ACM數論-歐幾裡得與拓展歐幾裡得算法

歐幾裡德算法又稱輾轉相除法，用于計算兩個整數a,b的最大公約數。

基本算法：設a=qb+r，其中a，b，q，r都是整數，則gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

遞歸版算法：

1 int gcd(int a,int b)
2 {
3     if(b==0)
4         return a;
5     return 
6         gcd(b,a%b);
7 }      

遞歸優化版：

1 int gcd(int a,int b)
2  {
3      return b ? gcd(b,a%b) : a;
4  }      

疊代版：

1 int Gcd(int a, int b)
 2 {
 3     while(b != 0)
 4     {
 5     　　int r = b;
 6     　　b = a % b;
 7     　　a = r;
 8     }
 9     return a;
10 }      

擴充歐幾裡德算法

基本算法：對于不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

證明：設 a>b。

　　1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 時

　　設 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根據樸素的歐幾裡德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　則:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根據恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，是以遞歸可以結束。

1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {
 5         x=1;
 6         y=0;
 7         return a;
 8     }
 9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
10     int t=x;
11     x=y;
12     y=t-a/b*y;
13     return r;
14 }      

非遞歸版：

1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
 2 {
 3     int x1,y1,x0,y0;
 4     x0=1; y0=0;
 5     x1=0; y1=1;
 6     x=0; y=1;
 7     int r=m%n;
 8     int q=(m-r)/n;
 9     while(r)
10     {
11         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
12         x0=x1; y0=y1;
13         x1=x; y1=y;
14         m=n; n=r; r=m%n;
15         q=(m-r)/n;
16     }
17     return n;
18 }      

擴充歐幾裡德算法的應用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模線性方程（線性同餘方程）；

（3）求解模的逆元；

1 bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
2 {
3     int d=exgcd(a,b,x,y);
4     if(c%d)
5         return false;
6     int k=c/d;
7     x*=k; y*=k;    //求得的隻是其中一組解
8     return true;
9 }      

1 bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
 2 {
 3     int x,y,x0,i;
 4     int d=exgcd(a,n,x,y);
 5     if(b%d)
 6         return false;
 7     x0=x*(b/d)%n;   //特解
 8     for(i=1;i<d;i++)
 9         printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
10     return true;
11 }