一、引言
哈喽大家好，今天要給大家介紹的是“蟻群算法”。跟粒子群算法一樣，蟻群算法也是基于對生物行為的研究所受到啟發而産生的。它的誕生比粒子群算法還要早3年，在1992年的某一天，一位叫Marco Dorigo的在他的博士論文中提出了蟻群算法，并稱其靈感來源于螞蟻在尋找食物過程中發現路徑的行為。。。好了曆史背景介紹到止，接下來就認真講一下何謂蟻群算法吧。
二、螞蟻尋食
2.1 科普知識
很久以前，生物學家就對螞蟻捕食行為很好奇。因為，可能大家不知道，螞蟻的視力特别差，你可以把它當成瞎子，可是每次卻都能找到食物，并且從它所找到的路徑，還是從洞穴到食物的最短路徑。大家可以想一想，每次你的桌子上有掉一顆糖，過不了多久，就立馬有螞蟻出現了，而且還是一成群的螞蟻沿着同一條線路過來的。這是為什麼呢？難道是螞蟻的鼻子很靈敏嗎？
後來生物學家們經過長時間的研究發現，并不是螞蟻的鼻子很靈敏，而是他們之間有一種很特别的資訊傳遞方式——資訊素，正是這種特别的資訊傳遞方式，使得螞蟻這種生物，不會迷路哈哈。
好言歸正傳，這個資訊素是怎麼用的呢？其實是這樣的，螞蟻在行走的過程會釋放一種化學物質，這種化學物質就叫“資訊素”，這是用來辨別自己的行走路徑。而在尋找食物的過程中，螞蟻根據這個資訊素的濃度來選擇行走的方向，最終就到達了食物的所在地。
2.2 講個故事
有一天，有2個螞蟻（分别叫小黃和大黃吧）出來找食物了。從洞穴出來，有兩條路可以走，選擇哪條路的機率是一緻的，因為兩條路目前都沒有資訊素。我們假設結果是大黃走了直線路，小黃走了曲線路。如下圖
兩個螞蟻在行走過程中分泌資訊素，用于辨別路線。接着，過了一段時間，大黃找到了奶酪，此時小黃還在行走中。如下圖
接着大黃要回去的時候，由于直線路含有資訊素而曲線路沒有資訊素（因為目前小黃還沒走到奶酪附近），于是大黃選擇走有資訊素的道路也就是直線路。又過了一段時間，大黃回到了路的起點，而小黃剛走到奶酪附近。可以看出現在兩條路的資訊素濃度是2: 1。如圖
接着小黃要回去的時候，由于直線路含有的資訊素濃度比曲線路高，于是小黃選擇走有資訊素濃度高的道路也就是直線路。最終當小黃也回到路的起點的時候，兩條路的資訊素濃度比例是3: 1。
以後，每當有螞蟻遇到起點岔路的時候，都會優先選擇資訊素濃度高的道路。這樣，一大批的螞蟻就能夠準确的找到最短路徑了。
2.3 啟發
我們從這個螞蟻找食物的過程中，發現其實，這個跟我們之前提到的旅行商問題很像。大家還記得旅行商問題是什麼麼？不記得沒關系，我再講一下就好了。有這麼一個旅行商人，他要拜訪n個城市，但是每次走的路徑是有限制的，即每個城市隻能拜訪一次，并且最後要回到原來出發的城市。如何選擇路徑使得總路程為最小值。螞蟻找食物和旅行商問題都是為了求得最短路徑。那接下來，我們就根據利用蟻群算法來解決我們的旅行商問題。诶部落客等等你還沒講蟻群算法。别急，我兩者一起講，蟻群算法這東西需要執行個體比較好解釋。
三、蟻群算法的基本原理
本節以TSP問題為例介紹蟻群算法的原理。
1. 每隻螞蟻從一個城市走到另一個城市的過程中都會在路徑上釋放資訊素，并且螞蟻選擇下一個城市的依據是一個機率公式，如下：
$ P_{ij}^{k}(t) = \left\{\begin{matrix} \frac{\tau_{ij}^{\alpha}(t)\cdot \eta_{ij}^{\beta}(t)}{\sum_{s \notin tabu_{k}}\tau_{is}^{\alpha}(t)\cdot \eta_{is}^{\beta}(t)} & j \notin tabu_{k}\\ 0 & other \end{matrix}\right.$
上式中，各個符号的意義如下：
- $\alpha$ -- 資訊素啟發式因子，它反映了資訊素對螞蟻路徑選擇的作用；
- $\beta$ -- 期望啟發式因子，它反映了資訊素在螞蟻選擇路徑時被重視的程度；
- $d_{ij}$ -- 城市i和j之間的距離;
- $\eta_{ij}(t)$ -- 啟發函數，表達式為$\eta_{ij}(t) = \frac{1} {d_{ij}}$；
- $tabu_{k}$ -- 禁忌表，記錄螞蟻k目前所走過的城市；
- $\tau_{ij}$ -- 城市i到城市j的路徑上的資訊素的量；
2. 螞蟻留下的資訊素，因為是化學物質，是以随着時間的過去資訊素也應該要以一定的速率揮發。根據不同的規則我們可以将蟻群算法分為三種模型——蟻周模型(Ant-Cycle)、蟻量模型(Ant-Quantity)和蟻密模型(Ant-Density)。通常使用的是蟻周模型，故本文隻介紹蟻周模型，其他兩種模型大家自行查閱下哈。規則是：完成一次路徑循環後，螞蟻才釋放資訊素。有了這麼一個規則後，我們可以來想想，經過一次路徑循環後，路徑上的資訊素為多少？
根據上面所提供的資訊，我們可以知道，當所有的螞蟻完成一次路徑循環後，才更新資訊素。是以路徑上的資訊素應該分為兩部分：之前未揮發所殘留的資訊素 + 經過目前循環所有螞蟻在經過該路徑後所留下的資訊素。用公式表述如下：
$\tau_{ij}(t + n) = (1 - \rho ) \cdot \tau_{ij}(t) + \Delta \tau_{ij}(t, t + n )$
$\Delta \tau_{ij}(t, t + n) = \sum_{k = 1}^{m}\Delta \tau_{ij}^{k}(t, t + n)$
其中，
