移）的某一超平面的線性分類器，F是個簡單函數，會将超過一定門檻值的值對應到第一類，其它的值對應到第二類。

詞條圖檔(5)

參考資料

1.

同濟大學數學系．工程數學:線性代數(第六版)：高等教育出版社，2014
2.

點積叉積

．百度文庫[引用日期2017-09-10]
3.

平面向量數量積及其應用

．百度文庫[引用日期2017-09-10]

點積

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