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本文内容
- 分位數
- 中位數
- 四分位數
- 百分位數
- 參考資料
- 示範
分位數（Quantile），也稱分位點，是指将一個随機變量的機率分布範圍分為幾個等份的數值點，分析其資料變量的趨勢。常用的有中位數、四分位數、百分位數等。
中位數（Medians）是一個統計學的專有名詞，代表一個樣本、種群或機率分布中的一個數值，可以将數值集合劃分為相等的兩部分，即，若設連續随機變量 X 的分布函數為 F(X)，那麼滿足條件 F(X)=1/2 ，稱為 X 或分布 F 的中位數。中位數是用來衡量集中趨勢的方法。對于一個有限的、有序的數集，位于中間位置的那個數值就是中位數，用 Me 表示。
中位數可以擴充到四分位數，即中位數再取中位數，變成四分位數。
若設連續随機變量 X 的分布函數為 F(X)，那麼滿足條件 F(X)=1/4 ，稱為 X 或分布 F 的四分位數。四分位數通常用箱形圖（Box Plots）表示。箱形圖能顯示出一組資料的最大值（Maximum）、最小值（Minimum）、中位數（Q2）、下四分位數（Q1）及上四分位數（Q3）。
四分位描述為，将 n 個數從小到大排列 xn=(x1,x2,x3,…,xn)，那麼 Q1，Q2，Q3 的位置 L：
當計算的位置為小數時，即 n 為奇數，其四分位數将在後面示例中介紹。
箱形圖
箱形圖是于 1977年由美國著名統計學家約翰·圖基（John Tukey）發明，如下所示：
圖 1 箱形圖
這組資料顯示出：
- 最小值（Minimum）為 5
- 下四分位數（Q1）為 7
- 中位數（Q2，Median）為 8.5
- 上四分位數（Q3）為 9
- 最大值（Maximum）為 10
- 平均值為 8
- 四分位間距（Inter-quartile range，IQR）為 Q3-Q1=2，即 ΔQ，在區間 Q1-1.5ΔQ，Q3+1.5ΔQ 之外的值被視為應忽略（farout）。
- farout：在圖上不予顯示，僅标注一個符号。
- 最大值區間： Q3+1.5ΔQ
- 最小值區間： Q1-1.5ΔQ
- 最大值與最小值産生于這個區間。區間外的值被視為 outlier 顯示在圖上。
- mild outlier 為 3.5
- extreme outlier 為 0.5
圖 2 正态分布 N(0,1σ2) 的箱形圖和機率密度函數
不論 Q1，Q2，Q3 的變異量數數值為何，均視為一個分界點，以此将總數分成四個相等部分，可以通過 Q1 和 Q3 比較，分析其資料變量的趨勢。
示例 1
某工廠中的房間某月份的勞工生産某産品的數量分别為 x=(13, 13.5, 13.8, 13.9, 14, 14.6, 14.8, 15, 15.2, 15.4, 15.7) 公斤，則三個四分位數的位置分别為：
即數組第3、第6、第9個勞工的某種産品産量分别為下四分位數、中位數和上四分位數為：
Q1 = 13.8 公斤、Q2 = 14.6 公斤、Q3 = 15.2 公斤
示例 2
某工廠中的房間某月份的勞工生産某産品的數量分别為 x=(13, 13.5, 13.8, 13.9, 14, 14.6, 14.8, 15, 15.2, 15.4) 公斤，則三個四分位數的位置分别為：
即數組中的第 2.75 項、第 5.5 項、第 8.25 項分别為下四分位數、中位數和上四分位數。即：
Q1=0.25×第2項+0.75×第3項=0.25×13.5+0.75×13.8=13.73 (公斤)
Q2=0.5×第5項+0.5×第6項=0.5×14+0.5×14.6=14.3 (公斤)
Q3=0.75×第8項+0.25×第9項=0.75×15+0.25×15.2=15.05 (公斤)
若（n+1）為 4 的倍數，則确定四分數很簡單；否則，若不是 4 的倍數，即小數，則四分位數是該小數的最大整數和最小整數位置上的值的平均數。
另外，權重的大小取決于兩個整數位置距離的遠近，距離越近，權數越大，距離越遠，權數越小，權數之和等于 1。
示例 3
若有有序數組 x=(17, 19, 22, 24, 25, 28, 34)，則四分位數：
Q1 的位置= （n + 1) / 4 = （7 + 1) / 4 = 2
Q3 的位置= 3*（n + 1) / 4 = 3*（7 + 1) / 4 = 6
則 Q1 與 Q3 分别為 19 和 28；IQR 四分位差為 Q3 − Q1=28-19=9
說明 50% 的資料集中在 19～28 之間，最大差異為 9。
百分位數又稱百分位分數（percentile），是一種相對地位量數，它是次數分布（Frequency Distribution，頻數分布）中的一個點。把一個次數分布排序後，分為 100 個機關，百分位數就是次數分布中相對于某個特定百分點的原始分數，它表明在次數分布中特定個案百分比低于該分數。百分位數用P加下标 m（特定百分點）表示。譬如，若P30等于60，則其表明在該次數分布中有 30％ 的個案低于 60 分。
百分位數運用在教育統計學中，如表現測驗成績時，又稱 PR 值（Percentile ranks），用于描述一組資料某一百分位置的水準，多個百分位數結合應用，可全面描述一組觀察值的分布特征；百分位數還可用于确定非正态分布資料的醫學參考值範圍。但應用百分位數時，樣本含量要足夠大，否則不宜取太靠近兩端的百分位數。
計算公式為：
其中，
- Pm：第 m 百分位數；
- L：Pm所在組的組實下限；
- U：Pm所在組的組實上限；
- f：Pm所在組的次數；
- Fb：小于 L 的累積次數；
- Fa：大于 U 的累積次數。
某省某年公務員考試考生分數分布如下表所示，預定取考分居前 15％ 的考生進行面試，請劃定面試分數線。
| 分數分組 | 次數 | 向上累積次數 | 向下累積次數 | 向上累積相對次數 |
| 95～99 | 7 | 1640 | 100％ | |
| 90～94 | 16 | 1633 | 23 | 99.57％ |
| 85～89 | 53 | 1617 | 76 | 98.60％ |
| 80～84 | 78 | 1564 | 154 | 95.37％ |
| 75～79 | 90 | 1486 | 244 | 90.61％ |
| 70～74 | 119 | l396 | 363 | 85.12％ |
| 65～69 | 159 | 1277 | 522 | 77.87％ |
| 60～64 | 156 | 1118 | 678 | 68.17％ |
| 55～59 | 140 | 962 | 818 | 58.66％ |
| 50～54 | 145 | 822 | 963 | 50.12％ |
| 45～49 | 677 | 1103 | 41.28％ | |
| 40～44 | 135 | 537 | 1238 | 32.74％ |
| 35～39 | 130 | 402 | 1368 | 24.51％ |
| 30～34 | 126 | 272 | 1494 | 16.59％ |
| 25～29 | 146 | 1572 | 8.90％ | |
| 20～24 | 25 | 68 | 1597 | 4.15％ |
| 15～19 | 20 | 43 | 2.62％ | |
| 10～14 | 1.40％ | |||
| 5～9 | 0.43％ |
由于預定取考分居前 15％ 的考生進行面試，即有85％的考生分數低于劃定的分數線，由此可知，分數線在 70～74 這一組中。
- D3 box plot 示範
- Wiki 四分位數
- MBALib 四分位
- Wiki 百分位數
- baidu 四分位數
- Wiki 箱形圖
- Wiki 統計學
- MBALib 次數分布
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