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緒言
任何新生事物的産生和發展，都要經過一個由弱到強,逐漸成長壯大的過程，一種新理論、一種新學科的問世，往往一開始會受到許多人的懷疑甚至否定。模糊數學自1965年L.A.Zadeh教授開創以來所走過的道路，充分證明了這一點，然而，實踐是檢驗真理的标準，模糊數學在理論和實際應用兩方面同時取得的巨大成果，不僅消除了人們的疑慮，而且使模糊數學在科學領域中，占有了自己的一席之地。
經典數學是适應力學、天文、實體、化學這類學科的需要而發展起來的，不可能不帶有這些學科固有的局限性。這些學科考察的對象，都是無生命的機械系統，大都是界限分明的清晰事物，允許人們作出非此即彼的判斷，進行精确的測量，因而适于用精确方法描述和處理。而那些難以用經典數學實作定量化的學科，特别是有關生命現象、社會現象的學科，研究的對象大多是沒有明确界限的模糊事物，不允許作出非此即彼的斷言，不能進行精确的測量。清晰事物的有關參量可以精确測定，能夠建立起精确的數學模型。模糊事物無法獲得必要的精确資料，不能按精确方法建立數學模型。實踐證明，對于不同質的沖突，隻有用不同質的方法才能解決。傳統方法用于力學系統高度有效，但用于對人類行為起重要作用的系統，就顯得太精确了，以緻于很難達到甚至無法達到。
精确方法的邏輯基礎是傳統的二值邏輯，即要求符合非此即彼的排中律，這對于處理清晰事物是适用的。但用于處理模糊性事物時，就會産生邏輯悖論。如判斷企業經濟效益的好壞時，用“年利稅在100萬元以上者為經濟效益好的企業”表達，否則，便是經濟效益不好的企業。根據常識，顯而易見：“比經濟效益好的企業年利稅少1元的企業，仍是經濟效益好的企業”，而不應被劃為經濟效益不好的企業。這樣，從上面的兩個結論出發，反複運用經典的二值邏輯，我們最後就會得到，“年利稅為0者仍為經濟效益好的企業”的悖論。類似的悖論有許多，曆史上最著名的有“羅素悖論”。它們都是在用二值邏輯來處理模糊性事物時産生的。
客觀實際中存在衆多的模糊性事物和現象，促使人們尋求建立一種适于描述模糊事物和現象的邏輯模式。模糊集合理論便是在這種形勢下應運而生的。模糊方法的邏輯基礎是連續值邏輯，它是建立在[0，1]上的。如若我們把年利稅在100萬元以上者的屬于“經濟效益好”的企業的隸屬度規定為1，那末，相比之下，年利稅少1元的企業，屬于“經濟效益好”的企業的隸屬度就應相應減少一點，比如為0.99999，依此類推，企業的年利稅每減少1元，它屬于“經濟效益好”的企業的隸屬度就要相應減少一點。這樣下去，當企業的年利稅為0時，它屬于“經濟效益好”的企業的隸屬度也就為0了，顯然，模糊方法的這種處理方式，是符合于人們的認識過程的，連續值邏輯是二值邏輯的合理推廣。
現代科學發展的總趨勢是，從以分析為主對确定性現象的研究，進到以綜合為主對不确定性現象的研究。各門科學在充分研究本領域中那些非此即彼的典型現象之後，正在擴大視域，轉而研究那些亦此亦彼的非典型現象。自然科學不同學科之間，社會科學不同學科之間，自然科學和社會科學之間，互相滲透的趨勢日益加強，原來截然分明的學科界限一個個被打破，邊緣科學大量湧現出來。随着科學技術的綜合化、整體化，邊界不分明的對象，亦即模糊性對象，以多種多樣的形式普遍地、經常地出現在科學的前沿。
模糊集合理論自誕生以來，獲得了長足的發展，每年全世界發表的研究論文的數量，以指數級速度增長。研究範圍從開始時的模糊集合，發展為模糊數、模糊代數、模糊測度、模糊積分、模糊規劃、模糊圖論、模糊拓撲……等衆多的分枝。
