撰文 | 陸俊（中國科學院實體研究所）
來源 | 本文選自《實體》2020年第7期
01
引言
萬物皆數，自然界不同層次事物的演變生死及互相關聯，選用複數進行描述不僅簡潔而且自然。比如同時包含電阻R與電感L或電容C的交流電路中 (驅動角頻率設為ω)，電流波形與電壓波形之間的換算不用針對L或C進行複雜的微積分運算，隻需通過虛數機關 j (電工學中的習慣，以區分電流辨別，實際上跟數學中公知的虛數機關 i 等同)，就可以将 jωL 與 R 複合加減成複阻抗或将 jωC 與 1/R 複合加減成複導納，而阻抗與導納的計算，除了運算規則複數化，跟電阻與電導操作一樣，利用串并聯等規則分析計算沒有差異。為什麼虛數機關的引入如此神奇地将複雜電路問題化繁為簡？我們所享受的這種簡潔與便利是怎樣被發展(注1)出來的？如此美妙的純粹的數學跟現實實體世界的對應關系是怎樣建立的？如此神奇的刻畫世界了解世界的工具對于普通人的生活有沒有什麼啟示性的聯系？這些問題實際上也是筆者多年來在複數測量相關的職業工作與對生活不停地觀察和思考的對象。碰巧在2019年兒童節那天，給一位受人尊敬的儀器維修工程師70歲壽辰慶祝，會議上筆者對自己關于複數和複數測量學問做了口頭的總結交流。本文是文字版總結。以下各章分别對這些問題進行分析讨論。因為主要内容是筆者思考總結所原創的文字，本文跟複數教科書之間的關系希望是：看完此文想再學複數，學過複數欲回看此文。
02
什麼是複數？
圖1 從自然數到複數的逐漸延拓過程圖示
經過了零、負數和無理數的引入，人類對數的認識從自然數逐漸延拓發展到實數，基本完成了數軸上的點和對自然數進行有限或無限次加減乘除組合運算結果之間的完整且不重複的對應關系，然而，在求解二次或三次方程根等問題的道路上，随着負數的平方根并不對應某個實數這個新情況，一開始被人們當做不自然的東西直接抛棄不管，現在看來是實數存在開方運算不能自我封閉的缺陷，後來通過對-1平方根 (通常被記作 i) 為虛數機關的重新定義，将數的概念從基本實數拓展到一實一虛的數對構成的複數，終于完成了加減乘除乘方開方及其有限與無限混合運算結果的封閉定義。關于數的概念逐漸擴充，彙總如圖1所示，其中列出人類對數的概念認知具有裡程碑意義的幾個特殊數，包括 1、0、-1、π、e及剛提到的 i。對圓周率π很多人從國小就開始接觸，故耳熟能詳到小數點後 6 位以上無需再解釋。而自然底數e=2.71828…為什麼特殊，稍微提一下，這在于以它為底的指數函數y
圖2 複數構成的代數與幾何圖示
複數的加法與指數表達之間的等效換算關系如圖 3 所示，關于更多更全面的複數計算及複變函數介紹請參考專門的複數教科書[1]，在這裡需要指出的一點是，有些作者可能是圖省事，在實部虛部求幅角的時候簡單但錯誤地表達成 b/a 的反正切，這種簡單不僅錯在 a 的數值為0時非常尴尬，更在于反正切的函數範圍隻在第一與第四象限，當複數位于第二或第三象限時将不可避免地出現往第一第四象限折疊的問題。正确的做法是對實部、虛部的符号做分類處理，即需要雙參數輸入函數，在多種程式設計語言中已經有現成的函數子產品可供調用，比如腳本語言中一般支援 atan2 函數，它支援雙參數輸入并能輸出完整四象限角度，圖形語言比如 LabView中直接有實部虛部到幅度幅角的轉換函數。還有一點值得一提，雖然實部虛部與極坐标表示之間能夠互相換算，但嚴格來講二者并不完全等價。關鍵在原點處，實部虛部定義0+i0很自然，不過極坐标表示就沒有确定的相位角，盡管程式設計語言中通常将原點的相位角置零，運用的人要清楚這個細微但卻是本質的差異。不管怎樣，讀者看過本文以後如再碰到文章或教科書中直接将 b/a 的反正切作為複數的相位角，完全有理由直接懷疑其作者對複數的了解與認知水準。
圖 3 複數的兩種基本表示方法之間的等價換算
實數運算拓展到複數運算因為産生新的現象，不能完全受實數運算中的規則束縛，有些在實數中的常識，在複數運算處理時可能并不适用要引起注意，這裡舉例講複數乘方運算中的一條反常識之處：複數乘方運算稍不注意就會引起自相沖突的悖論，如圖4所示，據記載最初由放牛娃出身的克勞森 (ThomasClausen) 于1827年提出[2]。克勞森悖論實際上不是複數的問題，而是在複數乘方運算過程中，複底數的相位求取是多值化的，跟乘方運算的指數相乘的相位應當為相位主值加上2πk (k 為整數)。如圖5所示的兩個乘方運算結果舉
