參考資料：
網易公開課：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html 麻省理工公開課：線性代數
教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition by Gilbert Strang
連結：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg
提取碼：s9bl
假設：$m\times n$矩陣$A$
一、矩陣$A$的列空間：$C(A)$
（1）是$R^m$的子空間
（2）維數：矩陣$A$的秩$r$ //$A\mathbf{x}=0$主元變量的數目
（3）基：$r$個主列
二、矩陣$A$的零空間：$N(A)$
（1）是$R^n$的子空間
（2）維數：$A\mathbf{x}=0$自由變量的數目$n-r$
（3）基：自由變量對應的$n-r$個特解
三、矩陣$A$的行空間：$C(\color{red}{A^T})$ //矩陣$A$所有行的線性組合；或者矩陣$A$的轉置$A^T$所有列的線性組合
（1）是$R^n$的子空間
（2）維數：矩陣$A^T$的秩$r$ //$rank(A)=rank(A^T)$
（3）基：行最簡矩陣$R$的前$r$行 //不一定是$A$的前$r$行
注：矩陣$A$和行最簡矩陣$R$的行空間相同（$C(A^T)=C(R^T)$），列空間不同（$C(A)\neq C(R)$） //“行變換”不影響行空間(基一緻)，但是會改變列空間
四、矩陣$A$的轉置的零空間：$N(\color{red}{A^T})$ //左零空間：$A^T\mathbf{y}=\mathbf{0} \Rightarrow \color{red}{\mathbf{y}^TA=\mathbf{0}^T}$
（1）是$R^m$的子空間
（2）維數：$m-r$
（3）基：變換矩陣$E$的最下方$m-r$行
利用高斯-約旦消元法（第3課）求解變換矩陣$E$使得$EA=R$ //當m=n，且$A$可逆時，$R=I, E=A^{-1}$
變換矩陣$E$的最下方$m-r$行正是使得$A$各行線性組合為0的系數（左乘相當于行組合），即為矩陣$A^T$零空間的基
示例：
- 行空間的基為$R$的前$r=2$行：$[1~0~1~1]^T$和$[0~1~1~0]^T$
- 左零空間的基為$E$的最後$m-r=3-2=1$行：$[-1~0~1]^T$
五、新型向量空間$M$
（1）定義：所有$3\times 3$矩陣 //将矩陣視為“向量”
（2）滿足向量空間的八條運算法則：如對加法和數乘封閉等
（3）子空間：所有上三角矩陣、所有對稱矩陣、所有對角矩陣$D$（前兩者交集） //$D$的維數為3
