KMP算法詳細詳解

前言　　

　　之前對kmp算法雖然了解它的原理，即求出P0···Pi的最大相同前字尾長度k；但是問題在于如何求出這個最大前字尾長度呢？我覺得網上很多文章都說的不是很清楚，總感覺沒有把那層紙戳破，後來翻看算法導論，32章 字元串比對雖然講到了對前字尾計算的正确性，但是大量的推理證明不大好了解，沒有與程式結合起來講。今天我在這裡講一講我的一些了解，希望大家多多指教，如果有不清楚的或錯誤的請給我留言。　

1.kmp算法的原理：　　

字元串比對是計算機的基本任務之一。

舉例來說，有一個字元串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，裡面是否包含另一個字元串"ABCDABD"？

許多算法可以完成這個任務，Knuth-Morris-Pratt算法（簡稱KMP）是最常用的之一。它以三個發明者命名，起頭的那個K就是著名科學家Donald Knuth。

這種算法不太容易了解，網上有很多解釋，但讀起來都很費勁。直到讀到Jake Boxer的文章，我才真正了解這種算法。下面，我用自己的語言，試圖寫一篇比較好懂的KMP算法解釋。

1.

首先，字元串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一個字元與搜尋詞"ABCDABD"的第一個字元，進行比較。因為B與A不比對，是以搜尋詞後移一位。

2.

因為B與A不比對，搜尋詞再往後移。

3.

就這樣，直到字元串有一個字元，與搜尋詞的第一個字元相同為止。

4.

接着比較字元串和搜尋詞的下一個字元，還是相同。

5.

直到字元串有一個字元，與搜尋詞對應的字元不相同為止。

6.

這時，最自然的反應是，将搜尋詞整個後移一位，再從頭逐個比較。這樣做雖然可行，但是效率很差，因為你要把"搜尋位置"移到已經比較過的位置，重比一遍。

7.

一個基本事實是，當空格與D不比對時，你其實知道前面六個字元是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，設法利用這個已知資訊，不要把"搜尋位置"移回已經比較過的位置，繼續把它向後移，這樣就提高了效率。

8.

怎麼做到這一點呢？可以針對搜尋詞，算出一張《部分比對表》（Partial Match Table）。這張表是如何産生的，後面再介紹，這裡隻要會用就可以了。

9.

已知空格與D不比對時，前面六個字元"ABCDAB"是比對的。查表可知，最後一個比對字元B對應的"部分比對值"為2，是以按照下面的公式算出向後移動的位數：

　　移動位數 = 已比對的字元數 - 對應的部分比對值

因為 6 - 2 等于4，是以将搜尋詞向後移動4位。

10.

因為空格與Ｃ不比對，搜尋詞還要繼續往後移。這時，已比對的字元數為2（"AB"），對應的"部分比對值"為0。是以，移動位數 = 2 - 0，結果為 2，于是将搜尋詞向後移2位。

11.

因為空格與A不比對，繼續後移一位。

12.

逐位比較，直到發現C與D不比對。于是，移動位數 = 6 - 2，繼續将搜尋詞向後移動4位。

13.

逐位比較，直到搜尋詞的最後一位，發現完全比對，于是搜尋完成。如果還要繼續搜尋（即找出全部比對），移動位數 = 7 - 0，再将搜尋詞向後移動7位，這裡就不再重複了。

14.

下面介紹《部分比對表》是如何産生的。

首先，要了解兩個概念："字首"和"字尾"。 "字首"指除了最後一個字元以外，一個字元串的全部頭部組合；"字尾"指除了第一個字元以外，一個字元串的全部尾部組合。

15.

"部分比對值"就是"字首"和"字尾"的最長的共有元素的長度。以"ABCDABD"為例，

　　－　"A"的字首和字尾都為空集，共有元素的長度為0；

　　－　"AB"的字首為[A]，字尾為[B]，共有元素的長度為0；

　　－　"ABC"的字首為[A, AB]，字尾為[BC, C]，共有元素的長度0；

　　－　"ABCD"的字首為[A, AB, ABC]，字尾為[BCD, CD, D]，共有元素的長度為0；

　　－　"ABCDA"的字首為[A, AB, ABC, ABCD]，字尾為[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素為"A"，長度為1；

　　－　"ABCDAB"的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，字尾為[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素為"AB"，長度為2；

　　－　"ABCDABD"的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，字尾為[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度為0。

16.

