「YbtOJ」遞推算法

劃分數列

題目位址

Solution

考慮遞推。

設\(f_i\)表示\(a_1\sim a_i\)的最少劃分段數，\(p_i\)代表以\(i\)結尾單調不降的一段的起點，\(q_i\)則表示以\(i\)結尾單調不升的一段的起點，注意：起點代表這一段第一個數的前一個坐标。

我們可以得到以下轉移方程：

\[\large f_i=\min(f_{p_i}+1,f_{q_i}+1)

\]

也就是說對于\(a_1\sim a_i\)的分段數可以是由上一個單調不降（升）的數段加上目前這一段（指\(a_{p_i+1}\ or\ a_{q_i+1}\sim a_i\)這一段）。

• \(a_i\ge a_{i-1}\)，那麼\(p_i\)的起點與上一項相同，即\(p_i=p_{i-1}\)。
• \(a_i< a_{i-1}\)，那麼\(p_i\)的起點更新，\(p_i=i-1\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int f[N],p[N],q[N],a[N];
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	    scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		p[i]=q[i]=i-1;
		if(a[i]>=a[i-1])p[i]=p[i-1];
		if(a[i]<=a[i-1])q[i]=q[i-1];
		f[i]=min(f[p[i]]+1,f[q[i]]+1);
	}
	printf("%d",f[n]);
	return 0;
}