圖4 克勞森提出的複指數悖論問題[2]
圖5 虛指數的多值性示例
至此，複數的基本概念及運算規則已經介紹結束。然而，不得不承認，複數是怎樣被發展出來的，前面的介紹隻是過于簡單的版本，跟真實的人類認識與應用複數的曆史出入比較大，如果要我對于曆史這段不嚴謹的介紹給一個借口，那無非是為了節約讀者的寶貴時間，而且這個介紹絲毫不影響複數是什麼這一知識的擷取。如果隻重知識，不管真實，可以跳過本段去直接閱讀下一章。但凡是對真實有點興趣的讀者，建議耐心看完本段文字與彙總本段的圖6。筆者認為，知道真實的知識産生的過程，不僅僅能讓我們珍惜自己輕松就學到的知識，也讓我們意識到我們學到的知識并非人類知識的終點，進而讓自己的内心被薪火相傳，并獲得進一步去創新進而延伸人類知識的動力。如圖6所示，這是一個以千年的 時 間 尺 度 通 過 關 鍵 事 件 節 點 (what/when/who) 依次串聯來描述我們人類認識與應用複數的過程，事件涉及到的時間與人物的原始資料部分來源于Nahin博士的書與數學手冊[2,3]，為了讀者能更好地了解這個進展過程，筆者将這些事件分成幾類進行介紹：
圖6 以千年尺度彙總顯示人類認識與應用複數的曆史程序
(1) 奠基
複數的最初淵源從代數與幾何的方向分别可追溯到公元300年由丢番圖 (Diophantus) 整理編寫的《Arithmetica》(算術)，與公元888年由歐幾裡得 (Euclid)所著《Elements》(《原本》，後世譯為《幾何原本》)。
(2) 鋪墊
1545年卡爾達諾 (Cardano) 在《Ars Magna》(大衍術)中系統進行了負數及運算的論述，首次公開負數的平方根數的概念；1637年笛卡爾 (Descartes) 在《La Geometrie》(幾何學) 中公開了 a+ib 解析法處理複數；韋塞爾 (Wessel) 于1797年公開虛實軸組成複平面處理矢量的思想；柯西 (Cauchy) 在1814年公開複函數可微條件，拉開了複變函數的微積分學；洛朗 (Laurent) 于1843年公開了複變函數獨有的一套級數思想與零點和極點處理方法，引入留數 (洛朗級數的一次倒數項系數)；1807 年傅裡葉 (Fourier) 公開倍頻但幅度穩定的正弦餘弦分别作為虛部實部的級數來進行函數的分解；1785年拉普拉斯 (Laplace) 引入一套複指數變換方法，研究失穩過程有時非它不可。
(3) 點睛
前面提過的歐拉恒等式由歐拉 (Euler) 在1748年公開證明，沒有歐拉，這個恒等式也許會被引入，但不知道要遲多少年；一向謹慎低調的數學王子高斯 (Gauss) 在1813年終于公開确立複平面的曆史地位，複數的全面推廣從此正式開始；闵可夫斯基 (Minkowski) 于1907年公布通過虛數機關和光速跟時間相乘，三維空間複合，引入四維時空，證明了時空相對變化中的絕對不變；薛定谔 (Schr dinger) 在1926年提出聞名于世的電子波動力學方程，盡管原文 Phys. Rev., 28, 1049 (1926) 中沒有直白地寫出他去世後在墓碑上刻着帶虛數機關模樣的方程(如圖6中1926年事件塊中所列)，但在原文第9部分對含時波函數中出現虛數機關與相位±2πEt/h，足夠表達波函數在特定能量下的振蕩性質，并啟發後人了解量子力學的奧妙。
(4) 發揚
首先不得不提黎曼 (Riemann)，盡管40歲就英年早逝，但在他短暫的一生中，除了前面提到的黎曼猜想，他與柯西一樣都對複分析作出了重要貢獻，而且比柯西更加富有創造性地從微分幾何角度開展複分析，并首次往人類數理知識庫中引入非歐幾何，這對20世紀廣義相對論與弦論的誕生提供了良好的鋪墊。
狄拉克 (Dirac) 對量子力學波函數進行了相對論性改造，其中關鍵的一步是将哈密頓算符變成4×4的複矩陣，利用矩陣具有反對易性質調和了時間與空間平方反對稱與一階微分對等之間的沖突，讓經過改造後的波函數的第四分量非常好地對應解釋電子1/2自旋，并預言了正電子的存在，極大地推動了量子力學的發展。
