摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程式說明OpenCascade中的邊界表示的具體實作，即拓樸與幾何的聯系。對具有幾何資訊的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文隻對拓樸邊資料進行說明，着重介紹了OpenCascade中兩個種特别的邊縫合邊（seam edge）和退化邊（degenerated edge）。 關鍵字Key Words：OpenCascade、BRep、Topology、Edge、Geometry
Topology and Geometry in OpenCascade-Edge
摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程式說明OpenCascade中的邊界表示的具體實作，即拓樸與幾何的聯系。對具有幾何資訊的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文隻對拓樸邊資料進行說明，着重介紹了OpenCascade中兩個種特别的邊縫合邊（seam edge）和退化邊（degenerated edge）。
關鍵字Key Words：OpenCascade、BRep、Topology、Edge、Geometry
一、引言 Introduction
邊（Edge）是兩個鄰面（對正則形體而言）或多個鄰面（對非正則形體而言）的交集。邊有方向，它由起始頂點和終止頂點來界定；邊的形狀由邊的幾何資訊來表示，可以是直線，也可以是曲線，曲線邊可用一系列控制點或型值點來描述，也可以用顯示、隐式或參數方程來描述。
邊（Edge）是邊界表示法中的重要結構，因為邊界表示法（BRep）是用形體的邊界來描述形體的一種方法。BRep認為形體是由有限數量的邊界表面（平面或曲面）構成，而每個表面又由若幹邊界邊與頂點構成，所有的單元面構成了形體的邊界，形體的邊界将形體和周圍的環境分隔開來。
邊界表示法不僅詳細記錄了構成形體的面、邊方程的系數和頂點坐标值的幾何資訊，而且描述了這些幾何元素之間的拓樸資訊，即體、面、邊、頂點的組成關系等。在保證對形體面的定義确定并且無二義性的前提下，它允許根據形體的拓樸結構、面表示的友善性等因素确定一個面是以一個整體表示，還是以幾個部分之和進行表示。
在OpenCascade中邊包含了一系列的曲線，其結構如下圖所示：
Figure 1.1 BRep_TEdge members
其中，包含一系列的曲線由下面幾種：
Figure 1.2 BRep_CurveRepresentation class diagram
二、邊 Edge
邊（edge）是對應于一維對象－曲線的拓樸實體。邊可以是面的邊界（如長方體的12條邊之一）；也可以隻是一條不屬于任何面的“懸空”邊（floating edge），想像一下在建構錐形體或掃掠體之前的輪廓線；面的邊可以被兩個或更多面共享，或者隻屬于一個面。如下圖所示：
Figure 2.1 Model used to illustrate Edge
在上圖中用不同的顔色将不同類型的邊差別開來：
l 紅色：不屬于任何面的懸空邊（floating edge）；
l 綠色：隻屬于一個面的自由邊（free edge）；
l 黃色：屬于兩個或多個面的共享邊（shared edge）；
邊Edge包含幾種幾何表示：
n 三維空間中的曲線C（t），由Geom_Curve實作。這是邊的基本表示方式；
n 曲線P（t）為二維空間的參數曲線，用來表示屬于面的邊，通常被稱為pcurves，由類Geom2d_Curve實作；
n 多段線（Polygonal）由一組三維點表示，且由類Poly_Polygon3D實作。
n 多段線（Polygonal）也可由一組三角剖分面上點的索引來表示，且由類Poly_PolygonOnTriangulation實作。
他們的表示都可以使用前面提到的類BRep_Tool來擷取。例如：
Standard_Real aFirst, aLast, aPFirst, aPLast;
Handle(Geom_Curve) aCurve3d = BRep_Tool::Curve (anEdge, aFirst, aLast);
Handle(Geom2d_Curve) aPCurve = BRep_Tool::CurveOnSurface (anEdge, aFace, aPFirst, aPLast); 邊必須有曲面上的參數曲線（pcurves），除了平面以外。邊中所有曲線必須一緻，即朝向相同。這樣邊上的點可以使用任意表示方式計算得到，如曲線C（t），可以用[first, last]區間上的t來計算；也可根據u在區間[first1, last1]上取得曲面S1（P1x(u), P1y(u)）上的點Pi，這裡Pi是曲面Si上的參數曲線pcurve上的一點。
1. 邊的标志位 Edge Flags
邊中的标志位有三種：
static const Standard_Integer ParameterMask = 1;
static const Standard_Integer RangeMask = 2;
static const Standard_Integer DegeneratedMask = 4; 這裡對前兩種标志位進行說明：
