一、問題描述
該問題在算法導論中引申自求解兩個DNA序列相似度的問題。
可以從很多角度定義兩個DNA序列的相似度，其中有一種定義方法就是通過序列對齊的方式來定義其相似度。
給定兩個DNA序列A和B，對齊的方式是将空格分别插入到A和B序列中，得到具有相同長度的對齊後的序列C和D；空格可以插入到任意的位置（包括兩端），但是相同位置不能同時為空格，也即是不存在C[i]和D[i]同時為空格的情況。然後為對齊後的序列的每個位置打分，總分為每個位置得分之和，具體的打分規則如下：
a、如果C[i] == D[i]且都不是空格，得3分；
b、如果C[i] != D[j]且都不是空格，得1分；
c、如果C[i] 或者D[i]是空格，得0分。
求給定原序列A和B的一個對齊方案，使得該對齊方案的總分最高。
例如，序列原序列A和B如下：
String strA = "GATC";
String strB = "ATCG"; 則其中一個對齊方案如下：
GATC*
*ATCG 該方案總得分score=2*0+3*3 = 9分。
實際上這是最優的對齊方案，在所有的對齊方案中總得分最高為9分。
二、問題分析
為了用更加簡單的方式來表示對齊的方案，我們嘗試用一些特定的字元記号來表示對齊方案，對此，首先做一個約定，對于打分規則：
1、情況a用“=”字元标記；
2、情況b用“~”字元标記；
3、情況c用“*”字元标記，但是情況c實際上可以細分為兩種情況：C[i]為空格時用“+”标記，D[i]為空格時用“-”号标記。這樣用“+”和“-”細分的表示相比于統一用“*”來表示，本質的差別在于讓對齊方案具有所謂的“方向性”，後面會看到這樣的細分對于算法的實作有一定的好處。
有了這樣的約定，可以将一個對齊方案用這些字元表示出來，該字元串稱之為一個對齊規則字元串R。
例如上面的例子中，對齊規則就可以用字元串“-===+”來表示。
可以推斷，任何兩個原序列的對齊規則字元串R的長度必然滿足：
隻要能夠求得最優對齊方案的對齊規則字元串，就可以計算出最高分數，還可以還原出各自的對齊序列。
考察該問題的最優子結構性質，與最長公共子序列思考的角度比較類似，
用C(i,j)表示序列A[0]...A[i]和序列B[0]...B[j]的最優對齊方案的得分，不難得出其初始條件和遞推求解式：
用R(i,j)表示序列A[0]...A[i]和序列B[0]...B[j]的最優對齊方案的對齊規則字元串，結合上面的遞推求解式，不難推出對齊規則字元串的運算規則：
三、算法實作
package agdp;
public class Alignment {
//根據對齊骨規則生成相應的對齊後的字元串
private static String[] generate(String base,String ...origin){
int num = origin.length;
String[] align = new String[num];
for (int i = 0; i < num; i++) {
if (origin[i].length() == base.length()) {
align[i] = origin[i];
}else {//base.length()隻能是等于或者大于兩個原字元串的長度
String tmp = "";
for (int j = 0,k = 0; j < base.length(); j++) {
if (base.charAt(j) == '+') {
if (i == 0) {tmp = tmp+"*";}
else{tmp = tmp+origin[i].charAt(k++);}
}else if(base.charAt(j) == '-'){
if (i == 0) {tmp = tmp+origin[i].charAt(k++);}
else{tmp = tmp+"*";}
}
else {
tmp = tmp+origin[i].charAt(k++);
}
}
align[i] = tmp;
}
}
return align;
}
public static String align(String strA,String strB){
int m = strA.length(),n = strB.length(),tmp;
//aux數組記錄子問題的最有對齊方案的分數，也即子問題的最高分數。
int[][] aux = new int[m+1][n+1];
//rule數組記錄對齊方案，分别用"+"、"-"、"="和"~"記錄四種情況。
String[][] rule = new String[m+1][n+1];
//rule初始化
rule [0][0] = "";
for (int i = 1; i < m+1; i++) {
rule[i][0] = rule[i-1][0]+"-";
}
for (int i = 1; i < n+1; i++) {
rule[0][i] = rule[0][i-1]+"+";
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (strA.charAt(i-1) == strB.charAt(j-1)) {
aux[i][j] = aux[i-1][j-1]+3;
rule[i][j] = rule[i-1][j-1] + "=";//A[i]==B[j]：->"="
}else {
tmp = Math.max(Math.max(aux[i-1][j], aux[i][j-1]), aux[i-1][j-1]+1);
aux[i][j] = tmp;
if (tmp == aux[i-1][j-1]-1) {//A[i]!=B[j]且A[i]和 B[j]不為空字元：->"~"
rule[i][j] = rule[i-1][j-1]+"~";
}else if(tmp == aux[i-1][j]-2){//B[i]為空字元:->"-"
rule[i][j] = rule[i-1][j]+"-";
}else{
rule[i][j] = rule[i][j-1]+"+";//A[i]為空字元:->"+"
}
}
}
}
//格式化輸出aux數組
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
for (int j = 0; j < n+1; j++) {
System.out.format("%3d",aux[i][j]);
}
System.out.println();
}
//格式化輸出rule數組
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
for (int j = 0; j < n+1; j++) {
System.out.format("%-15s",rule[i][j]);
}
System.out.println();
}
//傳回最優的對齊方法對應的規則
return rule[m][n];
}
//根據規則字元串計算分數
public static int getScore(String ruleStr){
int score = 0;
for (int i = 0; i < ruleStr.length(); i++) {
if (ruleStr.charAt(i) == '=') {
score += 3;
}else if (ruleStr.charAt(i) == '~') {
score += 1;
}
}
return score;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] scoreAry = {3,1,0,0};
// String strA = "GATCGGCAT";
// String strB = "CAATGTGAATC";
String strA = "GATC";
String strB = "ATCG";
// String strA = "GAC";
// String strB = "ATCG";
String ruleStr = align(strA, strB);
System.out.println(ruleStr);
int score = getScore(ruleStr);
System.out.println(score);
String[] alignStr = generate(ruleStr, strA,strB);
for(String str:alignStr){
System.out.println(str);
}
}
} 還是以原始序列“GATC”和“ATCG”為例：
其子問題的得分的計算如下：
子問題的對齊規則字元串的計算如下：
需要特别注意的是，用“+”和“-”号來區分打分情況c後，對齊規則字元串是具有“方向性”的，也就是說對齊規則“-===+”是指從A->B方向的對齊規則。那如果需要B->A的對齊規則，隻需要将對齊規則的字元串中+“和”-”互相替換即可。
實際上，從DNA序列對齊問題過渡到編輯距離問題是很比較自然的。本文也有意識的将這兩個問題聯系在一起，編輯距離問題見下一篇博文。
參考資料：
算法導論.第十五章 習題15-5
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http://www.cnblogs.com/qcblog/p/7820140.html