- $\rho$ -- 資訊素揮發因子，$\rho \in [0, 1)$；
- $\Delta \tau_{ij}(t, t + n)$ -- 經過一次循環後城市i到城市j的路徑上的資訊素的增量；
- $(t, t+n)$ -- 走過n步以後螞蟻即完成一次循環；
- $\Delta \tau_{ij}^{k}(t, t + n)$ -- 表示經過一次循環後螞蟻k在它走過的路上的資訊素增量。
好了，現在我們的未揮發所殘留的資訊素很好解，定義一個資訊素揮發因子$\rho$便能解決。但是，經過一次循環所有螞蟻留下的資訊素該怎麼定義？在蟻周模型中，它被定義如下：
$\Delta \tau_{ij}^{k}(t, t + n) = \left\{\begin{matrix} \frac{Q}{L_{k}} & Ant \ k \ walk \ though \ path \ (i,j)\\ 0 & other \end{matrix}\right.$
它表明，螞蟻留下的資訊素跟它走過的完整路徑的總長度有關。越長則留下的資訊素越少，這個應該很好了解。為了找到更短的路徑，就應該讓短的路徑資訊素濃度高些。其中這個$Q$是控制比例常數，一般定為1。
3. 有了數學公式後，我們可以寫出蟻群算法的基本步驟：
(1) 參數初始化：
通常可以按照以下政策來進行參數組合設定：
- 确定螞蟻數目：螞蟻數目與城市規模之比約為1.5；
- 參數粗調：即調整取值範圍較大的$\alpha$，$\beta$及$Q$；
- 參數微調：即調整取值範圍較小的$\rho$；
% 參數初始化
NC_max = 200; % 最大疊代次數，取100~500之間
m = 50; % 螞蟻的個數，一般設為城市數量的1.5倍
alpha = 1; % α 選擇[1, 4]比較合适
beta = 5; % β 選擇[3 4 5]比較合适
rho = 0.1; % ρ 選擇[0.1, 0.2, 0.5]比較合适
Q = 1;
NC = 1; % 疊代次數，一開始為1
Eta = 1 ./ D; % η = 1 / D(i, j) ,這裡是矩陣
Tau = ones(n, n); % Tau(i, j)表示邊(i, j)的資訊素量，一開始都為1
Table = zeros(m, n); % 路徑記錄表
rBest = zeros(NC_max, n); % 記錄各代的最佳路線
lBest = inf .* ones(NC_max, 1); % 記錄各代的最佳路線的總長度
lAverage = zeros(NC_max, 1); % 記錄各代路線的平均長度 (2) 随機将螞蟻放于不同出發點，對每隻螞蟻計算其下個通路城市，直到所有螞蟻通路完所有城市。
% 第1步：随機産生各個螞蟻的起點城市
start = zeros(m, 1);
for i = 1: m
temp = randperm(n);
start(i) = temp(1);
end
Table(:, 1) = start; % Tabu表的第一列即是所有螞蟻的起點城市
citys_index = 1: n; % 所有城市索引的一個集合
% 第2步：逐個螞蟻路徑選擇
for i = 1: m
% 逐個城市路徑選擇
for j = 2: n
tabu = Table(i, 1: (j - 1)); % 螞蟻i已經通路的城市集合（稱禁忌表）
allow_index = ~ismember(citys_index, tabu);
Allow = citys_index(allow_index); % Allow表：存放待通路的城市
P = Allow;
% 計算從城市j到剩下未通路的城市的轉移機率
for k = 1: size(Allow, 2) % 待通路的城市數量
P(k) = Tau(tabu(end), Allow(k))^alpha * Eta(tabu(end), Allow(k))^beta;
end
P = P / sum(P); % 歸一化
% 輪盤賭法選擇下一個通路城市（為了增加随機性）
Pc = cumsum(P);
target_index = find(Pc >= rand);
target = Allow(target_index(1));
Table(i, j) = target;
end
end
(3) 計算各螞蟻經過的路徑長度$L_{k}$，記錄目前疊代次數最優解（即最短路徑和最短距離），同時對路徑上的資訊素濃度進行更新
% 第3步：計算各個螞蟻的路徑距離
length = zeros(m, 1);
for i = 1: m
Route = Table(i, :);
for j = 1: (n - 1)
length(i) = length(i) + D(Route(j), Route(j + 1));
end
length(i) = length(i) + D(Route(n), Route(1));
end
% 第4步：計算最短路徑距離及平均距離
if NC == 1
[min_Length, min_index] = min(length);
lBest(NC) = min_Length;
lAverage(NC) = mean(length);
rBest(NC, :) = Table(min_index, :);
else
[min_Length, min_index] = min(length);
