勢流理論筆記：02 直接法與間接法

書接上回 《勢流理論筆記：01 勢流理論基礎》

直接法與間接法

直接法

顧名思義直接求解方程組。。。。

\[\begin{equation}

\begin{aligned}

c(P)\cdot \phi(P)&=-\frac{1}{4\pi}\iint _{S}\left[\phi(Q)\frac{\partial G(P,Q)}{\partial n(P)}-G(P,Q)\frac{\partial \phi(Q)}{\partial n(P)} \right]\text d S(Q)\\

c(P)&=

\begin{cases}

1,&P\in\tau\\

0.5\quad or \quad (0,1) ,&P\in S\\

0,&P\notin\tau+S

\end{cases}

\end{aligned}

\end{equation}

\]

式中：\(c(P)\)為固體角。

對于存在\(N\)個面元的物體

\[\begin{align}

c(P_i)\cdot \phi(P_i)&=-\frac{1}{4\pi}\sum _{j=1}^{N}\left[\phi(Q_j)\frac{\partial G(P_i,Q_j)}{\partial n(P_i)}-G(P_i,Q_j)\frac{\partial \phi(Q_j)}{\partial n(P_i)} \right]\text d S(Q_j) & i,j\in[1,N]

\end{align}

c(P_i)\cdot \phi(P_i)&=

-\frac{1}{4\pi}

\left(

\sum _{j=1}^{N}\left[\phi(Q_j)\frac{\partial G(P_i,Q_j)}{\partial n(P_i)}\right]\text d S(Q_j)-

\sum _{j=1}^{N}\left[G(P_i,Q_j)\frac{\partial \phi(Q_j)}{\partial n(P_i)} \right]\text d S(Q_j)

\right ) & i,j\in[1,N]

寫成矩陣形式

[\boldsymbol c]\cdot[\boldsymbol \phi]&=

-\frac{1}{4\pi}\left( [\boldsymbol H]\cdot [\boldsymbol \phi]-

[\boldsymbol M]\cdot [\boldsymbol {\frac{\partial \phi}{\partial n}]}

\right)\\

\left(4\pi[\boldsymbol c]+[\boldsymbol H]\right)\cdot[\boldsymbol \phi]&=

式中：

[\boldsymbol c]=

\begin{bmatrix}

c(P_1)&0&\cdots&0\\

0&c(P_2)&\cdots&0\\

\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\

0&0&\cdots&c(P_n)

\end{bmatrix}

,

[\boldsymbol \phi]=

\phi(P_1)\\\phi(P_2)\\\vdots\\\phi(P_n)\\

\left[\boldsymbol {\frac{\partial \phi}{\partial n}}\right]=

\frac{\partial\phi(P_1)}{\partial n(P_1)}\\

\frac{\partial\phi(P_2)}{\partial n(P_2)}\\\vdots\\

\frac{\partial\phi(P_n)}{\partial n(P_n)}\\

\[[\boldsymbol H]=\begin{bmatrix}

\frac{\partial G(P_1,P_1)}{\partial n(P_1)}&\frac{\partial G(P_1,P_2)}{\partial n(P_1)}&\cdots&\frac{\partial G(P_1,P_n)}{\partial n(P_1)}\\

\frac{\partial G(P_2,P_1)}{\partial n(P_2)}&\frac{\partial G(P_2,P_2)}{\partial n(P_2)}&\cdots&\frac{\partial G(P_2,P_n)}{\partial n(P_2)}\\

\vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\

\frac{\partial G(P_n,P_1)}{\partial n(P_n)}&\frac{\partial G(P_n,P_2)}{\partial n(P_n)}&\cdots&\frac{\partial G(P_n,P_n)}{\partial n(P_n)}\\

[\boldsymbol M]=\begin{bmatrix}

G(P_1,P_1)& G(P_1,P_2)&\cdots&G(P_1,P_n)\\

G(P_2,P_1)& G(P_2,P_2)&\cdots&G(P_2,P_n)\\

G(P_n,P_1)& G(P_n,P_2)&\cdots&G(P_n,P_n)\\

可以發現，系數矩陣\(H,M\)獨立于實體量，隻與網格劃分相關，可以利用\(Hess-Smith\)或者其他積分方法計算系數矩陣\([\boldsymbol H]\)與\([\boldsymbol M]\)，Hess-Smith方法式一種簡單且有效的計算系數矩陣的方法，下一節介紹。

間接法

單層勢與雙層勢

單層勢和雙層勢可以被分别稱為源分布和偶分布。現考慮一外部流動問題。有一物體處于流場中，物面記為\(S\)，外部流域記為\(\tau_e\)，物面機關内法向\(\boldsymbol n_i\)（指向流域内），外法向為\(\boldsymbol n_e\)，流場中速度勢為\(\phi_e\)，有格林第三公式可以寫作