l RangeMask “same range”：（BRep_Tool::SameRange()）取值區間相同，即幾何表示的曲線參數取值區間相同；
l ParameterMask “same parameter”：（BRep_Tool::SameParameter()）參數相同，即當C（t）＝S1(P1x(t), P1y(t))時，對于同樣的參數t，C（t）和曲面S1上的點P1(t)相同。即任何邊上的點都對應參數曲線上相同的參數值。
許多算法假定設定了這兩個标志位，是以建議你注意這種情況，一定要設定這些标志位。
2. 邊的容差 Tolerance
邊的容差（Tolerance）是其三維曲線和其他任何表示方式之間的最大偏差。其幾何意義就是以容差為半徑沿邊的一個包含邊的三維曲線及其他任何形式表示的管子。如下圖所示：
Figure 2.2 Edge Tolerance
3. 特殊類型的邊 Special edge types
在OpenCascade有兩種特别類型的邊，他們是：
l 縫合邊（seam edge）：即在同一個面上出現兩次的邊（如：在同一個面上具有2個參數曲線）；
l 退化邊（degenerated edge）：這種邊位于曲面的奇異點處，在三維空間中退化為一個點；
球面中這兩種類型的邊都有。縫合邊位于經線（U iso-lines），參數為0和2*PI。退化邊位于南北極點，對應于緯線（V iso-lines），參數為－PI/2和PI/2。因為球面的參數方程為：
當參數u取0和2*PI時，球面的參數方程計算如下：
從計算結果可以看出，縫合邊是位于Dx和Dz所在平面上的半圓弧。
當參數v取－PI/2和PI/2時，球面的參數方程計算如下：
從計算結果可以看出，曲面上的兩個邊分别退化為兩個點。即v取-PI/2和PI/2時球面的兩個退化邊分别位于南北極點上。如下圖所示：
Figure 2.3 seam edge and degenerated edge of sphere
另外例子：環形體（torus）、圓柱體（cylinder）、圓錐體（cone）。環形體torus有兩條縫合邊（seam edge），對應于它的參數空間的邊界；圓柱體（cylinder）有一條縫合邊（seam edge）。圓錐（cone）頂點處為退化邊（degenerated edge）。
檢查邊是否是縫化邊或退化邊，可以使用函數BRep_Tool::IsClosed()和BRep_Tool::Degenerated()。
4. 邊的朝向
邊的朝向為正向（forward edge orientation）意味着邊的邏輯方向與曲線的方向相同。反向（reversed）意味着邏輯方向與曲線方向相反。是以，縫合邊（seam-edge）在一個面中總是有兩個朝向：一個反向(reversed)，一個正向（forward）。
三、示例程式 Example Code
以邊界表示BRep表示的球面為例，說明其邊的類型。程式代碼如下所示：
/*
* Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : [email protected]
* Date : 2013-08-24 16:11
* Version : 1.0v
*
* Description : Demonstrate seam edge and degenerated edge of sphere.
*
*/
#include <iostream>
// OpenCascade Library.
#define WNT
#include <TopoDS.hxx>
#include <TopoDS_Edge.hxx>
#include <TopExp_Explorer.hxx>
#include <BRepPrimAPI_MakeSphere.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
#pragma comment(lib, "TKBRep.lib")
#pragma comment(lib, "TKPrim.lib")
#pragma comment(lib, "TKTopAlgo.lib")
/**
* @breif Dump orientation types.
* Orientation definitaion:
* enum TopAbs_Orientation {
* TopAbs_FORWARD,
* TopAbs_REVERSED,
* TopAbs_INTERNAL,
* TopAbs_EXTERNAL
* };
*/
std::string dumpOrientation(const TopAbs_Orientation& orient)
{
std::string strType;
switch (orient)
{
case TopAbs_FORWARD:
strType = "TopAbs_FORWARD";
break;
case TopAbs_REVERSED:
strType = "TopAbs_REVERSED";
break;
case TopAbs_INTERNAL:
strType = "TopAbs_INTERNAL";
break;
case TopAbs_EXTERNAL:
strType = "TopAbs_EXTERNAL";
break;
}
return strType;
}
/**
* @breif Dump edge information.