和模糊集合理論的發展速度相比，模糊技術的應用雖稍遲一步，但也取得了令人可喜的進展。自1980年第一例應用模糊技術的産品問世以來，有關這方面的研究報告已逾7000多篇，制造出近千種模糊産品，如計算機、電鍋、錄影機、微波爐、洗衣機、空調器等。如日本松下公司研制的智能化家用空調器，可根據内置的傳感器提供的室内空氣溫度資料，在室溫高或低于25℃時，會自動地“稍稍”調節空調器的閥門，進行4608種不同狀态設定選擇，進而獲得最佳開啟狀态和盡可能少的消耗。而這種“稍稍”的程度，隻有通過有經驗的人的感覺來決定。
模糊技術方法不是對精确的摒棄，而是對精确更圓滿的刻畫。它通過模糊控制規劃，利用人類常識和智慧，了解詞語的模糊内涵和外延，将各方面專家的思維互相補充。雖然，目前要使模糊技術接近于人的思維，尚難以做到，但正如日本夏普公司電子專家日吉考莊所說：一個普遍應用模糊技術的時代，不久就會到來。
我國自70年代開始模糊數學研究以來，成就突出，已形成了2000至3000人的世界最龐大的研究隊伍，并在高速模糊推理研究等領域，居世界領先地位。但同時在其它方面，也存在着一些差距，尤其突出的是實驗室裡的成果，還有許多未轉化成經濟效益。需要在政府和工業界的支援和參與下，成立專門的開發實體，制定規劃，并積極開展國際交流，為我國21世紀的技術發展和科學騰飛奠定基礎。
第二章 模式識别
§2-1模式識别及識别的直接方法
在日常生活中生活中，經常需要進行各種判斷、預測。如圖象文字識别、故障（疾病）的診斷、礦藏情況的判斷等，其特點就是在已知各種标準類型前提下，判斷識别對象屬于哪個類型的問題。這樣的問題就是模式識别。
一、模糊模式識别的一般步驟
模式識别的問題，在模糊數學形成之前就已經存在，傳統的作法主要用統計方法或語言的方法進行識别。但在多數情況下，标準類型常可用模糊集表示，用模糊數學的方法進行識别是更為合理可行的，以模糊數學為基礎的模式識别方法稱為模糊模式識别。
模式識别主要包括三個步驟：
第一步：提取特征，首先需要從識别對象中提取與識别有關的特征，并度量這些特征，設 分别為每個特征的路徑成本，于是每個識别對象 就對應一個向量 ，這一步是識别的關鍵，特征提取不合理，會影響識别效果。
第二步：建立标準類型的隸屬函數，标準類型通常是論域 的模糊集， 是識别對象的第 個特征。
第三步：建立識别判決準則，确定某些歸屬原則，以判定識别對象屬于哪一個标準類型。常用的判決準則有最大隸屬度原則（直接法）和擇近原則（間接法）兩種。
二、最大的隸屬度原則
若标準類型是一些表示模糊概念的模糊集，待識别對象是論域中的某一進制素（個體）時，往往由于識别對象不絕對地屬于某類标準類型，因而隸屬度不為1，這類問題人們常常是采用稱為“最大隸屬度原則”的方法加以識别，這種方法（以及下面的“門檻值原則”）是處理個體識别問題的，稱為直接法。
最大隸屬度原則：設 是 個标準類型， ，若
則認為 相對隸屬于 所代表的類型。
例1 通貨膨脹識别問題
通貨膨脹狀态可分成五個類型:通貨穩定;輕度通貨膨脹;中度通貨膨脹;重度通貨膨脹;惡性通貨膨脹.以上五個類型依次用 (非負實數域,下同)上的模糊集 表示,其隸屬函數分别為:
其中對 ,表示物價上漲 。問 時，分别相對隸屬于哪種類型？
解 ，
，
，
，
由最大隸屬原則， 應相對隸屬于 ，即當物價上漲 時，應視為輕度通貨膨脹； ，應相對隸屬于 ，即當物價上漲 時，應視為惡性通貨膨脹。
三、門檻值原則
在使用最大隸屬度原則進行識别中，還會出現以下兩種情況，其一是有時待識别對象 關于模糊集 中每一個隸屬程度都相對較低，這時說明模糊集合 對元素 不能識别；其二是有時待識别對象 關于模糊集 中若幹個的隸屬程度都相對較高，這時還可以縮小 的識别範圍，關于這兩種情況有如下門檻值原則。
門檻值原則： 是 個标準類型， 為一門檻值（置信水準）令
若 則不能識别，應查找原因另作分析。
若a³d且有 ， … 則判決 相對地屬于
例2 三角形識别問題
