一、問題描述
給定兩個字元串，求解這兩個字元串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字元串1：BDCABA；字元串2：ABCBDAB。則這兩個字元串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA
二、算法求解
這是一個動态規劃的題目。對于可用動态規劃求解的問題，一般有兩個特征：①最優子結構；②重疊子問題
①最優子結構
設X=(x1,x2,...,xn)和Y=(y1,y2,...,ym)是兩個序列，将X和Y的最長公共子序列記為LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為，我們需要找到X和Y中最長的那個公共子序列。而要找X和Y的LCS，首先考慮X的最後一個元素和Y的最後一個元素。
⑴如果xn=ym，即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同，這說明該元素一定位于公共子序列中。是以，現在隻需要找：LCS(Xn-1,Ym-1)
LCS(Xn-1,Ym-1)就是原問題的一個子問題。為什麼叫子問題？因為它的規模比原問題小。
為什麼是最優的子問題？因為我們要找的是Xn-1和Ym-1的最長公共子序列啊。最長的！換句話說就是最優的那個。
⑵如果xn!=ym，這下要麻煩一點，因為它産生了兩個子問題：LCS(Xn-1,Ym)和LCS(Xn,Ym-1)
因為序列X和序列Y的最後一個元素不相等，那說明最後一個元素不可能是最長公共子序列中的元素。
LCS(Xn-1,Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,...xn-1)和(y1,y2,...,ym)中找。
LCS(Xn,Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,...xn)和(y1,y2,...,ym-1)中找。
求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是LCS(X,Y)。用數學表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}
由于條件⑴和⑵考慮到了所有可能的情況。是以，我們成功的把原問題轉化成了三個規模更小的問題。
②重疊子問題
重疊子問題是什麼？就是說原問題轉化成子問題後，子問題中有相同的問題。
原問題是：LCS(X,Y)。子問題有❶LCS(Xn-1,Ym-1)❷ LCS(Xn-1,Ym)❸ LCS(Xn,Ym-1)
乍一看，這三個問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，因為它們隻重疊了一大部分。舉例：
第二個子問題：LCS(Xn-1,Ym)就包含了問題❶LCS(Xn-1,Ym-1)，為什麼？
因為，當Xn-1和Ym的最後一個元素不相同時，我們又需要将LCS(Xn-1,Ym-1)進行分解：分解成：LCS(Xn-1,Ym-1)和LCS(Xn-2,Ym)
也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。
由于像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，是以：用遞歸來求解就太不劃算了。國為采用遞歸，它重複地求解了子問題，而且需要注意的是，所有子問題加起來的個數是指數級的。
那麼問題來了，如果用遞歸求解，有指數級個子問題，故時間複雜度是指數級的。這指數級個子問題，難道用了動态規劃，就變成多項式時間了？？
關鍵是采用動态規劃時，并不需要去一一計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動态規劃之後，有些子問題是通過“查表”直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。舉個例子：比如求Fib數列。
求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4)和fib(3)，求解fib(4)和fib(3)時，又分解了一系列的小問題...
從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4)和fib(3)下，是有很多重疊的！比如，對于fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞歸來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP（Dynamic Programming）動态規劃，則fib(2)隻會計算一次，其他兩次則是通過“查表”直接求得。而且，更關鍵的是：查找求得該問題的解之後，就不需要再繼續去分解該問題了。而對于遞歸，是不斷地将問題解，直到分解為基準問題（fib(0)或者fib(1)）
說了這麼多，還是寫下最長公共子序列的遞歸式才完整。
C[i,j]表示：(x1,x2,...,xi)和(y1,y2,...,yj)的最長公共子序列的長度。公式的具體解釋可參考《算法導論》動态規劃章節
三、LCS Python代碼實作
#! /usr/bin/env python3
# -*- coding:utf-8 -*-
# Author : mayi
# Blog : http://www.cnblogs.com/mayi0312/
# Date : 2019/5/16
# Name : test03
# Software : PyCharm
# Note : 用于實作求解兩個字元串的最長公共子序列
def longestCommonSequence(str_one, str_two, case_sensitive=True):
"""
str_one 和 str_two 的最長公共子序列
:param str_one: 字元串1
:param str_two: 字元串2（正确結果）
:param case_sensitive: 比較時是否區分大小寫，預設區分大小寫
:return: 最長公共子序列的長度
"""
len_str1 = len(str_one)
len_str2 = len(str_two)
# 定義一個清單來儲存最長公共子序列的長度，并初始化
record = [[0 for i in range(len_str2 + 1)] for j in range(len_str1 + 1)]
for i in range(len_str1):
for j in range(len_str2):
if str_one[i] == str_two[j]:
record[i + 1][j + 1] = record[i][j] + 1
elif record[i + 1][j] > record[i][j + 1]:
record[i + 1][j + 1] = record[i + 1][j]
else:
record[i + 1][j + 1] = record[i][j + 1]
return record[-1][-1]
if __name__ == '__main__':
# 字元串1
s1 = "BDCABA"
# 字元串2
s2 = "ABCBDAB"
# 計算最長公共子序列的長度
res = longestCommonSequence(s1, s2)
# 列印結果
print(res) # 4 複制