女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
本文探索新的數學靈感繪畫系列的起源。基于笛卡爾坐标系上的點集之間的映射，并将多個元素組合在一幅畫中，就可以建立具有花邊般品質的手繪圖案和鑲嵌。這項工作在網絡圖等技術制圖技術和花邊制作等手工傳統之間建立了聯系。
這種新型繪畫的發展過程始于笛卡爾坐标系的二維平面的軸。我在限定象限I的兩個軸上繪制了前幾組點。然後，我繼續使用雙射映射将x軸上的一個點映射到y軸上的一個點，繪制一條線段來連接配接這些點。“如果存在雙射函數，那麼我們說A和B是一一對應的[1]”。
在所示的示例(圖1)中，我選擇在每個軸上使用編号為1-8的8個點。然後，我将點n從x軸映射到y軸上的點9 。(1，0)連接配接到(0，8)、(2，0)到(0，7)、(3.0)到(0，6)等。在4個象限中繼續類似的雙射映射過程，這産生了圖2中的圖形。這些初始圖案讓人想起20世紀70年代流行的連線藝術，它隻使用直線來産生曲線。
圖1:象限I中的雙射映射
圖2:4個象限中的映射
通過複制和旋轉x和y軸45度，并在這兩個新的軸上重複設計，就會創造出空間的幻覺，将一個三維圖像投影到一個二維平面上(圖3)。這個八角星成了建構塊。把它們放入一個網格結構中，以便它們平鋪或鑲嵌平面(圖4)。
圖3：4個軸上的映射
圖4：八角星的鑲嵌
每個單獨的建構塊都具有8階旋轉對稱性。當建構塊被放置在圖4中的列中時，每一個後續的列都被垂直移動了半個單元，一個p4m組的桌面圖案就出現了。
然後，我通過将每個軸上的一個點與另一個軸上的多個點連接配接起來，開始探索非雙射映射的使用。在下一個例子中(圖5)，在每個軸上，離中心最遠的點被映射到兩個相鄰軸上的8個點中的每一個。我覺得這造成了一種錯覺，好像畫是從平面出來的。
圖5：非雙射映射
一旦我有了兩個不同的花邊圖案，我就可以開始在同一組軸上繪制這兩個圖案了(圖6)。
圖6：雙射和非雙射映射
圖7是一個完整的繪圖，“八邊形花邊”，圖層兩種映射模式。通過重疊八角形結構，圖紙成為一個平面填充瓷磚的基礎。不可能隻使用正八邊形來建立一個不重疊的平面填充鑲嵌圖案。如果我們把兩個八角形圖案重疊的區域看作獨立的鑲嵌塊，這張圖就變成了一個由四邊形、梯形和菱形組成的周期性瓷磚。菱形的頂點為45度和135度，而梯形的頂點為45度、135度、62.5度和117.5度。8個梯形和4個菱形的結構具有4重旋轉對稱。
圖7:“八角花邊”，鋼筆墨水
尺度實驗在我的藝術實踐中扮演着重要的角色。我開始在標明的坐标軸上改變測量尺度。在圖8中，“雙射笛卡爾花邊”，我在垂直軸上用于雙射映射的點比其他3個軸上的點相距要遠50%。
圖8:“雙射笛卡爾花邊”，鋼筆墨水
一旦開始強化手繪的複雜性，就越來越意識到這些模式反映了生物現象，如神經連接配接和微生物生長模式。正如我開發的所有新類型的繪畫一樣，我将繼續探索蕾絲繪畫，看看旅程将把我帶向何方。
參考文獻
1 Pinter, Charles C. (1971), A Book of Set Theory, 1014 ed., Dover Publications, 54
2 Susan Happersett, Cartesian Lace Drawings
青山不改，綠水長流，在下告退。