我們把三角形分成等腰三角形 ,直角三角形 , 正三角形 ,非典型三角形 ,這四個标準類型,取定論域
這裡 是三角形三個内角的度數，通過分析建立這四類三角形的隸屬函數為：
現給定， ， 對上述四個标準類型的隸屬度為：
由于 關于 , 的隸屬程度都相對高，故采用門檻值原則，取 ，因 ， ，按門檻值原則， 相對屬于 ∩ ,即 可識别為等腰直角三角形。
例3 癌細胞識别
在癌細胞識别問題中細胞分成四個标準類型，即：癌細胞 ，重度核異質細胞 ，輕度核異質細胞 ，正常細胞
選取表征細胞狀況的七個特征：
根據病理知識，反映細胞是否癌變的主要名額有以下六個，它們都是 上的模糊集：
上述 是适當選取的常數
細胞識别中的幾個标準類型分别定義為：
上述定義中的模糊集 的隸屬函數為 。另兩個模糊集 、 的隸屬函數類似定義。
給定待識别細胞 ，設 的核面積等七個特征值為 據此可算出 、 、 、 ，最後按最大隸屬度原則識别。
例4 冬季降雪量預報
内蒙古豐鎮地區流行三條諺語：（1）夏熱冬雪大，（2）秋霜晚冬雪大，（3）秋分刮西北風冬雪大，現在根據三條諺語來預報豐鎮地區冬季降雪量。
為描述“夏熱” 、秋霜晚 、秋分刮西北風 等概念，在氣象現象中提取以下特征：
：當年6~7月平均氣溫
：當年秋季初霜日期
：當年秋分日的風向與正西方向的夾角。
于是模糊集 （夏熱）， （秋霜晚）、 （秋分刮西北風）的隸屬函數可分别定義為：
其中 是豐鎮地區若幹年6、7月份氣溫的平均值， 為方差，實際預報時取 = =0.98
其中 是若幹年秋季初霜日的平均值， 是經驗參數，實際預報時取 =17（即9月17日）， =10（即9月10日）。
取論域 ，“冬雪大”可以表示為論域 上的模糊集 ，其隸屬函數為：
∧ ∨
采用門檻值原則，取門檻值 ，測定當年氣候因子 。計算 ，若 則預報當年冬季“多雪”，否則預報“少雪”。
用這一方法對豐鎮1959~1970年間隔12年作了預報，除1965年以外均報對，曆史拟合率為11/12。
§2-2 貼近度與模式識别的間接方法
一、貼近度
表示兩個模糊集接近程度的數量名額，稱為貼近度，其嚴格的數學定義如下：
定義1 設映射
:
滿足下列條件：
(1) ，
(2) ，
(3) 若 滿足
有
則稱映射 為 上的貼近度，稱 為 與 的貼近度。
貼近度的具體形式較多，以下介紹幾種常見的貼近度公式
（1） Hamming 貼近度
或
（2）Euclid貼近度
或
（3）格貼近度
定義7 映射
⊙ ，（或= ⊙ ）
稱為格貼近度，稱 為 與 格貼近度。其中，
(稱為 與 的内積)
⊙ (稱為 與 的外積)
若 ，則
⊙
值得注意的是，這裡的格貼近度是通過定義來規定的，事實上，格貼近度不滿足定義1中(1)，即 ，但是，當 時，格貼近度滿足定義1的(1)-(3)。另外格貼近度的計算很友善，且用于表示相同類型模糊度的貼近度比較有效，是以在實際應用中也常選用格貼近度來反映模糊集接近程度。
還有許多貼近度，這裡不在一一介紹。
貼近度主要用于模糊識别等具體問題，以上介紹的貼近度表示式各有優劣，具體應用時，應根據問題的實際情況，選用合适的貼近度。
二、模式識别的間接方法——擇近原則
在模式識别問題中，各标準類型（模式）一般是某個論域 上的模糊集，用模式識别的直接方法（最大隸屬度原則、門檻值原則）解決問題時，其識别對象是論域 中的元素。另有一類識别問題，其識别對象也是 上的模糊集，這類問題可以用下面的擇近原則來識别判決。
擇近原則：已知 個标準類型 、 、…、 ， 為待識别的對象， 上的貼近度，若
則認為 與 最貼近，判定 屬于 一類。
例5 岩石類型識别
岩石按抗壓強度可以分成五個标準類型：很差（ ）、差（ ）、較好（ ）、好（ ）、很好（ ）。它們都是 上的模糊集，其隸屬函數如下（圖2-1）
| 1 |
