導數與積分總結

導數與積分總結

前言

其實這些東西大多數都可以在高中數學書中找到......

導函數

導數是什麼

導數是用于解決瞬時變化率的。

例如，給定一個實體直線運動的\(s-t\)圖，即函數\(f(t) = s\)，求某一時刻\(t\)的瞬時速度。

直接求是不可能的(這輩子都不可能的)，是以考慮用短時間的平均速度來代替瞬時速度。

即 \(v = Lim_{\Delta t\to 0} \frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t}\)。

真正把這個函數在坐标軸上畫出來可以發現，這個值趨近\(t\)點的斜率。

這個\(v\)即\(f(t)\)在\(t\)點的導數

導數的相關概念

導數\(f'(x)\)即函數\(f(x)\)在\(x\)點的變化速率。

導數\(f'(x)\)在圖形上趨近于函數\(f(x)\)在\(x\)點的斜率。

多次取導的結果\(f^{[n]}(x)\)稱為\(f(x)\)的\(n\)階導數。

令\(d = Lim_{\Delta t \to 0} \Delta t\)，那麼\(f'(x) = \frac{df(x)}{dx}\)。

移項後就變成了常用的積分求導形式：\(df(x) = f'(x) dx\)。

我們稱\(f(x)\)為\(f'(x)\)的原函數，\(f'(x)\)為\(f(x)\)在\(x\)點的導數。

常用導數公式

• \(C' = 0\)
• \((x^a)' = ax^{a-1}\)
• $sin'(x) = cos(x) $
• \(cos'(x) = -sin(x)\)
• \((a^x)' = a^x ln(a)\)
• \((e^x)' = e^x\)
• \(ln'(x) = \frac{1}{x}\)
• \(log_y'(x) = \frac{1}{x\ ln(y)}\)

導數的運算法則

• \([cf(x)]' = cf'(x)\)
• \([f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)\)
• \([f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)\)
• \([f(x)*g(x)\ ]' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)\)
• \([\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)}{g^2(x)}\)
• 令\(u = g(x)\ ,\ [f(g(x))]' = f'(u)*g'(x)\)

牛頓疊代法

這是多項式相關内容的推導根基。

求解一個函數\(f(x) = 0\) 的解\(x\)，咋解？

畫圖可以發現，先随便選擇一個解\(x_0\)，

我們将每次選擇點的斜率直線畫出，該直線與\(x\)軸的交點\(x\)一定比目前點更接近答案。

斜率直線是啥？導數！

是以\(slope = f'(x_0) = \frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}\)。

移項後就得到：

\[x = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}

\]

不斷疊代下去我們就可以找到一個比較精準的解了。

微積分

還是上面那個問題(微分)

一輛車的速度\(v\)随時間\(t\)滿足\(v(t) = F(t) = t^3\)，其中\(F(t)\)是一個函數。

如何求\(1\)秒之内，這輛車的移動距離？

顯然對應到數軸上就是\(F(x)\)與\(x\)軸和\(y\)軸圍成圖形的面積。

類似人教版高中實體必修一第二章的勻變速運動推導方法，我們來微分。

把一秒分為\([0,\frac{1}{n}]\)、\([\frac{1}{n},\frac{2}{n}]\)、....、\([\frac{n-1}{n},1]\)這樣的\(n\)段。

我們近似的設第\(i\)段的速度為這一段的起始點時的速度，即\(\Delta s_i = F(\frac{i-1}{n}) * \frac{1}{n}\)

那麼\(\Delta s_i = \frac{(i-1)^3}{n^4}\)。

然後在把\(s_i\)累加起來，\(S = \sum_{i=1}^n s_i = \frac{1}{n^4} \sum_{i=1}^n (i-1)^3\)

有公式\(\sum_{i=0}^{n-1} i^3 = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2\)，是以\(S = \frac{(n+1)^2}{4n^2} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^2\)。

顯然，\(Lim_{n \to 0}\)，是以\(S = \frac{1}{4}(1 + 0) = \frac{1}{4}\)，求出了答案。

上面這個過程就是微分。

還有嗎？(積分)