*/
void processEdge(const TopoDS_Edge& edge, const TopoDS_Face& face)
{
Standard_Real dTolerance = BRep_Tool::Tolerance(edge);
Standard_Boolean bIsGeometric = BRep_Tool::IsGeometric(edge);
Standard_Boolean bIsSameParameter = BRep_Tool::SameParameter(edge);
Standard_Boolean bIsSameRange = BRep_Tool::SameRange(edge);
Standard_Boolean bIsDegenerated = BRep_Tool::Degenerated(edge);
Standard_Boolean bIsClosed = BRep_Tool::IsClosed(edge, face);
TopAbs_Orientation nOrientation = edge.Orientation();
// Dump edge info.
std::cout<<"====== Edge Info ======="<<std::endl;
std::cout<<"Tolerance: "<<dTolerance<<std::endl;
std::cout<<"Orientation: "<<dumpOrientation(nOrientation)<<std::endl;
std::cout<<"Geometric: "<<(bIsGeometric?"True":"False")<<std::endl;
std::cout<<"Same Parameter: "<<(bIsSameParameter?"True":"False")<<std::endl;
std::cout<<"Same Range: "<<(bIsSameRange? "True":"False")<<std::endl;
std::cout<<"Degenerated edge: "<<(bIsDegenerated?"True":"False")<<std::endl;
std::cout<<"Seam edge: "<<(bIsClosed? "True":"False")<<std::endl;
// Dump vertex of the edge.
for (TopExp_Explorer vertexItr(edge, TopAbs_VERTEX);
vertexItr.More();
vertexItr.Next())
{
const TopoDS_Vertex& aVertex = TopoDS::Vertex(vertexItr.Current());
gp_Pnt pnt = BRep_Tool::Pnt(aVertex);
std::cout<<"Vertex: ("<<pnt.X()<<", "<<pnt.Y()<<", "<<pnt.Z()<<")"<<std::endl;
}
}
int main(void)
{
Standard_Integer nSphereFaceCount = 0;
Standard_Integer nSphereEdgeCount = 0;
TopoDS_Shape sphere = BRepPrimAPI_MakeSphere(1.0);
for (TopExp_Explorer faceItr(sphere, TopAbs_FACE);
faceItr.More();
faceItr.Next())
{
const TopoDS_Face& aFace = TopoDS::Face(faceItr.Current());
++nSphereFaceCount;
for (TopExp_Explorer edgeItr(aFace, TopAbs_EDGE);
edgeItr.More();
edgeItr.Next())
{
const TopoDS_Edge& aEdge = TopoDS::Edge(edgeItr.Current());
processEdge(aEdge, aFace);
++nSphereEdgeCount;
}
}
std::cout<<"Sphere face count: "<<nSphereFaceCount<<std::endl;
std::cout<<"Sphere edge count: "<<nSphereEdgeCount<<std::endl;
return 0;
} 程式運作結果如下所示：
====== Edge Info =======
Tolerance: 1e-007
Orientation: TopAbs_REVERSED
Geometric: True
Same Parameter: True
Same Range: True
Degenerated edge: True
Seam edge: False
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, 1)
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, 1)
====== Edge Info =======
Tolerance: 1e-007
Orientation: TopAbs_FORWARD
Geometric: True
Same Parameter: True
Same Range: True
Degenerated edge: False
Seam edge: True
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, 1)
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, -1)
====== Edge Info =======
Tolerance: 1e-007
Orientation: TopAbs_FORWARD
Geometric: True
Same Parameter: True
Same Range: True
Degenerated edge: True
Seam edge: False
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, -1)
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, -1)
====== Edge Info =======
Tolerance: 1e-007
Orientation: TopAbs_REVERSED
Geometric: True
Same Parameter: True
Same Range: True
Degenerated edge: False
Seam edge: True
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, 1)
Vertex: (6.12323e-017, -1.49976e-032, -1)
Sphere face count: 1
Sphere edge count: 4
Press any key to continue . . . 從運作結果可以看，當球的邊為退化邊時，邊的兩個頂點的坐标值相同。退化邊位于球的南北極點上。縫合邊為連接配接兩個退化邊的曲線。
根據周遊順序，
第一條邊為退化邊（degenerated edge），其朝向為反向（reversed）；
第二條邊為縫合邊（seam-edge），其朝向為正向（forward）；
第三條邊為退化邊，其朝向為正向（forward）；
第四條邊為縫合邊，其朝向為反向（reversed）。
由上可見，縫合邊有兩個朝向，一個正向一個反向。
四、結論 Conclusion
對與幾何相關的拓樸邊（edge）的類的屬性資料進行詳細說明。并結合程式代碼詳細說明邊的标志位（myFlags）屬性的意義，從參數方程出發，了解縫合邊（seam-edge）和退化邊（degenerated edge），即标志位中DegeneratedMask的意義。
五、參考資料
1. Roman Lygin, OpenCascade notes, opencascade.blogspot.com
2. 孫家廣等. 計算機圖形學. 清華大學出版社