0 200 400 600 900 1100 1800 2000
圖 2-1
今有某種岩體，經實測得出其抗壓強度為 上的模糊集 ，隸屬函數為（圖2-3）。
圖 2-3
試問岩體 應屬于哪一類。
計算 與 的格貼近度，得：
按擇近原則， 應屬于 類，即 屬于“較好”類（ 類）的岩石。
例6 小麥親本識别
在小麥雜交育種過程中，親本選擇是關鍵。現有五種類型的小麥親本，它們是：
：早熟型， ：矮杆型， ：大粒型，
：高肥豐産型， ：中肥豐産型。
判斷小麥親本類型的主要依據是以下五種性狀特征：
：抽穗期， ：株高， ：有效穗數，
：主穗粒數， ：百粒重。
第 種類型親本的第 個特征，是模糊集 ，這些模糊集除 （早熟型的抽穗期）與 （矮杆型的株高）外，其餘都是中間型的正态分布模糊集。為簡單計，将正态分布函數展開，取前兩項作它的近似值，則有
于是 的隸屬函數可表示為：
而 ， 的隸屬函數取為偏小值型：
為确定隸屬函數中的參數值，在熟知的标準類型中，每類型選出 個新本為樣本，分别計算各樣本的第 個特征的均值 及方差 ，取
以上參數值見表（2-1）
表 2-1
| 親本 參數 性狀 | 早熟 | 矮杆 | 大粒 | 高肥豐産 | 中肥豐産 | ||||||||||
| 抽穗期 | - | 6.7 | 1.1 | 5.5 | 9.6 | 1.0 | 5.8 | 11.9 | 1.2 | 5.2 | 11.3 | 0.9 | 5.1 | 8.9 | 1.2 |
| 株高 | 67.1 | 87.7 | 50.0 | - | 70.0 | 72.4 | 67.9 | 90.9 | 52.2 | 67.9 | 81.2 | 35.9 | 76.5 | 84.6 | 57.5 |
| 有效穗數 | 9.1 | 11.2 | 18.1 | 8.3 | 18.2 | 10.8 | 9.4 | 13.2 | 15.6 | 9.8 | 13.2 | 11.3 | 7.2 | 13.2 | 5.8 |
| 主穗粒數 | 40.2 | 55.0 | 92.0 | 37.5 | 52.5 | 80.7 | 44.2 | 54.5 | 21.2 | 41.2 | 51.0 | 13.3 | 37.6 | 48.3 | 93.9 |
| 百粒重 | 3.0 | 4.4 | 0.3 | 2.4 | 3.4 | 0.3 | 4.0 | 6.0 | 0.3 | 3.6 | 4.2 | 0.3 | 3.3 | 4.0 | 0.2 |
現有一待識對象 ，它的第 個特征 是中間型正态分布模糊集，隸屬函數可近似表示為：
。
式中參數值見表（2-2）
表 2-2
| 特性 參數 | 抽穗期 | 株高 | 有效穗數 | 主穗粒數 | 百粒重 |
| 8.5 | 85.6 | 6.2 | 36.2 | 3.43 | |
| 1.5 | 4 | 1.9 | 70 | 0.28 |
計算識别對象 的第 個特征與第 種标準類型對應特征 的格貼近度 并定義第 種标準類型 與識别對象 的貼近度為：
計算結果列于表（2-3）
表 2-3
| 早熟（ ） | 矮杆（ ） | 大粒（ ） | 高肥（ ） | 中肥（ ） | |
| ( ， ) | 0.50 | 1.00 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| ( ， ) | 1.00 | 0.00 | 1.00 | 0.76 | 0.99 |
| ( ， ) | 1.00 | 0.88 | 0.77 | 0.64 | 0.96 |
| ( ， ) | 0.23 | 0.98 | 0.89 | 0.83 | 0.98 |
| ( ， ) | 1.00 | 1.00 | 0.98 | 1.00 | 1.00 |