lBest(NC) = min(lBest(NC - 1), min_Length);
lAverage(NC) = mean(length);
if lBest(NC) == min_Length
rBest(NC, :) = Table(min_index, :);
else
rBest(NC, :) = rBest((NC - 1), :);
end
end
% 第5步：更新資訊素
Delta_tau = zeros(n, n);
for i = 1: m
for j = 1: (n - 1)
Delta_tau(Table(i, j), Table(i, j + 1)) = Delta_tau(Table(i, j), Table(i, j + 1)) + Q / length(i);
end
Delta_tau(Table(i, n), Table(i, 1)) = Delta_tau(Table(i, n), Table(i, 1)) + Q / length(i);
end
Tau = (1 - rho) .* Tau + Delta_tau;
% 第6步：疊代次數加1，并且清空路徑記錄表
NC = NC + 1;
Table = zeros(m, n);
(4) 判斷是否達到最大疊代次數，若否，傳回步驟2；是，結束程式。
(5) 輸出結果，并根據需要輸出尋優過程中的相關名額，如運作時間、收斂疊代次數等。
四、完整Matlab代碼
以下是利用蟻群算法計算TSP問題的代碼：
%% I. 清空環境
clc
clear all
%% II. 符号說明
% C -- n個城市的坐标
% NC_max -- 最大疊代次數
% m -- 蟻群中螞蟻的數量，一般設定為城市的1.5倍
% D(i, j) -- 兩城市i和之間的距離
% Eta(i, j) = 1 ./ D(i, j) -- 啟發函數
% alpha -- 表征資訊素重要程度的參數
% beta -- 表征啟發函數重要程度的參數
% rho -- 資訊素揮發因子
% Q --
% rBest -- 各代最佳的路線
% lBest -- 各代最佳路線的長度
% lAverage --各代的平均長度
%% III. 導入城市位置資料
citys = [16.4700 96.1000
16.4700 94.4400
20.0900 92.5400
22.3900 93.3700
25.2300 97.2400
22.0000 96.0500
20.4700 97.0200
17.2000 96.2900
16.3000 97.3800
14.0500 98.1200
16.5300 97.3800
21.5200 95.5900
19.4100 97.1300
20.0900 92.5500];
%% IV. 計算距離矩陣
D = Distance(citys); % 計算距離矩陣
n = size(D, 1); % 城市的個數
%% V. 初始化參數
NC_max = 200; % 最大疊代次數，取100~500之間
m = 22; % 螞蟻的個數，一般設為城市數量的1.5倍
alpha = 1; % α 選擇[1, 4]比較合适
beta = 5; % β 選擇[3 4 5]比較合适
rho = 0.1; % ρ 選擇[0.1, 0.2, 0.5]比較合适
Q = 1;
NC = 1; % 疊代次數，一開始為1
Eta = 1 ./ D; % η = 1 / D(i, j) ,這裡是矩陣
Tau = ones(n, n); % Tau(i, j)表示邊(i, j)的資訊素量，一開始都為1
Table = zeros(m, n); % 路徑記錄表
rBest = zeros(NC_max, n); % 記錄各代的最佳路線
lBest = inf .* ones(NC_max, 1); % 記錄各代的最佳路線的總長度
lAverage = zeros(NC_max, 1); % 記錄各代路線的平均長度
%% VI. 疊代尋找最佳路徑
while NC <= NC_max
% 第1步：随機産生各個螞蟻的起點城市
start = zeros(m, 1);
for i = 1: m
temp = randperm(n);
start(i) = temp(1);
end
Table(:, 1) = start; % Tabu表的第一列即是所有螞蟻的起點城市
citys_index = 1: n; % 所有城市索引的一個集合
% 第2步：逐個螞蟻路徑選擇
for i = 1: m
% 逐個城市路徑選擇
for j = 2: n
tabu = Table(i, 1: (j - 1)); % 螞蟻i已經通路的城市集合（稱禁忌表）
allow_index = ~ismember(citys_index, tabu);
Allow = citys_index(allow_index); % Allow表：存放待通路的城市
P = Allow;
% 計算從城市j到剩下未通路的城市的轉移機率
for k = 1: size(Allow, 2) % 待通路的城市數量
P(k) = Tau(tabu(end), Allow(k))^alpha * Eta(tabu(end), Allow(k))^beta;
end
P = P / sum(P); % 歸一化
% 輪盤賭法選擇下一個通路城市（為了增加随機性）
Pc = cumsum(P);