現在給出這輛車的\(s-t\)圖像(函數\(F(x)\))，這個圖像沒有任何規律可言。

現在希望知道，在\(1\)秒後，這輛車的移動距離是多少。

報告！我秒了這個問題，\(S = F(1) - F(0)\)！

顯然這個結果是正确的，因為這是\(s-t\)圖像嗎...... 我們來試着用微分思想解決。

還是把時間分為\(n\)段：\([0,\frac{1}{n}]\)、\([\frac{1}{n},\frac{2}{n}]\)、....、\([\frac{n-1}{n},1]\)。

那麼答案等于\(S = \sum_{i=1}^n \Delta s_i = \sum_{i=1}^n v(\frac{i-1}{n})\frac{1}{n}\)。

那麼\(v(\frac{i-1}{n})\)等于蛤？ 仔細回顧了一發導數知識，\(v(\frac{i-1}{n}) = F'(\frac{i-1}{n})\)。

是以說\(S = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n F'(\frac{i-1}{n})\)。當\(Lim_{n\to 0}\)時，\(S = \sum_{i\in[0,1]} F'(i)\)。

那個\(\sum\)太醜了，我們把它記為\(S = \int_{0}^1 F'(x)dx = F(1) - F(0)\)。這個過程就是積分。

微積分的相關概念

微分運算類似于求導，即将原函數的每部分進行求導。

積分運算為求導的逆運算，\(f(x)\)的積分結果為其原函數\(F(x)\)。

這個運算叫做不定積分，記為\(F(x) = \int f(x) dx\)。

在積分中，記\(f(r) - f(l) = |^r_l f(x)\)

定積分則是求解一個連續區間的\(f(x)\)和，記為\(F(x) = \int_{l}^r f(x)dx\)。

上面的積分的例子中，得到了積分中最重要的牛頓-萊布尼茲公式：

\[若F'(x) = f(x)\ \ ,\ \ 則\int_l^r f(x)dx = |^r_l F(x) = F(r) - F(l)

是以說如果要求解\(f(x)\)的定積分，

那麼隻需要找到它的原函數\(F(x)\)即可，而找原函數又可以用不定積分完成。

常用積分公式

• \(\int c\ dx= cx + C\)
• \(\int x^a\ dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C\)
• \(\int \frac{1}{x}\ dx = ln(|x|) + C\)
• \(\int e^x\ dx = e^x + C\)
• \(\int a^x\ dx = \frac{a^x}{ln(a)} + C\)
• \(\int cos(x)\ dx = sin(x) + C\)
• \(\int sin(x)\ dx = -cos(x) + C\)

積分運算法則

• \(\int f(cx)dx = \int \frac{1}{c}f(cx)dcx\)
• \(\int cf(x) = c\int f(x)\)
• \(\int [f(x)+g(x)] = \int f(x) + \int g(x)\)
• \(\int [f(x)-g(x)] = \int f(x) - \int g(x)\)

複合函數的積分：

複合函數由于沒有基本公式，是以無法進行直接積分。

一般來說，我們需要将複合函數化成基本函數，過程中注意積分對象\(dx\)的變化。

舉個例子：求\(\int cos^2(mx)dx\)

\(\int cos^2(mx)dx = \int cos^2(x) \frac{1}{m}dmx = \frac{1}{m}\int cos^2(mx)dmx\)

我們先通過提出系數，使積分對象與積分函數變量一緻。

\(\frac{1}{m}\int cos^2(mx)dmx = \frac{1}{m} \int \frac{cos(2mx) + 1}{2} dmx = \frac{1}{2m} \int cos(2mx) dmx + \frac{1}{2} x\)

現在積分那個部分是有基本公式的了,是以

\(\frac{1}{2m} \int cos(2mx) dmx = \frac{1}{4m} \int cos(2mx)\ d2mx = \frac{1}{4m} sin(2mx)\)。

是以綜上，原式\(= \frac{1}{4m} sin(2mx) + \frac{1}{2} x\)，然後就化完啦！