公元前600年到前300年之間古典希臘學者的登場标志數學作為一門獨立、理性的科學的開端。事實上，原始人早在公元前一萬多年前就開始定居在一個地方發展農業或者畜牧業，但是直到公元前三四千年左右，古中國、巴比倫、埃及才逐漸産生了數學的萌芽。如今，古代非洲的尼羅河（埃及數學）、西亞的底格裡斯河和幼發拉底河（巴比倫數學）、中南亞的印度河和恒河（印度數學）以及東亞的黃河和長江（中國數學）都位于大河流域,被預設為是數學的發源地，其他古文明甚至沒有産生過數學的痕迹。下面就古巴比倫、古埃及、古印度文明中數學的起源與發展來看在數學成為獨立的科學之前在各文明中已經存在哪些萌芽。
一、巴比倫數學
在古巴比倫、古埃及、古印度三個古代文明社會當中，巴比倫人先對數學主流做出了貢獻。古巴比倫位于底格裡斯河和幼發拉底河之間及其流域這區域在古代叫美索不達米亞，是今天伊拉克的一部分，公元前4000年左右，蘇美爾人來這裡定居建立起蘇美爾文明，後來由于戰争等因素被阿卡得文化淹沒。公元前2000年左右，阿卡得人在泥版上留下的楔形文字記錄了巴比倫人采用六十進位制表示整數。
最開始與古中國十進制計法一樣，他們用空位表示0，公元前330年至公元前64年引入了特别的符号表示0，但是最右端仍然用空位表示，還是不能準确讀出符号表示的數。他們常用分數，分數也采用60進位制。除了1/2、2/3、1/3用特别的符号表示外，他們的分數與整數符号混用，人們必須依靠檔案内容才能準确讀數，而且他們的分數是等同于整數一樣的整體，并沒有分數分整數的份數這樣的概念。實際上巴比倫人并不是隻用60進制，也有十進制、十二進制、各進制混合使用。不過在數學和天文上，他們這一貫用60進制。
在古巴比倫計數制中，代表一和十的記号是基本記号，從1~59這些數都是用幾個甚至更多一些基本記号結合而成。是以數的加減法就是加上或者去掉這個記号。他們也做整數的乘法，如果要計算36乘以5，他們的做法是30×5＋6×5。這可以看作是乘法配置設定律的萌芽。為了便于計算,他們大約在公元前2000年以前已經編制了從1×1到60×60的乘法表并用來進行乘法運算了。關于除法,巴比倫人進行的是整數除以整數的運算,由于已經認識到除以一個數等于乘以他的倒數，他們經常要使用分數。并由此制作了倒數表。除了乘除法之外,巴比倫人還能借助于泥闆上的數表來進行平方、開平方、立方、開立方的運算。他們的近似表也達到了很高的水準,但是還沒有根據證明他們已認識了無理數。
大約于公元前2000年，古代巴比倫人已能使用代表抽象概念的代數語言,可能由于許多代數問題都與幾何有關,是以他們常常用“長”“寬”,“面積”來代表未知數和它們的乘積等。例如“給定矩形的周長和面積,試求邊長”也就是相當于求解方程組：
早期巴比倫代數中的一個基本問題是:“求一個數,使它和它的倒數之和等于一個給定的數。”用現代的記号來寫就是：
并給出答案：
雖然他們沒有負數的概念,舍掉負根，但這也足以說明他們會解二次方程，并且他們用變量置換把更複雜的代數問題化為較為簡單的問題。對于個别的五元方程組、個别十元方程組、指數方程他們也能進行求解。他們還求出好些畢達哥拉斯三元數組，而且好些都是素畢氏三數。他們很有可能已經掌握了其方法。
相較于代數，古代巴比倫人的幾何要遜色很多。雖然一些比較複雜的問題以幾何術語來表達,但實質上還是一些特殊的代數問題。從泥闆的資料可知巴比倫人在公元前2000年到前1600年,他們就能計算長方形、直角三角形和等腰三角形(也許還知道-一般三角形)的面積,長方體及以特殊梯形為底的直棱柱體積,直角三角形三邊存在平方和關系、三角形相似及相似三角形三邊對應成比例，在計算圓的周長和面積時取π值為3。他們研究幾何問題是為了解決實際問題。
巴比倫人用特殊的名稱（長、寬、面積）表示未知量，采用少數運算符号解一進制方程或者多元方程。這些都作為期代數的開端。由于他們建立了整數和分數較為系統的寫法，算術獲得了較好的發展，還解決了一些天文上的問題，但是總的來說他們的算術和代數都是很初等的。他們的算術和代數步驟及集合原則都是根據實體事實，邊試邊改及直覺認識得出的結果，在他們的數學裡面找不到邏輯推理的萌芽。