\iint _{S}\left[\phi_e\frac{\partial G}{\partial n_e}-G\frac{\partial \phi_e}{\partial n_e} \right]\text d S=

-4\pi \phi_e(x,y,z),&P \in \tau_e \\

-2\pi \phi_e(x,y,z),&P \in S \\

\qquad0,&P\notin \tau_e+S

在物體内部虛構出一個流場，記為\(\tau_i\)，邊界面上的機關法向量為\(n_i\)，物體内部虛拟流場可以記作\(\phi_i\)，

\iint _{S}\left[\phi_i\frac{\partial G}{\partial n_i}-G\frac{\partial \phi_i}{\partial n_i} \right]\text d S=

-4\pi \phi_i(x,y,z),&P \in \tau_i \\

-2\pi \phi_i(x,y,z),&P \in S \\

\qquad0,&P\notin \tau_i+S

将兩者積分區域統一，可以寫作

\iint _{S}\left[\phi_i\frac{\partial G}{\partial n_e}-G\frac{\partial \phi_i}{\partial n_e} \right]\text d S=

\qquad 0,&P \in \tau_e \\

2\pi \phi_i(x,y,z),&P \in S \\

4\pi \phi_i(x,y,z),&P\notin \tau_e+S

(29)-(27)得到

\iint _{S}\left[\left(\phi_i-\phi_e\right)\frac{\partial G}{\partial n_e}-G \left(\frac{\partial \phi_i}{\partial n_e}-\frac{\partial \phi_e}{\partial n_e}\right )\right]\text d S=

4\pi \phi_e,&P \in \tau_e \\

2\pi (\phi_i+\phi_e),&P \in S \\

4\pi \phi_i,&P\notin \tau_e+S

這種方法在數學上稱作”開拓“，内域的\(\tau_i\)是虛構的，自然帶有某種任意性。

單層勢

若令在\(S\)上有\(\phi_i=\phi_e\)，并記\(\frac{\partial \phi_e}{\partial n_e}-\frac{\partial \phi_i}{\partial n_e}=\sigma(Q)\)，則上式變為

\frac{1}{4\pi}\iint _{S}\sigma(Q)G(P,Q)\text d S=

\phi_e,&P \in \tau_e \\

\phi_S,&P \in S \\

\phi_i,&P\notin \tau_e+S

上式左端為參數\(P\)的積分，它相當于在邊界面\(S\)上密度為\(\sigma(Q)\)源分布在場内某點\(P\)引起的速度勢，稱為單層勢。這樣的勢函數在邊界\(S\)上連續的，但是法相導數不連續。正式由于其法向導數的階躍構成了源的強度分布函數密度\(\sigma(Q)\)。是以，若在表面\(S\)上分布源點，内外域的勢函數都已經确定，邊界上的勢函數就是勢本身，以上式子可以進一步化簡為

\phi(P)=\frac{1}{4\pi}\iint _{S}\sigma(Q)G(P,Q)\text d S

雙層勢

若在邊界面上假設，\(\frac{\partial \phi_e}{\partial n_e}=\frac{\partial \phi_i}{\partial n_e}\)，且記\(m=\phi_i-\phi_e\)。

邊界積分方程

物面\(S\)上可以分源或偶，可以确定整個流場的速度勢。

Dirichlet邊界條件

若給出物面邊界上的勢函數，則可以利用雙層勢來求解

Neumann邊界條件

給出邊界上勢函數的法向導數值\(\frac{\partial \phi_e}{\partial n_e}\)，通常使用單層勢來求解，在\(P\in\tau_e\)時有

\phi_e(P)=\frac{1}{4\pi}\iint _{S}\sigma(Q)G(P,Q)\text d S

對法向\(\boldsymbol n_e\)求導，得到

\frac{\partial\phi_e(P)}{\partial n_e(P)}&=

\frac{1}{4\pi}\iint _{S}\sigma(Q)\frac{\partial{G(P,Q)}}{\partial n_e(P)}\text d S\\

\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\phi_i(P)}{\partial n_e(P)}+\frac{\partial\phi_e(P)}{\partial n_e(P)} \right)&=\frac{1}{4\pi}\iint _{S}\sigma(Q)\frac{\partial{G(P,Q)}}{\partial n_e(P)}\text d S\\

\frac{1}{2}\left(-\sigma(P)+2 \frac{\partial\phi_e(P)}{\partial n_e(P)}\right)&=

\frac{1}{2}\sigma(P)+\frac{1}{4\pi}\iint _{S}\sigma(Q)\frac{\partial{G(P,Q)}}{\partial n_e(P)}\text d S=

\frac{\partial\phi_e(P)}{\partial n_e(P)}