| ( ， ) | 0.23 | 0.00 | 0.77 | 0.64 | 0.96 |
表（2-3）的最後一行為 與各标準類型的貼近度。由于 與 的貼近度最高（0.96），故判定識别對象 為 代表的類型，即 為中肥豐産類型的親本。
例7 遙感土地涵蓋類型分類
遙感是根據不同的地物對電磁波譜有不同的響應這一原理，來識别土地涵蓋的類型。空間遙感的一個象元相當于地面0.45公傾地物的綜合。遙感圖象識别分類中，要涉及不少模糊概念，例如，“以紅松為主的針葉林”就是一個沒有明确界線的模糊概念。這是遙感本身的特性決定的。是以用模糊數學的方法對遙感圖象進行識别分類應該是行之有效的方法。
美國愛達荷大學R.C.Heller 教授指出，國際上當以水體、沙地、森林、城鎮、作物、幹草作為分類機關（即标準類型）時，空間遙感的分類精度可達83.93%甚至更高。但當分類機關深入到更小的土地涵蓋單元時，精度就不理想了。
現在将分類機關細分階段為以下五種标準類型：
：公路， ：村莊農田， ：紅松為主的針葉林，
：闊、針混交林， ：白桦林。
對于多波段遙感技術，假設采用 個波段，則每一地物對應一個 維資料向量 。1975年1月22日美國發射LandSat-2，提供了MSS-4，5，6，7這四個波段的資料，故有 。取論域
其中 分别為象元對應于MSS-4，5，6，7各波段的光譜強度。于是五種标準類型 可表為 上的模糊集。
由于各波段光譜強度是正态分布模糊集，故第 個标準類型的（ +3）波段光譜強度的隸屬函數為：
定義第 種标準類型 為：
因而
其中 為若幹個第 種類型第（ +3）個波段光譜強度的均值， 為方差，東北涼水林場的這些參數值見表（2-4）
表 2-4
| 标準類型 | MSS-4 | MSS-5 | MSS-6 | MSS-7 | |||
| 19.06 | 0.56 | 18.24 | 1.60 | 51.24 | 4.32 | 25.24 | 1.98 |
| 21.89 | 2.88 | 24.68 | 4.82 | 47.37 | 4.09 | 21.63 | 2.39 |
| 15.46 | 1.22 | 12.58 | 0.88 | 36.54 | 3.55 | 17.33 | 2.08 |
| 16.22 | 0.64 | 12.78 | 0.58 | 42.41 | 2.87 | 21.22 | 1.50 |
| 17 | 0.82 | 13.2 | 0.42 | 45 | 0.94 | 23.20 | 0.42 |
設 為識别對象，定義 與 的貼近度為：
（1）
其中 = ⊙ （2）
表 2-5
| 類型 N 識别對象 | max | 判别 | ||||
| 結果 | 效果 | |||||
| 0.92 | 0.72 | 0.50 | 0.50 | 0.50 | 0.92 | 正确 |
| 0.65 | 0.99 | 0.50 | 0.50 | 0.50 | 0.99 | 正确 |
| 0.50 | 0.50 | 0.99 | 0.60 | 0.50 | 0.99 | 正确 |
| 0.50 | 0.50 | 0.61 | 0.99 | 0.65 | 0.99 | 正确 |
| 0.50 | 0.50 | 0.50 | 0.62 | 0.89 | 0.89 | 正确 |
按 及 ⊙
（3-26）
（這裡 與 是 的均值與方差）。
現有東北涼水林場空間遙感象元（待識别對象）五個，按（1）與（2）計算它們與五個标準類型的貼近度，計算結果在表（2-5）按擇近原則進行識别判決，準确率100%。
例8 雷達識别