巴比倫人從實際生活中抽象出數，并結合生活執行個體對數進行運算，能夠抽象出事件中的數量關系形成方程進行求解，他們意識到某些運算對某類方程具有典型性表明他們已經初步認識到了不同的事件可以列出同一類方程用同樣的解法解決，展現了初步的分類思想并嘗試解法一般化，在解決較為複雜的特殊方程時，采用變量置換的方法進行處理也蘊含了化未知為已知的思想，這方程學習乃至整個數學學習中都具有重要意義。他們對幾何研究正是展現了數學的來源，即最初的數學來源于生活，為了滿足現實生活中解決問題的需要。
二、古埃及數學
埃及文明在公元前4000年前就存在，是在不受外來勢力的幹擾下獨自發展的。早在公元前2500年，埃及人就用僧侶文書寫在草紙上，也就是象形文字的簡縮。目前發現的草書主要成書于公元前1700年左右，但埃及人早在公元前3500年前就已經知道這些數學知識，在後來的歲月裡很少增加新知識。
在公元前3400年以前，埃及人就能用象形文字表示很大的數字。他們以10位基底記數。
盡管埃及是最早采用10進數制的國家之一,但是沒有采用位置記數的方法,這就是的他們的記數和運算都比較麻煩。就記數而言，介于其間的各數由這些符号的組合來表示,書寫方式是從右往左。是以||nnn表示為32。在計算上，由于任何一個自然數都可以由2的各次幂的群組成，是以他們的算術主要用疊加法。在加減法運算中,添上或拆掉一些數字記号求得結果,進行乘除運算時轉化為疊加步驟。
古埃及人通常用機關分數(指分子為1的分數)的和來表示分數且有專門的符号記數。而且蘭德紙草裡有個數表,它把分子為⒉而分母為5到100的奇數的這類分數,表達成為機關分數的和：
再用這張數表進行計算，例如。5除以21運算如下：
由于整數與分數的運算都較為繁複,古埃及算術難以發展到更高的水準。
埃及算術跟巴比倫一樣沒能認識到無理數，代數問題總出現的平方根能用整數和分數來表達。草片文書中有求未知量的解法，相當于今天的一進制一次方程，但是解法是算術的，隻給出了步驟，并未對步驟進行說理，不存在解方程的概念。他們在代數領域并沒有成套的記号，也就是說沒有出現代數語言。
在幾何方面，埃及人沒有将其與代數分開，幾何作為了實用的工具解決實際問題。他們當時已經會正确計算矩形、三角形和梯形的面積,對其他一些幾何圖形采用近似計算法,例如在求任意四邊形的面積時,出現過近似公式:(a+b).(c+d）/2,他們也可能直到能夠構成直角三角形的某些特殊資料。會求圓的面積，并近似的估計π=3.1605...對立方體、柱體等體積的計算,他們給出一些計算的法則,其中有比較準确的也有較為粗略的。對正四棱台體積的計算與我們現在所用的公式完全相同。如今還沒有證據證明他們有靠公理形成的演繹結構。值得注意的是，埃及人把天文知識與幾何知識結合起來建造了他們的神廟和金字塔，但是不能過分強調與神化有關工程的複雜性和想法的深奧性，總體來說埃及人的數學是簡單粗淺的，并不像人們宣稱的那樣包含深刻的原理。
如果說古巴比倫人突出的成就在于代數方面,古埃及人便在于在幾何。這兩個古東方文明古國都有自己關于整數和分數的記法和運算，有了一些初步的代數和幾何上的公式，還沒有成套的記号，也沒有解決問題的一般方法論，更沒有證明和直覺推理的想法來證明他們的運算和公式是正确的，但是已經有了用符号進行标記和表達的意識、有了初步的抽象、初步的推理，單這兩個是無意識的。也就是說，數學并未被當成獨立的學科，也沒有對數學本身進行研究，之是以存在數學知識是為了解決現實問題更好的生活。這個時候數學并被當做一門獨立的科學進行研究，但是已經出現數學的萌芽，事實上，這個時候的他們還沒有想到任何理論科學。
三、古印度數學
雖然印度文明可以追溯到公元前2000年，但是，在公元前800年前他們是沒有數學的。在公元前4世紀或5世紀，給出了根号2的近似值以及一些作等面積的方、元、半圓的知識。的。在這之前，印度的文字一般寫在白桦樹皮和樹葉子上的。也許是樹皮和樹葉子不好儲存，印度數學在7世紀以前缺乏可靠的史料，是以了解得很不夠，在這裡不作過多的讨論。