外爾(Weyl)在統一電磁場與引力場，建構偉大的規範不變理論的過程中，至關重要的一步是，找到跟電荷守恒相對應的對稱性是複波函數的相位不變性，該相位不變規律在電磁學中可以推導出麥克斯韋方程組，是電磁互相作用理論的終極基石。
楊振甯 (C. N. Yang) 經過艱苦卓絕的群論推演，用2×2複矩陣找到質子與中子之間的同位旋對稱，後來蓋爾曼 (Murray Gell-Mann) 經過3×3的複矩陣運算進一步獲知微觀世界基本粒子的建構規則，進而準确解釋或預測出全部微觀基本粒子的種類及互相作用，楊先生與蓋爾曼引入被稱為标準模型的理論實作了除引力外所有已知基本力的偉大統一。順便一提，在2000年楊先生回顧20世紀實體學三大主旋律為：量子、對稱、相位因子。
(5) 遺憾
在複數的發展過程中，從二進制複數到多元複矩陣的過程中，代數學上還經曆過三元數、四元數、乃至八元數的嘗試，其中最著名的要數哈密頓 (Hamilton) 創立的四元數 (quaternion) ，遺憾的是，多元複數的代數運算簡潔程度與效果比不上2×2與4×4複矩陣，進而在20世紀實體學發展的大舞台上并沒有獲得哈密頓本人預期的實用，盡管在比較小的學科分支上也有獨到的應用，比如将四元數的模設成1時可以用于描述三維空間旋轉，空間導航時相比通常的歐拉角方法有更小的誤差與較高穩定性。當然，形式上将 lijk 換成2×2複矩陣組并不影響實質上的大同小異，從這個意義上講，形式上未被重視不應該掩蓋哈密頓的超複數思想與邏輯的偉大。
除此以外，19世紀中葉，複數的概念已經被數學主流認可并應用的時候，邏輯代數創始人布爾 (Boole) 卻堅持認為虛數機關是不可解釋的符号，現在看來讓人難以了解，不過二值比特邏輯有其自身的優勢及發展之路，虛數在數值邏輯中的确不必要，或許在未來某天模拟計算與數值計算平分秋色之時，複數在計算機架構中的重要性将不言而喻。
還有，麥克斯韋 (Maxwell) 在他1865年“A Dynamic-al Theory of theElectromagnetic Field”論文中，未見使用虛數，子方程數達20個之多， 後來多虧Oliver Heaviside與Willard Gibbs運用矢量分析進行大幅度改造才使得麥克斯韋方程組成型到容易了解的聞名于世的四個子方程形式，當然瑕不掩瑜，麥克斯韋的這篇論文在電磁規律綜合并牢固确立場的概念、引入位移電流、同時通過波速證明電磁波是光這幾個方面的貢獻是劃時代的。
(6) 插曲
我們知道，負數是虛數之源，虛數的引入必須以負數為前提，但不知因何原因，在古代中國引入并運用負數非常自然，而西方正式接受負數比中國晚約1700年，不過西方在接受負數後随即就開啟了虛數的研究，而中國人對虛數的發展未見任何實質性的貢獻，隻是由《數書九章》中秦九韶提出的二次、三次及高次方程求解算法，可見他是中國古人中距離虛數發現最近的人，而且更加難能可貴的是，《數書九章》是《幾何原本》與《大衍術》之間約600年間地球上數一的數學著作。
還有一則，在歐拉恒等式被引入之前，複數的計算通常需要高超的數學技巧，比如約翰·伯努利運用(x+i)(x-i)=1+x 2 的技巧找到了反正切與對數函數之間的内在聯系，并運用于虛數因子分解積分，被萊布尼茨 (Leibniz) 評價為非凡智能的一個優美神奇。
(7) 可期
跟其他人類知識體系一樣，複數發展至今不應是終點，未來有更重要的發展事件也是可期的。我們知道以複數波函數為主要特征的量子力學樣樣都好，屢次都被證明是正确的，至今也還沒有發現被實驗結果證否的事件，但就是推不出引力方程，讓人隐憂哪裡有些不對，實作大統一或證明大統一是不可能實作的幻想的突破性的事件，讓我們努力使它在我們有生之年發生。
03
如何測量複數？
