Outline
分治思想和遞歸表達式
大整數乘法
矩陣乘法的Strassen算法
快速傅裡葉變化
基于分治的排序
merge-sort排序
快速排序
排序的下界問題
中位數和順序統計量
最鄰近點對
凸包
Notes
## 分治思想和遞歸表達式
【分治思想】算法
将一個問題分解為與原問題類似但規模更小的若幹子問題，遞歸地解這些子問題，而後将這些子問題的解結合起來構成原問題的解。這種方法在每層遞歸上均包括三個步驟：程式設計
divide(分解)：将問題劃分為若幹個子問題
conquer(求解)：遞歸地解這些子問題；若子問題Size足夠小，則直接解決之
Combine(組合)：将子問題的解組合成原問題的解
【分治遞歸表達式】數組
設T(n)是Size為n的執行時間，若Size足夠小，如n ≤ C (常數)，則直接求解的時間為θ(1)
①設完成劃分的時間為D(n)
②設分解時，劃分為a個子問題，每一個子問題為原問題的1/b，則解各子問題的時間為aT(n/b)
③設組合時間C(n)
則有遞歸方程總結為：
T(n)=θ(1) if n
T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) if n≥c
技術細節(注意)：
在聲明、求解遞歸式時，經常忽略向上取整、向下取整、邊界條件
邊界條件可忽略,這些細節通常隻影響常數因子的大小，不改變量級。求解時，先忽略細節，而後再決定其是否重要！
## 大整數乘法
*********優化劃分階段，下降T(n)=aT(n/b) + f(n) 中的 a*********ide
這裡咱們假設有兩個大整數X、Y，分别設X=123四、Y=5678。如今要求X*Y的乘積，國小的算法就是把X與Y中的每一項去乘，可是這樣的乘法所需的時間複雜度為O(n^2)，效率低下，咱們能夠嘗試使用分治來解決。函數
XY = (A2n/2 + B)(C2n/2 + D)優化
= AC2n + (AD+BC)2n/2 + BDui
= AC2n + ((A-B)(D-C)+AC+BD)2n/2 + BDidea
算法分析：
首先将X和Y分紅A，B，C，D
此時将X和Y的乘積轉化為上述式子，把問題轉化為求解式子的值
此時遞歸式為 T(n)=4T(n/2)+θ(n)
算法複雜度T(n)=θ(n2)
繼續優化： AD+BC=(B-A)(C-D)+AC+BD
算法過程：
劃分産生A,B,C,D;
計算 B-A 和 C-D；
計算 n/2 位乘法 AC、BD、(B-A)(C-D)；
計算 (B-A)(C-D) + AC + BD；
AC左移n位，((B-A)(C-D) + AC + BD) 左移n/2位；
計算XY
遞推式：
T(n)=θ(1) if n=1
T(n)=3T(n/2)+O(n) if n>1
算法複雜度： T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)
## 矩陣乘法的Strassen算法
【矩陣相乘的樸素算法 T(n) = Θ(n3)】spa
樸素矩陣相乘算法，思想明了，程式設計實作簡單。時間複雜度是Θ(n^3)。僞碼以下3d
1 for i ← 1to n2 do for j ← 1to n3 do c[i][j] ← 0
4 for k ← 1to n5 do c[i][j] ← c[i][j] + a[i][k]⋅ b[k][j]
【矩陣相乘的strassen算法 T(n)=Θ(nlog7) =Θ (n2.81)】
通常算法須要八次乘法，四次加法；算法效率是Θ(n^3)；
鑒于上面的分治法方案沒法有效提升算法的效率，要想提升算法效率，由主定理方法可知必須想辦法将2中遞歸式中的系數8減小。Strassen提出了一種将系數減小到7的分治法方案，以下圖所示。
咱們能夠看到上面隻有7次乘法和屢次加減法，最終達到下降複雜度為O( nlg7 ) ~= O( n2.81 );
SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A,B)
n=A.rows
let C be anew n*n matrixif n==1c11=a11*b11else partition A, B and C as in equation(1)
C11=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B21)
C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B22)
C21=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B21)
C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B22) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B22)return C
## 快速傅裡葉變換(FFT)
問題定義：
算法思想：
僞代碼：
遞歸方程：
算法複雜度： T(n) = θ(n logn)
## 基于分治的排序
【歸并排序】
歸并排序是分治思想的典型應用，
劃分政策：根據中間點将數組集合劃分紅兩部分，不斷遞歸
合并政策：比較a[i]和b[j]的大小，若a[i]≤b[j]，則将第一個有序表中的元素a[i]複制到r[k]中，并令i和k分别加上1；不然将第二個有序表中的元素b[j]複制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循環下去，直到其中一個有序表取完，而後再将另外一個有序表中剩餘的元素複制到r中從下标k到下标t的單元。
MergeSort(A,i,j)
Input: A[i,…,j]