現有 個雷達類，每個雷達類可用發射頻率、脈沖重複頻率、脈沖寬度等特征來刻畫，假設共有 個特征，第 類雷達的第 個特征可以取 個值。由于保密的需要及信号環境的日益複雜，這些特征及其取值都帶有一定的模糊性。設第 類 雷達的 個特征為 類雷達的第 個特征 取值為 ，其隸屬函數為中間型柯西分布，即
設 為待識别對象，它的 個特征為 的第 個特征 的隸屬函數也取中間型柯西分布：
采用格貼近度，令
則 為識别對象 的第 個特征與 類雷達第 個特征貼近程度的度量。
一般情況可令
（ 是各 的權重平均值，權系數 表示 個特征的重要性程度） 可作為識别對象 與第 類雷達總貼近的度量。根據 的大小可判定 屬于何類雷達，但是，由于權系數 的确定有一定的模糊性， 及 的隸屬函數的确定帶有一定的主觀性，進而導緻貼近度 有一定的模糊性。是以對 及 進行模糊化處理，設
這裡 ， 都是 模糊數（見第五章），取 。
令
的隸屬函數為
則 為識别對象 與第 類雷達的貼近程度的模糊測度。
為得到 所屬雷達類别的确切判決，類似于門檻值法則，給定水準值 ，令
若 且 唯一，則判定 為 類雷達；
若 且 ，則判定 為 類雷達。
用上述方法（将權系數及貼近度模糊化），經上千次仿真試驗，比傳統的貼近度及線性加弘平均法，誤判率有所下降。
第三章 模糊規劃
§3-1 模糊極值
一、有界函數的模糊極值
設 （ 為實數集）
是有界函數，求函數 的普通極值問題是求 使
滿足上式的 為 在 上的最大值點， 為最大值，最大值點不一定唯一.
設 的一切最大值點的集合為
稱 為 的優越集.當 時，函數在 處取到最大值 ， 使 達到最優.當 時， 雖不是最大值，但對不同的 ， 與最大值的差異有所不同,也就是說，對于不屬于 的 ，它們的“優越性”程度有所不同，為了反映 中各點不同的優越程度，将優越集 模糊化，并利用它将極值模糊化.
定義1設 是有界函數，定義 的隸屬函數為
( )
稱 為 的無條件模糊優越集稱 的 的無條件模糊極大值.這裡 ，它的求屬函數按擴張原理為
(約定 )
注 (1)當 為 的極大點，即 時 ，當 為 的極小點，即 時 , 充分必要條件是
(2)當 時，
當 時，
當 時，
是以, 反映了在模糊意義下, 對 的模糊數大值的求屬程度.
例1 設 ， ,
定義 , , , ,則
, 并且
于是
又
故
的無條件模糊極小集 定義為 的無條件極大集，顯然有
且有， ,所有極小集 是極大集 的餘集.
二、模糊限制下有界函數的模糊極值
設： 是有界函數， ，考慮 在 限制下的最大值問題，這是一個模糊規劃問題，求解這個問題意味着既要最大限度地滿足限制，又要最大限度地達到理想目标，為此定義如下：
定義2 設目标函數 是有界函數， 是模糊限制，令
這裡的 是定義1中 的無條件模糊優越集，稱 為 在 限制下的條件模糊優越集，稱 為 在 限制下的條件模糊極大值.它們的求屬函數分别為：
求解目标函數 在模糊限制 下的條件極大值有如下三個步驟：
(1)求無條件模糊優越集
(2)求條件模糊優越集
(3)求條件最佳決策，即選擇 ,使
就是所求的條件極大點， 就是在模糊限制 下的條件極大值.
例2采區巷道布置是礦井開拓中的重要内容，其目的就是建立完善的礦井生産系統，實作采區合理集中生産，改善技術經濟名額.是以，合理地選擇最優巷道布置方案，對于礦井生産具有十分重要的意義.根據煤礦開采的特點和采區在礦井生産的作用，在選擇最優巷道布置方案時，要求達到下列标準：
(1)生産集中程度高； (2)采煤機械化程度高；
(3)采區生産系統十分完善； (4)安全生産可靠性好；
(5)煤炭損失率低； (6)巷道掘進費用盡可能低.
上述問題,實際上就是一個模糊限制下的條件極值問題，我們可以把(1)～(5)作為模糊限制，而把(6)作為目标函數.
設某礦井的采區巷道布置有六種方案可供選擇，即 =｛ (方案Ⅰ), (方案Ⅱ), (方案Ⅲ), (方案Ⅳ), (方案Ⅴ), (方案Ⅵ)｝.