盡管複數及其重要性廣為人知，但也不可否認，複數測量長期以來隻是一個小衆的主題，筆者曾經在南京大學一個網絡課程中聽主講老師竟随口說出一句複數還不能被測量，也許該老師的表述有筆者沒有留意到的小語境，但側面反映出了解複數測量的群體遠小于了解複數的群體這個事實。還有很多同行每天都在使用在信号或波函數層次實質上都是複數測量的儀器，比如頻譜儀、阻抗分析儀、介電分析儀、矢量網絡分析儀、交流磁化率儀、交流電壓表等等，但由于被測實體量或儀器名稱上不容易看出是在進行複數測量，導緻複數測量本身很少被人關注。
真實世界中的複數測量通常不是直接有一副如圖2一樣的抽象坐标軸平面讓人用尺去度量，而是隐藏在變化的波函數中，比如随時間變化的交流信号或随空間變化而起伏的波形，時域的頻率或空域的波數可以千差萬别，對應的複數測量實部虛部結果也許會一樣，但這兩個複數在實體世界能相提并論的前提條件必須是“在同一條船上”，這個話題将在下一章展開讨論。
與其他測量手段需要諸如光子、電子、中子等探針才能看到跟探針相當的結構資訊類似，複數測量波函數一般也使用複數“探針”，一個跟被測波函數步調一緻的參考波函數，如圖7所示參考信号被穩頻後的正弦信号所承載。為了同時獲得實部與虛部，參考信号通過相位穩定部件分成相位差成對鎖定成90°的在藍線中的餘弦信号與淺藍色的正弦信号，它們分别通過相敏檢波部件，實際上是二入一出的乘法部件，跟紅色辨別的需要測量信号分别相乘後輸出經過低通濾波獲得的被測信号跟參考信号頻點ω0一緻的實部與虛部，分别如綠色與淺綠色線所示，進而完成複數測量過程。在信号強度不夠的情況下，當然還可以選取輔助的前端或後置放大。由傅裡葉級數規則，同頻的正弦與餘弦信号正交 (正交意味着二者經過乘法和低通濾波部件後的輸出為零) ，于是實部和虛部測量結果之間在原理上保持互相獨
圖7 鎖相放大器測量原理示意圖[4]
由測量原理看出ω0頻點的穩定極為重要，在普通的振蕩源的頻率穩定性不夠的時候，需要增加鎖相環 (phase lock loop，PLL) 部件，其結構如圖8所示，在強制外部參考的模式下，受控振蕩源為了和外部頻點保持一緻，需要實時測量跟外部參考信号的相位差并進行自我調整，通過相位差的鎖定來維持測量頻點的穩定。因而這種複數測量方法與工具通常被稱之為鎖相技術與鎖相放大器 (lock in amplifiers)。
圖8 鎖相環結構圖示[4]
如此可見，用鎖相技術實作複數測量的關鍵在于交流變化次元的鎖相環跟蹤與實部虛部的正交相敏檢波測量，更多的專業介紹請參考文獻[4]。這裡對鎖相的含義，為讓外行人能更好了解這個複數測量的強大工具，做一點延伸解讀：鎖相，跟成語相夫教子中的作為動詞的“相”含義默契，夫婦之間的關系實際上是一個長期的相位和步調通過鎖定達到美滿的境界，如果失鎖就比較麻煩了。此外，鎖相環這種自動保持穩定步調但又具備一定的随外界環境而自我調節能力的神奇部件，何嘗不是一個原始态的機器心靈？
04
複數測量新方法
15年前，當我第一次因為弱磁電耦合測量需要開始接觸到鎖相放大器的時候，實驗室有一台老舊的手動設定紙筆記錄的EG&G PARC Model 124A from Princeton Applied Research，邊看波形邊掃頻并用紙筆boring的記錄鎖相測量結果的時候，不知怎麼就冒出一個idea，有波形資料 (當時國産數字存儲示波器已經問世，我恰巧就購買了現在早已停産屬于普源Rigol DS5062C這個國産骨灰級數字存儲示波器)，我可以在電腦裡完成鎖相啊，完全取代普林斯頓的EG&G 124A的功能，幹嘛要多此一舉費力還容易出錯地将精力白白耗在古董鎖相上？有想法的時候通常自動具備不停的幹勁，幾個月下來，經過dll的C調用驅動接口、自學虛拟儀器LabView圖形語言、vi實施鎖相算法、自動測量程式控制一路逐層通關，竟然将最初設想的功能實作了，而且鎖相性能與測量效率都有明顯提升 (性能與效率對比後來投稿發表在Meas. Sci. Technol. 上[5])，自此終于徹底廢棄了普林斯頓的EG&G 124A，我也從枯燥的手摁筆錄工作中解放出來。用國産幾千元人民币的低端示波器，加上自己編寫的虛拟儀器算法，完美取代從普林斯頓進口的幾千美元的鎖相，讓我領悟到示波器使用的 “ 看 ”、“ 測 ”、“變”、“ 馴 ”四重境界，并網絡公開分享[6,7]。對自己辛苦編寫的代碼也毫無保留地在網絡上公開[8]，公開代碼行為我認為是自信開放地将過去的成就放下，積極采取面向未來繼續創新的姿态。除此以外，這個經曆對于訓練我養成奮鬥者思維的幫助很大，後來的工作中在面臨資源不足的困難時，從不想着抱怨，隻一味主動激勵自己積極行動将困難當作提升能力的機遇。