target_index = find(Pc >= rand);
target = Allow(target_index(1));
Table(i, j) = target;
end
end
% 第3步：計算各個螞蟻的路徑距離
length = zeros(m, 1);
for i = 1: m
Route = Table(i, :);
for j = 1: (n - 1)
length(i) = length(i) + D(Route(j), Route(j + 1));
end
length(i) = length(i) + D(Route(n), Route(1));
end
% 第4步：計算最短路徑距離及平均距離
if NC == 1
[min_Length, min_index] = min(length);
lBest(NC) = min_Length;
lAverage(NC) = mean(length);
rBest(NC, :) = Table(min_index, :);
else
[min_Length, min_index] = min(length);
lBest(NC) = min(lBest(NC - 1), min_Length);
lAverage(NC) = mean(length);
if lBest(NC) == min_Length
rBest(NC, :) = Table(min_index, :);
else
rBest(NC, :) = rBest((NC - 1), :);
end
end
% 第5步：更新資訊素
Delta_tau = zeros(n, n);
for i = 1: m
for j = 1: (n - 1)
Delta_tau(Table(i, j), Table(i, j + 1)) = Delta_tau(Table(i, j), Table(i, j + 1)) + Q / length(i);
end
Delta_tau(Table(i, n), Table(i, 1)) = Delta_tau(Table(i, n), Table(i, 1)) + Q / length(i);
end
Tau = (1 - rho) .* Tau + Delta_tau;
% 第6步：疊代次數加1，并且清空路徑記錄表
NC = NC + 1;
Table = zeros(m, n);
end
%% VII. 結果顯示
[shortest_Length, shortest_index] = min(lBest);
shortest_Route = rBest(shortest_index, :);
disp([\'最短距離:\' num2str(shortest_Length)]);
disp([\'最短路徑:\' num2str([shortest_Route shortest_Route(1)])]);
%% VIII. 繪圖
figure(1)
plot([citys(shortest_Route,1); citys(shortest_Route(1),1)],...
[citys(shortest_Route,2); citys(shortest_Route(1),2)],\'o-\');
grid on
for i = 1: size(citys, 1)
text(citys(i, 1), citys(i, 2), [\' \' num2str(i)]);
end
text(citys(shortest_Route(1), 1), citys(shortest_Route(1), 2), \' 起點\');
text(citys(shortest_Route(end), 1), citys(shortest_Route(end), 2), \' 終點\');
xlabel(\'城市位置橫坐标\')
ylabel(\'城市位置縱坐标\')
title([\'蟻群算法優化路徑(最短距離: \' num2str(shortest_Length) \')\'])
figure(2)
plot(1: NC_max, lBest, \'b\', 1: NC_max, lAverage, \'r:\')
legend(\'最短距離\', \'平均距離\')
xlabel(\'疊代次數\')
ylabel(\'距離\')
title(\'各代最短距離與平均距離對比\')
其中，求兩城市之間的路徑距離被封裝到Distance.m中，如下：
function D = Distance(citys)
%% 計算兩兩城市之間的距離
% 輸入:各城市的位置坐标(citys)
% 輸出:兩兩城市之間的距離(D)
n = size(citys, 1);
D = zeros(n, n);
for i = 1: n
for j = i + 1: n
D(i, j) = sqrt((citys(i, 1) - citys(j, 1))^2 + (citys(i, 2) - citys(j, 2))^2);
D(j, i) = D(i, j);
end
D(i, i) = 1e-4; %對角線的值為0，但由于後面的啟發因子要取倒數，是以用一個很小數代替0
end 運作上述代碼，獲得的結果如下：
最短距離:29.6889
最短路徑:8 1 11 9 10 2 14 3 4 5 6 12 7 13 8
獲得的優化路徑圖如下：