線性代數學習筆記（十三）
正定矩陣的判定；幾何意義
根據Strang的意思，正定矩陣将以下四者聯系在一起，完成了大一統。
- 主元pivots，
- 行列式determinants，
- 特征值eigenvalues，
- 不穩定性instability
正定矩陣（Positive Definite Matrices）
兩個條件構成正定矩陣：
- 對稱矩陣
- 特征值都大于0
PS. 對稱矩陣+特征值都小于0=負定矩陣，對稱矩陣+特征值大于等于0=半正定矩陣，對稱矩陣+特征值小于等于0=半負定矩陣
判斷 對稱矩陣 是不是 正定矩陣 ？
判斷特征值是否都大于0這個方法計算量大，應該極力避免。可以從四個方向判斷（隻需矩陣對稱+滿足以下條件之一，就可推出矩陣是正定的），以2x2矩陣[a b; c d]為例：
- 特征值：所有特征值都大于0（複習：對稱矩陣特征值都是實數）
- 行列式：a>0 且 ac-b2>0 （沿着主對角線向下，各級行列式都大于0）
- 主元：：a>0 且 ( ac-b2 )/a > 0
- 穩定性：xTAx>0（x是任意非零向量）待解釋
- least square：A能化為RTR，且R的列向量互相獨立（R可以是瘦瘦高高的長方形矩陣）待解釋
解釋1：大多數教材将xTAx>0作為A是正定矩陣的定義。
解釋2：第五點是書上特有的：在R列向量獨立時，RTR正定。證明很簡單，xTRTRx=(Rx)T(Rx)=||Rx||2，由于R列向量獨立，是以||Rx||必大于0，問題化為4。
解釋3：Strang似乎沒說怎麼講上述5點連接配接起來，這裡我總結以下：
- 5轉為4：見解釋2
- 4轉為1：x若是A的特征向量，則xTAx=xTλx=λ*||x||2，由于xTAx>0（這是4的定義），故λ>0；x若是任意向量，可按特征向量拆分，xTAx=(x1+x2+...)TA(x1+x2+...)=(x1+x2+...)T(λ1x1+λ2x2+...)=λ1*||x1||2+λ2*||x2||2+...>0（正交性消去了類似x1\'x2這樣的項）
- 1與2見上節筆記
- 2與3：行列式=主元乘積，因為沿着對角線向下的行列式都大于0，是以沿着主對角線向下的所有主元都大于0
xTAx
這個式子太常見，是以有必要額外說明一下。
xTAx是一個标量數字，在很多系統中表達“能量”的概念。如果将式子寫成x=[x1, x2, ...]各個分量的表達式，最終将成為一個二次型（每項的變量次數和都是2）。
三維空間中将x1與x2當做平面坐标，再将xTAx的值表達為第三維值，那麼可以做出立體曲面來。
幾何意義
首先來個直覺的感受，摘自網上：
- 正定二次型的一個典型例子，隐形眼鏡，其零點是唯一的。
- 半正定的二次型的一個典型例子是鴨舌帽的帽舌，其零點是一條線。
- 不定型的典型例子，工作中的護翼型衛生巾。護翼部分在零下，其他部分在零上。
A是2x2的情況下，令xTAx=1（1：隻要是常數就行，比如2,3都行），就是截立體曲面和平面的交線。
- 若A是正定的，那麼交線是橢圓
- A是半正定的，那麼交線是兩條互相平行的直線
- A是不定型的，那麼交線是雙曲線
A是3x3的情況下，若A是正定的，那麼“交面”是一個橄榄球（已經沒辦法想象A形成的曲面是什麼樣了，但是能推出其“交面”）；A是4x4的情況下……就沒法想象了。
再回到2x2的情況下，A的特征向量就是橢圓的主軸！（待補充）