經過對六種方案進行審議，評價後，将其結果列于表1
| 方案 評價項目 | ||||||
| :生産集中程度高 | 較低 | 高 | 較高 | 很高 | 較高 | 較高 |
| :采煤機械化程度高 | 高 | 較高 | 較高 | 高 | 很高 | 高 |
| :采區生産系統完善 | 一級 | 較低 | 較低 | 很高 | 高 | 較高 |
| :安全生産可靠度高 | 較低 | 一般 | 較低 | 高 | 一般 | 高 |
| :煤炭損失率低 | 高 | 較高 | 一般 | 一般 | 一般 | 很低 |
| : 巷道掘進費用(萬元) | 59.40 | 69.10 | 78.80 | 34.50 | 44.20 | 63.60 |
将表1中的語言真值(評價結果)轉化為各模糊限制集 , 的隸屬度轉化的對應關系如下：
對 , , , 而言，對應關系為：
| 很 低 | 較 低 | 一 般 | 較 高 | 高 | 很 高 |
| 0.0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | 1.0 |
對 而言，對應關系為
| 很 低 | 較 低 | 一 般 | 較 高 | 高 | 很 高 |
| 1.0 | 0.8 | 0.6 | 0.4 | 0.2 | 0.0 |
将表1中的巷道掘進費用目标函數 用公式
計算出，是以得表2
其值語言與隸屬函數轉換表2
| 方案 | |||||
| 0.2 | 0.8 | 0.4 | 1.0 | 0.6 | 0.6 |
| 0.8 | 0.6 | 0.6 | 0.8 | 1.0 | 0.8 |
| 0.4 | 0.2 | 0.2 | 1.0 | 0.8 | 0.6 |
| 0.2 | 0.4 | 0.2 | 0.8 | 0.4 | 0.8 |
| 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.6 | 0.6 | 1.0 |
| 0.44 | 0.22 | 1 | 0.78 | 0.34 |
計算模糊判決集 為
(按列求最小)
由
根據最大求屬度原則，方案四最優
例3 在某種食品中投放某種調味劑，每公斤食品中的含量設為 克，對顧客愛好作調查統計，得愛好函數為
對于使愛好函數值越大的 值，所制産品越暢銷，因而收益越大，但是由于成本核算等等原因，對 值需要進行限制，這種限制集合的邊界是模糊的，即 的限制條件為一模糊集 ，其隸屬函數為
試确定合理的劑量 ，使得在接受限制的條件下，獲得最優收益.
解 這是一個規劃問題，分三步進行.
（1） 求無條件模糊優越集 ，由于
，
令 ，得 .又當 時， ， 時， ，因而 ， .是以
（2） 求條件模糊優越集
其中 滿足方程
（3） 選擇 ，使
，
即 對目标 的可能度為45.93%，而要實作這種可能性，應選擇調味劑的最佳劑量為2.085克.
需要說明的是，在本例中如果将限制條件确切化，以 的核[0,1]為限制，這是一個普通規劃問題，所得結論是選擇最佳劑量為1克.從限制條件看，已是100%遵守，但所能達到的最高目标相對整個目标函數來說是很低的，由 ，說明相對整個目标來說，其優越程度僅達24.6%.如果把條件放松為模糊限制條件 ，且适當降低 的水準，卻可以獲得較好的目标值.如例中的結果，當 時，從接受限制條件來看雖僅達45.9%，但目标函數的優越程度也升到了45.9%，進而提高了整體優化水準.由于在實際問題中，限制條件往往不是絕對的，有一定的伸縮性，模糊規劃的思想就是利用這點靈活性，兼顧目标函數與限制條件綜合地選擇最優方案.
例4 植物的種植密度與産量有密切的關系.已知某種杉樹的種植密度 與産量 的關系如下：
這裡 表示每公頃土地上種植的棵數， 表示每公頃土地産出木材的體積.現有一片杉樹森林，其密度不均勻，估計 “大約是三千”.試估計該森林每公頃木材最高産量.
解 設 表示“大約是三千”這一模糊， 的隸屬函數為
估計木材産量的問題，就是求在 的限制下函數 的模糊條件極大值.為此先求有界函數 的無條件模糊優越集.因 ， ，是以
在限制條件 下的條件模糊優越集為：
條件模糊極值為 ，其隸屬函數為：
為求條件最佳決策 ，即滿足條件
的
注意到 的隸屬函數曲線是單調降的，而 是正态分布模糊集， 在限制 下的模糊最佳決策（即模糊條件極大點），是方程
的兩個根當中的較小者，解之得 .
