古希臘的數學家對世界思想和所有依賴于這一知識基礎的實踐學科做出了巨大的貢獻，從幾何到工程，從天文學到設計。最初受到埃及人的影響，希臘數學家将繼續取得突破，例如畢達哥拉斯的直角三角形理論，并通過關注抽象，使古老的數學問題變得清晰和精确。他們的解決方案提供了基本的數學建構塊，直到今天，所有未來的數學家和科學家都将以此為基礎。
早期影響
希臘數學的誕生得益于其一些鄰國的影響，尤其是埃及。在埃及第 26 王朝（公元前 685-525 年）期間，尼羅河港口首次對希臘貿易開放，希臘重要人物如泰勒斯和畢達哥拉斯帶着新的技能和知識通路了埃及。愛奧尼亞除了受到埃及的影響外，還通過其鄰居呂底亞王國接觸到美索不達米亞的文化和思想。
幾個世紀後，在希臘化時期，亞曆山大大帝征服東方後，希臘天文學蓬勃發展。巴比倫和迦勒底文化的天文知識為希臘人提供，他們通過系統地利用它來獲利。這導緻了許多希臘數學工具的進步，例如使用以 60 為基數的數字系統，這使得希臘人可以将圓分成 360 度。使用 60 作為數學系統的基礎并不是一個小問題：60 是一個有許多除數的數字（1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60） ，這使得更容易處理涉及分數的計算。
埃及對希臘數學的影響也可以從關鍵希臘數學術語的詞源中看出。著名的希臘地理學家斯特拉博解釋了幾何一詞（字面意思是“土地測量”）的起源如下：
尼羅河的洪水反複帶走和增加土壤，改變了景觀的配置，并隐藏了将一個人的土地與其他人的土地分開的标記。必須一遍又一遍地進行測量，他們說這是幾何的起源......（Strabo，Geography 17.1.3）
早期成就
希臘人是如何設法将他們的數學知識提升到比埃及人更先進的地步的，埃及人是一個古老得多的文明？早在公元前 3500 年，埃及（以及巴比倫）的計算是世界上最好的。埃及人将他們的數學知識主要用于工程目的；沒有它，建造大金字塔和其他令人歎為觀止的紀念碑是不可能的。
希臘人從埃及數學中得出的主要是具有特定應用的經驗法則。例如，埃及人知道，邊比為 3:4:5 的三角形是直角三角形。這是因為，為了形成直角，實用主義的埃及土地測量師使用一根繩子分成十二等份，形成一個三角形，一邊三部分，另一邊四部分，另一邊五部分。在三單元側與四單元側連接配接處找到直角。這是形成直角的一種非常實用的方法。埃及人如何想出這種方法沒有記錄。我們也沒有與此問題相關的進一步分析的埃及記錄。埃及人太實際了，無法詳細分析這一點。顯然，他們的興趣僅在于這種方法的實際應用。一位來自愛奧尼亞的希臘本地人看着這個 3:4:5 的三角形，看到了其他人似乎沒有注意到的東西。他的名字是畢達哥拉斯，他将這個 3:4:5 的三角形問題延伸到其邏輯極限，引發了一場知識革命。
畢達哥拉斯（公元前 571 年 - 公元前 497 年）是一個特殊運動的上司者和創始人，其追随者被稱為畢達哥拉斯。該學派的成員确信宇宙可以用整數來描述：1、2、3、4 等。基于埃及人已知的 3:4:5 三角形，畢達哥拉斯提出了一個數學定理以他的名字命名的：在直角三角形中，當兩個較小邊上豎立的正方形的面積加在一起時，它們等于豎立在最長邊上的正方形的面積，與直角相對的邊（斜邊） ）。需要注意的是，希臘人最初是用幾何對象而不是數字來表述這個定理的。
