如果一個人想了解一個數學結構，例如群或者流形，他要做的第一件事就是找到足夠多的例子，有時候例子是很容易找的。然而，時常是這些例子必須要滿足的條件相當嚴格，這時，可能得到的例子會形成一個無限長的清單，使得各個具體例子都包括在這個清單裡面。例如，可以證明域F上的任意的n維向量空間都同構于F^n，這意味着隻要有一個正整數n就足以完全決定這個向量空間。這時，例子的清單就是
這時，就說得到了相關的數學結構的一個分類。
分類是非常有用的，因為如果能對一個數學結構進行分類，就有了一個新方法來證明關于這個結構的結果，而不必從這個結構所必須滿足的公理來導出它們，而隻需要檢驗這個結果是否對于這個清單裡的每一個例子都成立，如果是，我們就深信已經一般性地證明了這個結果。這樣做并不總是比更加抽象的公理方法更容易，但是有時候确實要容易一些。有一些結果就是用分類來證明的，并且至今還不知道怎樣用别的方法證明。更一般地說，對于一個數學結構，知道的例子越多，就越容易思考這個結構 。如果已經知道了一個結構所有的例子，則對于某些目的，就已經完全懂得了這個結構。
确定建造的磚石以及族
有兩種典型情況導緻有趣的分類定理，這兩種情況的界限有時不甚清晰，但是差別仍然足夠明顯，而值得去加以差別。
作為第一種情況的例子，考慮一種稱為正多胞體（polytope）的數學對象。多邊形、多面體，以及它們的高維推廣都是多胞體。正多邊形就是那些所有邊長度都相等且所有頂角也都相等的多邊形；正多面體就是那些各個面都是全等的正多邊形而在每個頂點上又都有相同個數的棱在那裡相交的多面體。更一般地說，一個高維多胞體為正，就是說它有盡可能多的對稱性，雖然精确的定義還有點難。
在三維情況下，有一個正多面體的新定義，它等價于上面所給的定義，而且比較容易推廣∶我們說一個旗（fag）就是一個三元組（v，e，f），其中 v 是多面體的一個頂點，e 是通過這個 v 的棱，而 f 是一個以 e 為邊的面。說一個多面體是正多面體，就是說對于任意兩個旗（v，e，f）和（v’，e’，f’）都有多面體的一個對稱，變v為v’，變e為e’，變f為f’。
很容易看到正多邊形是2維的，對每一個正整數k>2，都可以找到一個正k 邊形。在3維情況，正多面體就是著名的柏拉圖多面體，它們是正四面體、立方體（即正六面體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。證明隻有這五種正多面體也不算太難，因為在每一個頂點處至少有3個面相遇，而以此頂點為頂的角之和必然小于360°。這些限制表明，過一個頂點的面可以有3個、4個或5個正三角形，或者3個正方形，或者3個正五邊形。它們就依次分别給出正四面體、正八面體、正二十面體、立方體和正十二面體。
現在我們想在更高維的空間裡找到正多邊形和正多面體的類比。剛才定義的正多邊形和正多面體中，隻有一部分這樣的類比很清楚。先看正三角形和正四面體。在R^n中取n＋1個點，使其中任意兩點的距離均為1，它們就構成一個正單形（regular simplex）的頂點，這個正單形就是2維的正三角形與3維的正四面體的推廣。再看R^n中适合條件
它自然是立方體在高維情況下的類比。最後看R^n中适合條件
就是正八面體在R^n中的類比，因為3維的正八面體
總之，由正四面體、正六面體和正八面體都可以給出可稱為正多胞體的一個無窮序列。
除此而外，正十二面體和正二十面體會不會各自也導出多胞體的無窮序列，并可以把它們稱為正多胞體這一點并不顯而易見，而結果是它們不會。事實上，除了在4維情況下還可以再找到三個例子以外，再也沒有其他可以稱為正多胞體的例子了。而這三個無窮序列，再加上這三個例子就構成了正多胞體的完全的清單，這三個例子很值得注意，其中一個具有120個“3維面”，各是一個正十二面體，它有一個“對偶”，以600個正四面體為其3維“面”。第三個例子則可用坐标來介紹∶
以上就是所有的正多胞體，這一個類比上面簡述的3維情況下的結果要難證明得多。這個完全的清單是由施勒夫利在19世紀中葉得出的；考克斯特在1969年證明了，再沒有其他例外了。
是以，在3維和更高維情況下，正多胞體分成三個序列（就是n維的正四面體序列、正六面體序列、正八面體序列），再加上五個“例外的”例子，即3維的正十二面體和正二十面體，還有剛才描述的三個4維多胞體的例子。在許多分類定理中，這個情況是一個典型。這些例外的例子時常稱為“散在”的例子，時常有非常高的對稱性——使我們幾乎不敢期望這樣高的對稱性居然是可能的，如果可能也隻是偶然會有的好運氣。在不同的分類定理的結果中的這些序列和散在的例子時常互有緊密的聯系，這是那些看起來毫無關系的領域互相有深刻的聯系的一個信号。