圖9 頻率、幅度和相位之間一體性關系的圖示
上段介紹筆者進入複數測量研究所學生涯的起點，這個起步經曆隻是驗證鎖相可以被虛拟儀器化，并無原理創新，接下來進入正題，鳥瞰筆者這些年在複數測量原理創新方面取得的一點點進步上[9-11]。上一章談到，用鎖相進行複數測量的兩大關鍵，鎖相環頻率跟蹤與虛實部相敏檢波，而且傳統方法測量結果是跟參考信号頻率對應的複數，被測複數真實的交變頻率是作為隐變量，通常被當作跟參考頻率完全一緻。然而被測信号的頻率與參考信号的頻率總能完全一緻嗎？這個問題是筆者在想盡辦法改進鎖相時的關鍵切入點，答案顯然是否定的，讓兩路信号保持頻率一緻在一緻度要求不高 (比如0.1%) 時不難，但要達到 1ppm 量級的不一緻度時就很不容易，由圖8可知，鎖相隻在參考信号一側應用了鎖相環保證頻率穩定，而另一端，恰好是被測信号通常無法穩頻，此時由于媒體非線性、傳輸色散、多普勒效應等不可避免引入頻漂，頻漂的存在，造成相敏檢波的兩個輸入信号存在頻差，一定會導緻實部虛部測量結果的不準乃至錯誤，因為信号頻率與幅值及相位共同描述一個完整的信号，分别好比浮在水面上的船體與船帆的位置及方向，如圖9所示，以船體作參照物看船帆相對固定，而以岸作為參照物時則在波浪中更多看到的是船帆的飄搖，因而固定參考信号的鎖相工作像是現代版的刻舟求劍。
圖10 新型鎖相測量技術原理架構
圖11 鎖相頻率計與快速傅裡葉變換(FFT)的測頻精度比較
筆者解決這個問題的思路如圖10所示，實際上是取消被測信号的頻率與參考信号的頻率一緻的假定，通過鎖相的算法改進成頻率的泛函，同時解決被測信号的抗噪測頻與準确鎖相兩個問題，新方法的名稱叫測頻鎖相儀或鎖相頻率計。使用鎖相頻率計的測頻精度跟快速傅裡葉變換(FFT)的對比效果如圖11所示，我們知道傅裡葉變換的頻率精度受取樣視窗的制約，很難進一步提高，而鎖相頻率計新方法能夠在頻域進行超精細掃描，比如圖11中相比FFT的測頻精準度隻有約萬分之一，鎖相頻率計能精細到百萬分之一以内。當然，精度的提高在原理上有限度，一定的時間長度與采樣率條件下頻率測量不确定性存在統計學上的下限即Cramer-Rao下限[10,12]，經過數值仿真可知，新方法在不同信噪比條件下的測頻精度接近理論下限，如圖12所示。近期，筆者理論推導出單周期信号的鎖相頻譜在估計頻點附近的局部函數形式，證明了正确的函數形式優于經驗的抛物線，并基于此使用較少的計算
圖12 新型鎖相頻率計在不同信噪比條件下的測頻精度與理論極限 Cramer-Rao Lower Bound(CRLB)對照圖
圖13 新型鎖相頻率計對一個977 Hz實際信号的測量結果(監控持續約 80分鐘)
從讀研究所學生時開始接觸複數測量于起步時用虛拟儀器在國産低端示波器替代美國普林斯頓的古董鎖相，到如今定制晶片硬體中嵌入原理創新的鎖相儀器的核心名額超越瑞士蘇黎世儀器與美國斯坦福儀器的主流鎖相，筆者作為測頻鎖相奮鬥者的時光流逝了15年。
05
複數測量未來前景
圖14 極微觀結構與超宏觀事件探測都離不開複數測量(顯微探針與引力波探測示意圖均源自網絡)
随着中國智造的加速轉型，複數測量的普适度與深度在繼續，在人類看得見摸得着的範圍内，未來的智能感覺、準确定位與互聯、精密制造、與痕量物質探測中鎖相測量的應用前景讓人樂觀。在人類肉眼難以感覺到的超微觀與超宏觀世界，如圖14所示，亞原子與深太空探索更是無止境，無論浩瀚與微渺，不管刹那還是永恒：複數事件不息，複數測量不止。
圖15 量子比特的形象與幾何表示[13]