為什麼這個定理如此重要？因為它展示了一些重要技術的發展。
的 抽象的技術的基礎上，忽略實體考慮被視為僅僅是偶然的。無論是繩索、木頭還是其他任何實物都無關緊要。這完全是關于以角度連接配接的“直線”的特性，僅此而已。這些線條隻是心理結構，是解決問題所必需的唯一實體。抽象的過程是擺脫所有非本質元素，隻考慮基本元素。
泛化技術，它是關于開發具有廣泛應用的一般原則，而不是具有特定用途的規則。畢達哥拉斯提出的定理不僅适用于 3:4:5 三角形，而且适用于任何其他直角三角形，無論其尺寸如何。此外，定理表明三角形是直角三角形當且僅當最長邊的平方與其餘兩條邊的平方和相比對：直角位于兩條較短邊相交的地方。
演繹推理的藝術。這是關于擁有一組初步的一般陳述或前提，并通過計算其邏輯含義得出結論。
論證演繹論證 意義上的數學。通過結合演繹推理和概括，數學不再被視為一組靜态的規則，而是一個能夠進行複雜發展的動态系統。
我們要歸功于畢達哥拉斯，或者也許是他的追随者，這些希臘在數學領域的重要創新。
畢達哥拉斯人在數學中發現的美麗與和諧是如此強大，以至于希臘科學最終被強烈的數學偏見所污染。換句話說，希臘人開始相信演繹推理在數學中取得了令人難以置信的成功，也是獲得其他學科知識的唯一可接受的方式。觀察被低估了，演繹成為王道，希臘科學知識幾乎在精确科學之外的每個分支中都被引入了死胡同。從蓋倫的一句話中可以看出這種對數學的高估：
時間使悲傷和其他情緒改變和停止，而僅僅時間的流逝曾讓任何人相信他已經受夠了“兩倍二等于四”或“一個圓的所有半徑都相等”并讓他改變主意關于這樣的信念并放棄它們？（蓋倫，論希波克拉底 和柏拉圖的學說4.7.43）
第一次數學危機：2的平方根
畢達哥拉斯定理成立後，提出以下問題：如果我們有一個正方形，每條邊的長度都是一個機關，并且我們還有第二個正方形的面積是第一個正方形的兩倍，那麼第二個正方形的邊會如何？正方形與第一個正方形的邊比較？這就是關于 2 的平方根問題的起源。
我們今天知道 2 的平方根是一個無理數，這意味着它不能用任何簡單的分數表示。然而，希臘人并沒有意識到這一點，是以他們一直試圖解開這個謎團并得出一個有效的答案。畢達哥拉斯學派拼盡全力也解不開這個謎題，他們終于面對現實，即兩個整數的比值都無法表達 2 的平方根的值。
畢達哥拉斯學派小心翼翼地保守着無理數的秘密。原因是這個秘密在畢達哥拉斯信仰的根源中造成了某種危機。有一個有趣的記述（其曆史準确性不确定）是關于畢達哥拉斯學派的一名成員顯然向兄弟會以外的人洩露了秘密。叛徒被抛入深水中淹死。這一事件有時被稱為科學的第一位殉道者。然而，我們也可以将這個人視為衆多迷信殉道者之一，因為這起兇殺案的根本原因并不是無理數的科學方面，而是其宗教推斷被視為對畢達哥拉斯神秘主義的基礎。
無理數的危機促使人們創造了近似 2 的平方根值的巧妙方法。 其中最好的例子之一是下表中描述的方法：
在多次嘗試求出 2 的平方根的值都沒有成功之後，希臘人别無選擇，隻能接受算術不能成為數學的基礎。他們不得不去别的地方看看，是以他們研究了幾何。
歐幾裡得系統
歐幾裡得（公元前 325 年至公元前 265 年）是一位住在亞曆山大港的古希臘數學家。他熟悉在他之前的所有希臘數學工作，是以他決定将所有這些知識組織在一個連貫的工作中。這本書被我們稱為元素，是有史以來第二暢銷書，僅次于聖經。