Output:排序後的A[i,…,j]1. k ← (i+j)/2;2. MergeSort(A,i,k);3. MergeSort(A,k+1,j);4. l←i; h ← k+1; t=i; //設定指針
5. While l≤k & h
9. For v ←l To k Do10. B[t] ← A[v]; t ← t+1;11. IF h
12. For v ←h To j Do13. B[t] ← A[v]; t ← t+1;14. For v ← i To j Do //将歸并後的資料複制到A中
15. A[v] ← B[v]；
複雜度分析： T(n)=2T(n/2)+O(n) T(n)=O(nlogn)
複習：歸并排序具備以下特色：
歸并排序的時間複雜度為O(nlogn)，這是基于比較的排序算法所能達到的最高境界；
歸并排序是一種穩定的算法，這一點在某些場景下相當重要；
歸并排序是最經常使用的外部排序方法(當待排序的記錄放在外存上，記憶體裝不下所有資料時，歸并排序仍然适用，固然歸并排序一樣适用于内部排序...)；
但其也須要O(n)的輔助空間，而與之效率相同的快排和堆排分别須要O(logn)和O(1)的輔助空間，在同類算法中歸并排序的空間複雜度略高
【快速排序】
劃分政策：選取一個記錄做為樞軸，通過一趟排序，将整段序列分為兩個部分，其中一部分的值都小于樞軸，另外一部分都大于樞軸。
遞歸政策：而後繼續對這兩部分繼續進行排序，進而使整個序列達到有序。
合并政策：無操做
QuickSort(A,i,j)
Input: A[i,…,j], x
Output: 排序後的A[i,…,j]1. temp←rand(i,j); //産生i，j之間的随機數
2. x ← A[temp]; //以肯定的政策選擇x
3. k=partition(A,i,j,x); //用x完成劃分
4. QuickSort(A,i,k); //遞歸求解子問題
5. QuickSort(A,k+1,j);
Partition(A,i,j,x)
1. low←i ; high ←j;
2. While( low< high ) Do
3. swap(A[low], A[high]);
4. While( A[low] < x ) Do
5. low←low+1;
6. While( A[low] < x ) Do
7. high←high-1;
8. return(high)
平均、最優的時間複雜度為O(nlogn)，最差的時間複雜度為O(n^2)
平均的空間複雜度為O(logn)，最差的空間複雜度為O(n)
排序的下界是：Ω(n log n)
## 中位數和順序統計量
【最大值最小值】
算法MaxMin(A)
輸入: 數組A[i,…,j]
輸出:數組A[i,…,j]中的max和min1. If j-i+1 =1Then 輸出A[i],A[i],算法結束2. If j-i+1 =2Then3. If A[i]
5. m1,M1 ←MaxMin(A[i:k]);6. m2,M2 ←MaxMin(A[k+1:j]);7. m ←min(m1,m2);8. M ←max(M1,M2);9. 輸出m,M
時間複雜度分析：T(n) = 3n/2 - 2
是以時間複雜度為：O( ⌊3n/2⌋ )
【中位數的線性時間選擇算法】
這種算法在最壞的狀況下的時間複雜度為O(n)，其具體過程以下：
将輸入數組劃分為n/5組，每組有5個元素，且剩下的至多有一組的元素小于5個。
尋找這n/5個組中每一個組的中位數，能夠将每組作一次排序，而後選取每組的第三個元素。
對于第2部找出的n/5個中位數遞歸的調用Select函數求出其中位數x.(約定偶數個中位數為其較小的中位數)
按照找到的中位數x将數組劃分為兩個部分，求得小于或者等于x的元素有q個
若是k==q則傳回x,若k
Input: 數組A[1:n], 1≤i≤n
Output: A[1:n]中的第i-大的數1. for j←1 to n/5
2. InsertSort(A[(j-1)*5+1 : (j-1)*5+5]);3. swap(A[j], A[[(j-1)*5+3]);4. x ←Select(A[1: n/5], n/10);5. k ←partition(A[1:n], x);6. if k=i then returnx;7. else if k>i then retrun Select(A[1:k-1],i);8. else retrun Select(A[k+1:n],i-k);
遞歸方程式：T(n) ≤ T( ⌈n/5⌉ ) +T(7n/10+6) + O(n)
時間複雜度：T(n) = O(n)
## 最鄰近點對
輸入：Euclidean空間上的n個點的集合Q
輸出：P1, P2∈Q, Dis(P1, P2)=Min{Dis(X, Y) | X, Y∈Q}
算法過程：
若是Q中僅包含一個點，則算法結束；
把Q中點分别按x-坐标值和y-坐标值排序.
劃分：
計算Q中各點x-坐标的中位數m；
用垂線 L:x=m 把Q劃分紅兩個大小相等的子集合QL 和QR， QL中點在L左邊, QR 中點在L右邊.
求解：
遞歸地在QL、QR中找出最接近點對:(p1, p2)∈QL , (q1, q2)∈QR
d=min{Dis(p1, p2), Dis(q1, q2)};
合并：
在臨界區查找距離小于d的點對(pl, qr), pl∈QL,qr∈QR;
若是找到，則(pl, qr)是Q中最接近點對，不然(p1, p2)和(q1, q2) 中距離最小者為Q中最接近點對
時間複雜度：
Divide階段須要O(n)時間
Conquer階段須要2T(n/2)時間
Merge階段須要O(n)時間
遞歸方程
T(n)= O(1) n = 2
T(n) = 2T(n/2) + O(n) n ≥ 3
用Master定理求解T(n)
T(n) = O(nlogn)
## 凸包