【高斯消元】[NOIP2004]蟲食算(這是正解)

題目描述

所謂蟲食算，就是原先的算式中有一部分被蟲子啃掉了，需要我們根據剩下的數字來判定被啃掉的字母。來看一個簡單的例子：

+43a9865a045008468a663344445506978

其中a代表被蟲子啃掉的數字。

根據算式，我們很容易判斷：第一行的兩個數字分别是5和3，第二行的數字是5。

現在，我們對問題做兩個限制：

首先，我們隻考慮加法的蟲食算。這裡的加法是N進制加法，算式中三個數都有N位，允許有前導的0。

其次，蟲子把所有的數都啃光了，我們隻知道哪些數字是相同的，我們将相同的數字用相同的字母表示，不同的數字用不同的字母表示。

如果這個算式是N進制的，我們就取英文字母表午的前N個大寫字母來表示這個算式中的0到N-1這N個不同的數字：但是這N個字母并不一定順序地代表0到N-1)。

輸入資料保證N個字母分别至少出現一次。　　　　

+BADCCBDADCCC

上面的算式是一個4進制的算式。很顯然，我們隻要讓ABCD分别代表0123，便可以讓這個式子成立了。

你的任務是，對于給定的N進制加法算式，求出N個不同的字母分别代表的數字，使得該加法算式成立。輸入資料保證有且僅有一組解。

輸入

輸入檔案alpha.in包含4行。第一行有一個正整數N(N<=26)，後面的3行每行有一個由大寫字母組成的字元串，分别代表兩個加數以及和。這3個字元串左右兩端都沒有空格，從高位到低位，并且恰好有N位。

輸出

輸出檔案alpha.out包含一行。在這一行中，應當包含唯一的那組解。解是這樣表示的：輸出N個數字，分别表示A，B，C……所代表的數字，相鄰的兩個數字用一個空格隔開，不能有多餘的空格。

樣例輸入

Copy (如果複制到控制台無換行，可以先粘貼到文本編輯器，再複制)

5

ABCED

BDACE

EBBAA

樣例輸出

1 0 3 4 2

【資料規模】

對于30％的資料，保證有N≤10；

對于50％的資料，保證有N≤15；

對于全部的資料，保證有N≤26

ps:再給你一組小資料，如果調不出來你可以手動跑一下

輸入：

2

AB

AB

BA

輸出：

0 1

分析：以個位為第一列，di表示第i列的進位情況，對于第i列，如果豎式是 +⋯⋯⋯⋯⋯⋯aibici⋯⋯⋯⋯⋯⋯

那麼顯然有 (ai+bi+di−1)modn=ci

去掉模運算得到

ai+bi+di−1=ci+kn

由于這是豎式加法，那麼 顯然k就是di。

那就有 ai+bi+di−1=ci+n∗di

将常數項移到右邊去 ai+bi−ci=n∗di−di−1

至此，方程列完了。

我們枚舉di，進行求解。

顯然 dn , d0 都是0，是以，我們隻需要枚舉 2n−1 次，高斯消元的時間複雜度是 O(n3) ，是以總的時間複雜度是 O(2n−1n3) ，當然，這顯然不夠快，考慮優化。

我們發現，我們改變的隻有常數項，是以，我們隻做一次高斯消元。通過這次高斯消元，我們顯然可以求出未知數的系數，那對于 常數項呢？

優化從這裡開始

設第i個方程的 化簡後的常數項為 Ai ，

設高斯消元之後得到的未知數的系數為 K

那麼，高斯消元後的矩陣就是這個樣子的⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢K10⋮000K2⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮kn−1000⋮0knA1A2⋮An−1An⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

我們再用一個數組 gi,j 來儲存第i個方程的 化簡後的常數項和 dj 的關系

即 Ai=∑j=1ngi,j

那麼顯然，初始時， gi,j=5,gi,i−1=−1;

那高斯消元後，也就是這個樣子

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢K10⋮000K2⋮00⋯⋯⋱⋯⋯00⋮Kn−1000⋮0Kng1,1g2,1⋮gn−1,1gn,1g1,2g2,2⋮gn−1,2gn,2⋯⋯⋱⋯⋯g1,n−1g2,n−1⋮gn−1,n−1gn,n−1g1,ng2,n⋮gn−1,ngn,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

每次枚舉出d數組的取值後，我們就可以用 O(n2) 的時間算出常數項 Ai ，總的時間複雜度變為 O(2n−1n2) ，但由于很多取值不用 O(n2) 的時間即可判定為不可行 (看我的check()函數)，是以時間時間會比較短。

你看懂了嗎，我猜你沒看懂，那看看我舉的例子：

我們來分析一下樣例：

5

ABCED

BDACE

EBBAA

那麼，我們可以列出矩陣

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−1−110100−10101100100101100−15−100005−100005−100005−100005⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

高斯消元後矩陣變為

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢−300000−300000−300000300000−1−33−15180−16180−1506−21−33−3−83318−151516−15−1500−5⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

枚舉dj，根據增廣矩陣的右邊算出常數項即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 26
int n,equ,var,d[MAXN+10],x[MAXN+10];
typedef int matrix[MAXN+10][MAXN+10];
matrix a,g;
bool vis[MAXN+10];
char s[3][MAXN+10];
void Read(int &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
void read(){
    Read(n);
    scanf("%s%s%s",s[0],s[1],s[2]);
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<2;j++)
            a[n-i][s[j][i]-'A'+1]++;
        a[n-i][s[2][i]-'A'+1]--;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        g[i][i]=n,g[i][i-1]=-1;
    g[1][0]=0;
    equ=var=n;
}
int gcd(int a,int b){
    int t;
    while(b){
        t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}
void gauss_jordan(){
    int i,j,row,col,mxr,lcm;
    for(row=col=1;row<=equ&&col<=var;row++,col++){
        mxr=row;
        for(i=row+1;i<=equ;i++)
            if(abs(a[i][col])>abs(a[mxr][col]))
                mxr=i;
        if(mxr!=row)
            swap(a[row],a[mxr]),swap(g[row],g[mxr]);
        if(!a[row][col]){
            row--;
            continue;
        }
        for(i=1;i<=equ;i++)
            if(i!=row&&a[i][col]){
                lcm=a[i][col]/gcd(a[i][col],a[row][col])*a[row][col];
                int t1=lcm/a[i][col],t2=lcm/a[row][col];
                for(j=1;j<=var;j++){
                    g[i][j]=t1*g[i][j]-t2*g[row][j];
                    a[i][j]=t1*a[i][j]-t2*a[row][j];
                }
            }
    }
}
bool check(){
    int i,j;
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(i=1;i<=n;i++){
        x[i]=0;
        for(j=1;j<=n;j++)
            x[i]+=g[i][j]*d[j];
        if(x[i]%a[i][i]||x[i]/a[i][i]<0||x[i]/a[i][i]>=n||vis[x[i]/a[i][i]])
            return 0;
        x[i]/=a[i][i];
        vis[x[i]]=1;
    }
    return 1;
}
void print(){
    for(int i=1;i<n;i++)
        printf("%d ",x[i]);
    printf("%d\n",x[n]);
}
void dfs(int i){
    if(i==n){
        if(check()){
            print();
            exit(0);
        }
        return;
    }
    d[i]=1;
    dfs(i+1);
    d[i]=0;
    dfs(i+1);
}
int main()
{
    read();
    gauss_jordan();
    dfs(1);
}           

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