"部分比對"的實質是，有時候，字元串頭部和尾部會有重複。比如，"ABCDAB"之中有兩個"AB"，那麼它的"部分比對值"就是2（"AB"的長度）。搜尋詞移動的時候，第一個"AB"向後移動4位（字元串長度-部分比對值），就可以來到第二個"AB"的位置。

2.next數組的求解思路

　　通過上文完全可以對kmp算法的原理有個清晰的了解，那麼下一步就是程式設計實作了，其中最重要的就是如何根據待比對的模版字元串求出對應每一位的最大相同前字尾的長度。我先給出我的代碼：

void makeNext(const char P[],int next[])
{
    int q,k;//q:模版字元串下标；k:最大前字尾長度
    int m = strlen(P);//模版字元串長度
    next[0] = 0;//模版字元串的第一個字元的最大前字尾長度為0
    for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)//for循環，從第二個字元開始，依次計算每一個字元對應的next值
    {
        while(k > 0 && P[q] != P[k])//遞歸的求出P[0]···P[q]的最大的相同的前字尾長度k
            k = next[k-1];          //不了解沒關系看下面的分析，這個while循環是整段代碼的精髓所在，确實不好了解  
        if (P[q] == P[k])//如果相等，那麼最大相同前字尾長度加1
        {
            k++;
        }
        next[q] = k;
    }
}           

現在我着重講解一下while循環所做的工作：

1. 　　已知前一步計算時最大相同的前字尾長度為k（k>0），即P[0]···P[k-1]；
2. 　　此時比較第k項P[k]與P[q],如圖1所示
3. 　　如果P[K]等于P[q]，那麼很簡單跳出while循環;
4. 　　關鍵！關鍵有木有！關鍵如果不等呢？？？那麼我們應該利用已經得到的next[0]···next[k-1]來求P[0]···P[k-1]這個子串中最大相同前字尾，可能有同學要問了——為什麼要求P[0]···P[k-1]的最大相同前字尾呢？？？是啊！為什麼呢？ 原因在于P[k]已經和P[q]失配了，而且P[q-k] ··· P[q-1]又與P[0] ···P[k-1]相同，看來P[0]···P[k-1]這麼長的子串是用不了了，那麼我要找個同樣也是P[0]打頭、P[k-1]結尾的子串即P[0]···P[j-1](j==next[k-1])，看看它的下一項P[j]是否能和P[q]比對。如圖2所示：

代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
void makeNext(const char P[],int next[])
{
    int q,k;
    int m = strlen(P);
    next[0] = 0;
    for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)
    {
        while(k > 0 && P[q] != P[k])
            k = next[k-1];
        if (P[q] == P[k])
        {
            k++;
        }
        next[q] = k;
    }
}

int kmp(const char T[],const char P[],int next[])
{
    int n,m;
    int i,q;
    n = strlen(T);
    m = strlen(P);
    makeNext(P,next);
    for (i = 0,q = 0; i < n; ++i)
    {
        while(q > 0 && P[q] != T[i])
            q = next[q-1];
        if (P[q] == T[i])
        {
            q++;
        }
        if (q == m)
        {
            printf("Pattern occurs with shift:%d\n",(i-m+1));
        }
    }    
}

int main()
{
    int i;
    int next[20]={0};
    char T[] = "ababxbababcadfdsss";
    char P[] = "abcdabd";
    printf("%s\n",T);
    printf("%s\n",P );
    // makeNext(P,next);
    kmp(T,P,next);
    for (i = 0; i < strlen(P); ++i)
    {
        printf("%d ",next[i]);
    }
    printf("\n");

    return 0;
}           

注：本文轉載自 http://www.cnblogs.com/c-cloud/p/3224788.html