由 可知， 時，接受限制的程度為46.9%，同時，相對于整體目标函數，優越程度也是46.9%.
由 可知，該森林每公頃木材最高産量估計為 .
§3-2 模糊線性規劃
一、普通線性規劃
普通線性規劃的一般形式為
目标函數
限制條件
矩陣表達形式
其中
線性規劃問題的标準形式
（3-1）
二、模糊線性規劃
在實際問題中，有時線性規劃的限制條件帶有模糊性，這就是解謂的模糊線性規劃，其模型為
這是“ ”表示一種彈性限制，可讀作“近似小于等于”.“近似小于等于”是一個模糊概念，可以用一個模糊集來表示它. 表示第 個限制的左邊表達式，模糊集 表示“ ”這一事實，當 時，完全接受限制，應有 ;适當選擇一個伸縮系數 ，約定當 時，不認為 ，這時應有 ;當 時， 應從1下降到0，表示限制程度降低.為了簡單可行， 規定如下：
設 ，對每一個限制 ，相應地有 中一個模糊渠 與之對應，它的隸屬函數為
其中 是适當選擇的常數，叫做伸縮名額， ，這樣一來,我們将彈性限制轉化成模糊限制,再令 就将全部限制條件轉化成一個模糊限制.
當 時, 退化為普通限制集 ，模糊限制條件中“ ”退化為“ ”
模糊線性規劃的模型簡記為
（3-2）
限制的彈性必然導緻目标的彈性，為将目标函數模糊化，先求解普通線性規劃問題：
滿足 （3-3）
以及
滿足 （3-4）
其中 稱為（3-2）的伸縮名額向量.
設 是(3-32)的最優值， 是(3-4)的最優值. 所滿足的限制條件為 ，對應的模糊限制 .若适當降低模糊限制的隸屬度 ，可以相應提高目标函數值 , 所滿足的限制條件已放到最寬 ，對應的模糊限制 也接近于0.于是目标函數的彈性可表示為 .為此構造模糊目标集 .其隸屬函數為
其中
由模糊目标的上述隸屬函數可知，當 時， ，要提高目标函數值使之大于 .就必須降低 .為了兼顧目标與限制，可采用模糊決策為 ，最佳決策為 ， 滿足
若令 , 則有
于是求最佳決策 的問題，就轉化為求普通線性規劃問題：
即
（3-5）
求解上述普通規劃問題，可得
最佳決策
目标函數值 .
例5：求解模糊線性規劃問題
(3-6)
解 (一)解普通線性規劃
(二)解普通線性規劃
(三) 解普通線性規劃
解 這個線性規劃采用大 法
原線性規劃改寫為
∴
進而(3-4)的最優值
例6某企業根據市場資訊及自身生産能力，準備開發甲、乙兩種系列産品.甲種系列産品最多大約能生産400套，乙種系列産品最多大約能生産250套.據測算，甲種産品每套成本3萬元，每套獲純利潤7萬元；乙種系列産品每套成本2萬元，每套獲純利潤3萬元.生産甲、乙兩種系列産品的資金總投入大約不能超過1500萬元.在上述條件下，如何安排兩種系列産品的生産，才能使企業獲利最大？
解 設甲種系列産品生産 套，乙種系列産品生産 套，則
目标:
限制: （3-7）
設限制條件（1）、（2）、（3）的伸縮系數分别取為 （元）， （套）， （套）.為将目标函數模糊化，解經典線性規劃問題
使
（4）
用單純形法求解，得 ， ，
再解經典線性規劃問題
(5)
解得
， ，
于是
将 、 、 、 、 代入(3-5)，将原問題經為經典線性規劃問題：
使
上述線性規劃問題最優解為 ， ， .是以安排甲種系列産品403套、乙種系列産品159套（取整數）時，能獲得最大利潤，最大利潤為：
萬元
對比經典線性規劃問題（4），利潤提高43.75萬元，這是因為甲種系列産品403套比400套多3套；乙種系列産品生産159套比150套多9套，這是在伸縮名額允許範圍内.總費用 元雖然比1500超出27元，這也是伸縮名額允許的.以上讨論說明，在适當放松限制時可以提高利潤.