Elements主要因其幾何形狀而被人們記住。第一本書的開篇以對基本幾何的不同定義開始：
1.點是沒有部分的。
2.線是無寬度的長度。
3. 線的端點是點。
4. 直線是一條與自身上的點齊平的直線。
5. 面是隻有長和寬的面。
6. 表面的末端是線。
（歐幾裡得，定義 1 到 6）
元素 的内容中沒有歐幾裡得的原創（他隻是一個編譯器）。然而，作品的命題順序和整體邏輯結構在很大程度上是歐幾裡德的創造。毫無疑問，這是有史以來最重要和最有影響力的書籍之一，也是希臘知識傳統的傑作。
從現代科學知識的角度來看，元素有一些缺陷。首先，它完全依賴于演繹（根據一組假定的不言自明的概括得出結論），在其中找不到任何歸納的痕迹（從對特定事實的觀察開始并從中得出概括）。其次，它遵循一個邏輯順序，其中的所有定理都可以通過使用先前證明的定理來證明。這個邏輯序列将我們引向一組無法證明的初始假設。這些假設被歐幾裡得認為是不容置疑的，這意味着它們是如此明顯以至于不需要證明。這種結構的類比是一個鍊條，其中每個環節都需要連接配接到另一個環節，但初始環節隻是懸挂，無處連接配接。
提利安問題
除了2的平方根取值外，還有一個著名的問題困擾着希臘人：立方體的重複。傳說是這樣說的：
阿波羅 的神谕告訴德爾福斯的人民，為了擺脫瘟疫，他們應該為他建造一座兩倍于現有祭壇的祭壇。（士每拿的席恩，論麥基翁數學的用處）
建築師不知道如何解決這個問題。祭壇的形狀是立方體，人們可能會想到的第一個想法是簡單地将祭壇的四面翻倍，但這會導緻祭壇是原來的八倍，而不是原來的兩倍。解決這個問題的正确方法是問：如果我們想讓新祭壇的體積是原祭壇體積的兩倍，那麼新祭壇的每一邊應該有多長？這是關于确定 2 的立方根的值，這也是一個無理數。這個問題在幾何中引起的困惑與 2 的平方根在算術中引起的困惑相同。
包括柏拉圖在内的希臘數學家提出了這個問題，并對其進行了幾個世紀的研究，産生了大量令人欽佩的工作。這裡的核心問題是能夠确定 2 的立方根。
數學嚴謹性在希臘數學中的重要性
希臘人明白一些埃及人無法了解的東西：數學嚴謹性的重要性。例如，古埃及人将圓的面積等于邊是圓直徑的 8/9 的正方形的面積。從這個計算來看，數學常數pi的值為256/81。這是一個非常準确的計算（大約有一半的誤差），但在數學上是不正确的。然而，就埃及工程而言，這半個百分點的錯誤實際上并不重要，否則他們令人印象深刻的紀念碑早就倒塌了。然而，忽略這半個百分點的誤差會忽略 pi 真值的一個基本屬性，即沒有分數可以表達它。也是一個無理數。
埃及人還四舍五入其他數字，例如 2 的平方根的值（分數為 7/5）。通過使用四舍五入的值，埃及人沒有注意到這些數字的非理性性質。希臘人癡迷于數學的嚴謹性；對他們來說，圍捕還不夠好。他們承認數學語言的準确性。
通過不放棄對數學準确性的追求，希臘人發展了一種數學知識，這與天文學一起可能是他們智力成就中最令人欽佩的豐碑。
參考書目
伯特蘭·羅素。西方哲學史。西蒙和舒斯特/試金石，1967 年。
希臘科學——古代曆史百科全書于 2020 年 5 月 15 日通路。
JC 麥基翁。希臘珍寶櫃。牛津大學出版社，美國，2013 年。
科學——古代曆史百科全書于 2020 年 5 月 15 日通路。
史蒂芬霍金。上帝創造了整數。跑步出版社，2007 年。