cdq分治解決三維偏序

問題背景

在三維坐标系中有n個點，坐标為(xi,yi,zi). 定義一個點A比一個點B小，當且僅當xA<=xB,yA<=yB,zA<=zB。問對于每個點，有多少個點比它小。(n<=1e5)

其實就是離散數學裡的偏序的概念啦，隻不過是到了三維。回顧一下偏序的概念：

偏序關系：自反，反對稱且傳遞，符号<

然後先考慮一下二維偏序吧。可以用最長上升子序列LIS來做，然後我們今天讨論一種特殊分治的做法，這種算法是由08年集訓隊的陳丹琦提出來的，是以叫cdq分治。

主要思想就是先按照第一維排序。然後周遊每一個點，此時我們要統計的就是前面的點中比這個點的y坐标要小的點的個數。我們用一個樹狀數組來維護y坐标這個資訊，于是就隻要得到getsum(y)就行了。

三維的CDQ分治呢，做法如下：

第一維排序，第二維CDQ分治，第三維樹狀數組。

第一維比如先按照x坐标排序。在第二維的CDQ分治時，我們對每一個自區間，先按照y排序，計算左邊對右邊的影響的時候:

1. 左邊的x都小于右邊
2. 在每一邊y也是依次遞增的
3. 我們隻要掃描右邊，把左邊y小于等于目前的y坐标的z坐标更新到樹狀數組，統計目前樹狀數組z坐标小于自己的就是偏序<的點的個數。

複雜度分析

根據主定理：

T(n)=2T(n2)+O(kn)=O(knlogn)T(n)=2T(n2)+O(kn)=O(knlogn)

T(n)=2T(n2)+O(knlogn)=O(knlog2 n)

例題

BZOJ 3262 陌上花開

牛客網的一套題

後面這個題雖然是個裸三維偏序，不過也可以轉化成三個二維偏序。

另附一個BZOJ3262的别人的代碼，可做模闆。

//bzoj 3262
//1維排序，二維分治，3維樹狀數組
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 200005;
int n, m, ans[maxn], tree[maxn*4];
struct node{
    int a, b, c, s, ans; //s處理相同連續,ans比目前美麗值小個數
    node(){}
    node(int a, int b, int c, int s, int ans) : a(a), b(b), c(c), s(s), ans(ans) {}
    bool operator < (const node &rhs) const{ //按y排序
        if(b == rhs.b) return c < rhs.c;
        return b < rhs.b;
    }
}a[maxn], p[maxn];
bool cmp(node x, node y){ //按照x排序
    if(x.a == y.a && x.b == y.b) return x.c < y.c;
    if(x.a == y.a) return x.b < y.b;
    return x.a < y.a;
}
namespace BIT{
    inline int lowbit(int x) {return x&-x;}
    inline void update(int x, int y){for(int i = x; i <= m; i+=lowbit(i)) tree[i] += y;}
    inline int query(int x){int res = 0; for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tree[i]; return res;}
}
using namespace BIT;
void CDQ(int l, int r)
{
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    CDQ(l, mid);
    CDQ(mid+1, r);
    sort(p + l, p + mid + 1);
    sort(p + mid + 1, p + r + 1);
    int i = l, j = mid + 1;
    while(j <= r){
        while(i <= mid && p[i].b <= p[j].b){
            update(p[i].c, p[i].s);
            i++;
        }
        p[j].ans += query(p[j].c);
        j++;
    }
    for(int j = l; j < i; j++) update(p[j].c, -p[j].s);
}
int main(){
    int nn;
    scanf("%d%d", &nn, &m);
    for(int i = 1; i <= nn; i++){
        scanf("%d%d%d", &a[i].a, &a[i].b, &a[i].c);
    }
    sort(a + 1, a + nn + 1, cmp); //按照x排
    int cnt = 0; //unique
    for(int i = 1; i <= nn; i++){
        cnt++;
        if(a[i].a != a[i+1].a || a[i].b != a[i+1].b || a[i].c != a[i+1].c){
            p[++n] = a[i];
            p[n].s = cnt;
            cnt = 0;
        }
    }
    CDQ(1, n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        ans[p[i].ans + p[i].s - 1] += p[i].s;
    }
    for(int i = 0; i < nn; i++){
        printf("%d\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}
           

總結

從二維偏序出發，了解了三維偏序的CDQ分治做法。

在這類問題中通常将時間(操作序列)作為第一維，剩下的二維問題使用CDQ分治和資料結構。

這種問題也可以用樹套樹做，據說很煩，樹狀數組套個什麼Treap啥的，總之比這個CDQ要難寫很多。