為啥二階導數f''可以寫成d²f/dx²的樣子？#科學##數學#關于這個問題，需要從頭說起：————對于任意實函數f(x

為啥二階導數f''可以寫成d²f/dx²的樣子？

#科學# #數學#

關于這個問題，需要從頭說起：

————

對于任意實函數f(x)，我們将實數（軸）記為ℝ，則x是ℝ中的變量，又設𝓧是ℝ中的一點，h 為 x 在𝓧點附近的 變化量，即，

x＝𝓧＋h

說 f(x)在𝓧點可微，是指 f(x) 在 𝓧 點 附近的變化量：

Δf𝔁(h)＝f(x)－f(𝓧)＝f(𝓧＋h)－ f(𝓧)

近似 一條過(𝓧, f(𝓧))點的直線：

l𝔁(h)＝K𝔁h

其中，K𝔁是直線l𝔁的斜率。

這裡的“近似”，更精确的意思是：

當 h→0 時，Δf𝔁(h)→l𝔁(h)，也就是 Δf𝔁(h)/l𝔁(h)→1

于是有（以下lim的下标均為h→0），

1＝lim Δf𝔁(h)/l𝔁(h)＝lim (f(𝓧＋h)－ f(𝓧))/(K𝔁h)＝1/K𝔁lim (f(𝓧＋h)－ f(𝓧))/h

這樣就得到，

K𝔁＝lim (f(𝓧＋h)－ f(𝓧))/h

我們稱，K𝔁為f在𝓧點的導數，記為f'𝔁＝K𝔁，稱，直線l𝔁為f在𝓧點的微分，記為, df𝔁＝l𝔁，于是有，

df𝔁(h)＝l𝔁(h)＝K𝔁h＝f'𝔁h

若 f(x) 在 ℝ 中的每個點 𝓧 都可微，則 𝓧 就可以看作 變量 ，于是導數f'𝔁就是𝓧的一進制函數（稱為，導函數），而微分df𝔁(h)就是𝓧 和h的二進制函數。根據書寫習慣，我們把𝓧 由下标移到()裡，并且用x替換，于是得到，

df(x,h)＝f'(x)h ①

其中，

f'(x)＝lim (f(x＋h)－ f(x))/h

對于 恒等函數 I(x)＝x 有，

I'(x)＝lim ((x＋h)－ x)/h＝1

進而 在 x＝I(x) 兩邊同時求微分，有，

dx＝dI(x, h)＝I'(x)h＝1h＝h＝I(h)

＞ 幾何上，直線任意一點的切線都是它自己。

這樣以來①就變為，

df(x, h)＝f'(x)dx

由于等式右邊dx已經把h隐藏了，是以左邊也不顯式聲明h，于是等式改寫為：

df(x)＝f'(x)dx ①'

進而有，

f'(x)＝df(x)/dx

這樣 我們就得到了 導數 的微分表示：

df/dx＝f'

再對df(x)求微分，根據①' 和 dx＝h，有，

d(df)(x)＝(df(x))'dx＝(f'(x)dx)'dx＝(f'(x)h)'dx＝(f'(x))'hdx＝f''(x)dxdx

＞注：'是對x求導，h視為常數。

于是有，

f''(x)＝d(df)(x)/dxdx

記，

d²f＝ddf＝d(df)，dx²＝(dx)²＝dxdx

就得到二階導數的微分形式：

d²f/dx²＝f''＝d(df/dx)/dx

最後，通過不斷疊代，我們就可以的得出任意n（自然數）階導數的微分形式：

dⁿf/dxⁿ＝f⁽ⁿ⁾

＞規定：f⁽⁰⁾＝f，d⁰f＝f，dx⁰＝1。