前面在讨論布爾于複數發展過程中的遺憾時，已經提到未來計算機應是模拟計算與數字計算平分秋色，各揮所長。模拟計算中最引人矚目的應是量子計算，在接近自然的搜尋與大數分解等問題上相比數字計算具有無與倫比的并行加速效率優勢。對比目前主流的二值數值比特，量子比特的本質是複數比特[13]，如圖15所示，以電子|0>與|1>雙态軌道舉例，雙态的混疊可能性在球面上，球面與複平面之間滿足互相等效的投影關系 (詳見附1) 。盡管量子計算機中必須使用大量的鎖相放大器用于制備量子态與監控量子态的相幹性，但複數比特的直接測量依然是個嚴峻的難題，短期内無法實作，因為量子複數比特中的相位是内在空間的相位，與宏觀的波函數中相位完全是兩回事，不能生搬硬套，正如狄拉克先生Principles of Quantum Mechanics一書的第一章從哲學高度畫出的big與small的界限，在small的世界裡，big世界裡的概念規則方法必定失效，除非技術的進步能将big與small之間的界限往下挪動一層，比如一定程度上解構量子比特的内在自由度并制備出相應的複數比特探針。從這個角度來看，量子計算機離實用還非常遙遠，但這一天終将到來的吸引力如此美好。
06
結尾啟示
從上文可以看出，在人類曆史上，複數到很晚才得以發展，甚至直到20世紀才被發現非常有用，目前我們正處在人類運用複數進一步加速提升生産力的時代，鎖相技術将會不可避免地被更深入的內建與更廣泛地應用。筆者有理由相信，随着電磁學、相對論與量子資訊在人類科技文明發展過程中的更全面滲透，掌握并運用複數的人們将能更從容地面對未來的變化與未知的挑戰。
複數的内涵對于我們能有什麼啟示？有一首複數之歌，英文原歌詞在本章後面(注2)，作者姓甚名誰可惜未被考證，歌詞跟《共和國戰歌》的調子非常合拍，而且非常準确道地明複數的魅力源于虛數機關，-1的平方根，歌詞中被反複詠唱的，the root of minus one，然而，虛數機關的魅力源于什麼？What's the root of the root of minus one? 作者通過自己對複數的了解與應用獲得的感悟是，i處在正負之間，是相反操作的一半，離開正卻未到負，不正不負，像是舉棋待定，像是不可捉摸。對于 i 這種獨立的自然屬性，讀者您一定也會若有所思，并會相信個人經曆與社會事件除了籠統絕對的黑白與對錯之外，在沒有完整了解情況前，還有不黑不白不對不錯的中庸取向可選，适當跳出自己所處的局部時間與位置，分析手頭掌握的可靠資訊，實事求是地對已有的一份根據形成對應的一份結論，不是嗎？
從複數測量的實質是整體相位準确測量的原理，我們可知局部孤立的事件難以測到複數的相位信 息，從不正不負不黑不白的 i 取向看足夠長時間或拉足夠遠的視角， 一定能更準确地掌握事件整體趨勢，并堅定地将自己的思想與行動 跟真實的長遠趨勢保持一緻。碰巧independent與imaginary一樣，都以虛數機關 i 開頭。正如送給讀者的下面四句話：
舉棋待定，半步自由；或正或負，遊刃有餘。
看似無限，實在之間；不左不右，中庸獨立。
最後，作者衷心希望您通過本文的閱讀，有所思、有所獲，更淡定、更快樂。
注 1：關于發明vs發現的用詞，數學專家也不一定能作出明确統一的辨析，因為其中涉及到深奧的可能脫離科學可證否性問題的讨論。很多人認同，複數作為解釋工具體系，是被發明的；但其中經過人類實踐反複證明過的普遍邏輯與理性，說是發現也沒有不妥。為了避免這個細節讓讀者群體取向性分離進而影響主體資訊的傳達，本文在相關地方使用“引入”或“發展”表達雙重含義的疊加效果。
注 2：The Complex Number Song(Author: unkown; Tune: Battle Hymn of the Republic)
Mine eyes have seen the glory of the Argand diagram,
They have seen the i's and thetas of De Moivre's mighty plan.
Now I can find the complex roots with consummate elan,
With the root of minus one.
Complex numbers are so easy;
In Cartesian co-ordinates the complex plane is fine,