有時，我們并不打算把所有的某一類數學結構加以分類，而是從中識别出某些“基本的”結構，使得其他的結構全可以由它們簡單地構造出來。素數的集合就是一個好的類比∶所有的整數都可以由它們以積的方式構造出來。又如，所有的有限群都是一些稱為“單群”的基本的群的“乘積”。有限單群的分類是20世紀數學最著名的定理之一。
等價性，不等價性，以及不變式
在數學中有許多這樣的情況，兩個對象嚴格地說是不相同的，但是我們對它們的差異并不關心。在這樣的情況下，我們認為這兩個對象"本質上相同"或"等價"。 這種等價是用等價關系來形式地表示的。
例如，如果兩個圖形中，有一個圖形可以連續地變為另一個，拓撲學家就認為這兩個圖形本質上是一樣的。一個球面在這個意義下與一個立方體（表面）是一樣的；我們也能看到，輪胎表面，即環面，和一個茶杯的表面本質上是一樣的。直覺地說，非常明顯，球面和環面本質上是不一樣的，但是這一點證明起來就難多了。
為什麼不等價比等價要難證明呢？答案在于，要證明兩個對象等價，隻要找到一個變換就可以證明等價性，而要證明兩個對象不等價，就要考慮一切可能的變換。例如，要證明球面和環面不一樣，我們怎麼能夠排除會有一個極為複雜的無法看見的連續變換，可以把一個球面變成一個環面呢？
下面是證明的要點。球面和環面都是緊的可定向曲面的例子，這句話粗略的意思就是，它們都是2維的圖形，占據空間的一個有限的部分，而且沒有邊緣。給定了這樣一個曲面，就可以找到一個由三角形拼接起來而且拓撲上與這個曲面相同的等價的曲面。歐拉有一個著名的定理，指出∶
令P為一個拓撲上與球面相同的多面體，并設它有V個頂點、E條棱（邊）以及F個面，則V-E＋F=2。
例如，設P為一個二十面體，則它有12個頂點、30條棱以及20個面，這時12-30＋20=2。
對于這個定理，三角形是平坦的這一點并不重要∶我們可以把這些三角形畫在原來的球面上，當然這樣一來這些三角形都成了球面三角形。但是這樣畫了以後數它的頂點、棱和面還是一樣容易，定理也仍然成立。畫在球面上的這個三角形網格稱為球面的三角剖分。
歐拉定理指出，不管對球面作什麼樣的三角剖分，總有V-E+F=2。此外，如果我們作了三角剖分的曲面并非球面，而是一個拓撲上與球面等價的另一個曲面，這個公式也是對的，因為三角剖分可以連續形變而V，E，F不會改變。
更一般地說，我們可以對任意曲面作三角剖分，然後估算V-E＋F，結果稱為這個曲面的歐拉示性數。為使這個定義有意義，需要下面的事實，它是歐拉定理的推廣，
- 雖然曲面可以用多種方法作三角剖分，量V-E＋F對所有的三角剖分都一樣。
如果對曲面作連續變形，同時也對三角剖分作連續變形，就可以得出新曲面和老曲面的歐拉示性數一樣。換句話說，事實（1）有下面有趣的推論∶
- 如果兩個曲面互為連續形變，則它們有相同的歐拉示性數。
這一點給出了證明曲面不等價的潛在可能的方法∶如果它們有不同的歐拉示性數，它們就不會互為連續形變。環面的歐拉示性數為0（可以任作一個三角剖分，然後就能算出它的V-E＋F），因為這個結果與球面的歐拉示性數為2不一樣，是以就知道球面和環面不會等價。
歐拉示性數是所謂不變式的一個例子。不變式就是一個函數 ，其域是我們所研究的那一類全部對象的集合，而且具有如下的性質∶如果兩個對象 X 和 Y 等價，則
為了證明 X 和Y不等價，隻需找到一個不變式使得
有時是一個數（歐拉示性數就是這樣），但它們時常也可以是更複雜的數學結構，例如多項式或群。
一個極端的例子是，對于一切對象 X 都恒等于零的Φ ，它當然也是一個不變式。然而，有時證明對象不等價是如此困難，以至于不變式盡管隻能部分情況有用，也認為不變式是有用而且有趣的。
對于一個不變式Φ，我們時常尋求它的兩種主要性質，而這兩種性質又時常是向兩個相反方向起作用的。其一是要它盡可能的細，意思是，隻要X和Y不等價，
其二是要能夠實際地确定何時Φ（X）和Φ（Y）不同。一個不變式哪怕是很細，如果無法算出來，那就沒有大用處。
一個極端的例子是"平凡的”不變式，即映一個對象入自己的等價類這樣的不變式。它确實細到了極點。如果X和Y不等價，它們當然不在同一個等價類中，是以Φ（X）自然和 Φ（Y）不同，但是除非有獨立的方法确定這個不變式，即找出這個對象的等價類，那麼它對于原來提出的證明兩個對象不等價這個問題，并不是一個進展。
是以，最強有力的不變式大概會是那些既能夠計算出來，又不太容易計算出來的不變式。
在緊的可定向曲面的情況下，我們是運氣很好的∶歐拉示性數不僅是容易計算的不變式，又确實能把所有的緊的可定向曲面作完全的分類。說準确一點，一個數k 是歐拉示性數，當且僅當存在一個非負整數g使得k=2-2g（是以可能的歐拉示性數隻能是2，0，-2，-4，…，（相應于g=0，1，2，…）。具有相同歐拉示性數的緊的可定向曲面必是等價的，而數g就完全地确定了這個曲面。它稱為曲面的虧格（genus），而可以幾何地解釋為曲面所具有的“洞”的個數（是以球面的虧格為0，環面的虧格為1）。