But the grandeur of the polar form this beauty doth outshine.
You be raising i+40 to the power of 99,
You'll realise your understanding was just second rate,
When you see the power and magic of the complex conjugate.
Drawing vectors corresponding to the roots of minus eight,
參考文獻
[1] Zill D C，Shanahan P D. A first course in complex analysis with applications. Jones，2003
[2] Nahin P 著，朱惠霖 譯. 虛數的故事. 上海教育出版社，2008
[3]《數學手冊》編寫組. 數學手冊. 高等教育出版社，1979；方程解法原著：秦九韶. 數書九章. 南宋，約1247年
[4] 鎖相經典教科書：Meade M L. Lock-In Amplifiers：Principles and Applications. Peter Peregrinus，London，1983；筆者查到的第一篇鎖相放大器論文：Michels W C，Curtis N L. Rev. Sci. Instrum.， 1941，12：444；推薦閱讀線上講義 ：http：
//people.ee.duke.edu/~mbrooke/defense/Borte.ppt， https：//nationalmaglab. org/images/news_events/searchable_docs/ summerschool/2016/lockin_amplifier_kowitt.pdf
[5] Lu J et al. Meas. Sci. Technol.，2008，19：045702 [6] 陸俊. 由淺入深認識示波器. https：//bbs. instrument. com. cn/topic/1160340
[7] 陸俊. 現代儀器，2012，18：78
[8] 陸俊. 多功能磁電頻譜儀(含第二代鎖相算法的 labview 源檔案)，2008 年 2 月上 傳至儀器資訊網并公開：https：//www.
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[9] 陸俊 等. 一種抗噪音寬帶頻率測量方法及鎖相頻率計，中國發明專利 ：201110380805. X；一種寬頻阻抗測量系統及寬頻阻抗測量方法，中國發明專利：201210081375. 6；信号取樣平均儀和信号取樣平均方法，中國發明專利：201310535320. 2；一種級聯鎖相儀與級聯鎖相方法 ，中國發明專利 ：201410725833.4；一種時域信号的鎖相時頻測量方法及裝置，中國發明專利：201510004030.4；用于對鎖相放大器進行測試的測試儀及其測試方法，中國發明專利：201510182065. 7；頻率測量裝置和頻率測量方法，中國發明專利：201710707180. 0
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[11] Lu J. Theory and implementation of a precision lock-in frequency meter. Lecture presented at EDICON in April 2019
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[13] Nielsen M A，Chuang I L. Quantum computation and quantum information. Cambridge，2000
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