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摘要
随機波動率（SV）模型是常用于股票價格模組化的一系列模型。在所有的SV模型中，波動率都被看作是一個随機的時間序列。然而，從基本原理和參數布局的角度來看，SV模型之間仍有很大的不同。是以，為一組給定的股票價格資料選擇最合适的SV模型對于對股票市場的未來預測非常重要。為了實作這一目标，可以使用留一交叉驗證（LOOCV）方法。然而，LOOCV方法的計算成本很高，是以它在實踐中的應用非常有限。在對SV模型的研究中，我們提出了兩種新的模型選擇方法，即綜合廣泛适用資訊準則（iWAIC）和綜合重要性抽樣資訊準則（iIS-IC），作為近似LOOCV結果的替代品。在iWAIC和iIS-IC方法中，我們首先計算每個觀測值的期望似然，作為相對于相應的潛變量（目前的對數波動參數）的積分。由于觀測值與相應的潛變量高度相關，每個第 t 個觀測值（y obs t）的綜合似然值期望接近于以 y obs t 為保持資料的模型所計算的 y obs t 的期望似然值。其次，在計算資訊标準時，綜合期望似然被用作期望似然的替代。由于相對于潛變量的整合在很大程度上減少了模型對相應觀測值的偏差，是以整合後的資訊标準有望接近LOOCV結果。為了評估iWAIC和iIS-IC的性能，我們首先使用模拟資料集進行了實證研究。該研究結果表明，iIS-IC方法比傳統的IS-IC有更好的性能，但iWAIC的性能并不優于非綜合WAIC方法。随後，利用股票市場收益資料進行了進一步的實證研究。根據模型的選擇結果，對于給定的資料，最好的模型是具有兩個獨立自回歸過程的SV模型，或者是具有非零預期收益的SV模型。
緒論
1.1 随機波動率模型
随機波動率（SV）模型被廣泛用于股票價格的模組化，Taylor（1982）和 Hull 和 White（1987）在期刊上發表的論文中對此進行了描述。在基本的随機波動率模型中，均值修正後的每日連續複利收益yt可以被模組化為具有随機波動率的正态分布。與指數權重移動平均數（EWMA）模型和廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型不同，對數波動率在 SV 模型中被視為馬爾可夫過程。
作為馬爾可夫過程的結果，對數波動率本身成為一個随機過程。是以，SV 模型不需要像其他一些模型（即 Black 和 Scholes (1973)提出的著名的 Black-Scholes 模型）那樣假設恒定波動率或固定波動率過程。由于波動率确實會随着時間的推移而變化，是以假設波動率不變是許多非 SV 模型的主要缺陷，特别是當時間跨度較長時。是以，在對股票價格和其他一些具有變化的波動率的衍生品進行模組化時，SV 模型往往是一個很好的選擇。
除了基本模型外，許多擴充的SV模型也被用于股票價格模組化的目的，如Harvey等人（1994）；Shephard（1996）；Gallant和Tauchen（1996）；Chernov等人（2003）發表的論文中所述。
在這篇論文中，對八個不同的模型進行了測試和比較，用于股票價格的模組化。每個測試的模型都是基本的SV模型或其變體。
為了使用馬爾科夫鍊蒙特卡洛方法從SV模型參數的後驗分布中取樣，我們需要知道一個與後驗分布成正比的函數。為了實作這一目标，研究中使用了貝葉斯推斷法。根據貝葉斯規則，給定模型參數π(θ)的先驗分布和一組觀測資料D，模型參數的後驗分布與模型參數的後驗似然函數f(D|θ)π(θ)和模型參數先驗分布的乘積成正比。
随機波動率模型和模型拟合過程
2.1 随機波動率模型
公司股票的價格是由實體産生未來現金流的能力決定的，同時也受到股票供求關系的影響。如果我們對某隻股票進行投資，那麼在一段時間内對該股票的投資利潤就稱為該股票的收益率。在實踐中，股票的收益率與股票的波動性密切相關。如果yt是連續複利的收益率，那麼二者之間的關系可以用以下公式來模拟。
股價波動率是衡量标的資産價格變化（上升或下降）的預期幅度，這是股票的一個非常重要的特征。某隻股票的波動率對于預測股票本身的價格以及許多其他與股票有關的衍生品是至關重要的。例如，根據著名的布萊克-斯科爾斯模型，當标的股票的隐含波動率較高時，某隻股票的歐洲看漲期權（具有相同的執行價格和到期日）需要更多的權利金（更有價值）（Black and Scholes, 1973）。此外，從風險管理的角度來看，股票的波動率需要用來确定投資組合的風險值（VaR）（Giot 和 Laurent，2004）。
諸如曆史模拟的傳統方法可能無法識别波動率的變化，廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型是以經常被用來預測未來的波動率（Engle, 1982; Bollerslev, 1986）。例如，在 GARCH（1，1）模型中，波動率 σ 2 t 按照以下公式計算。
随機波動率（SV）模型是GARCH模型在股票價格波動率模組化中的替代品（Taylor，1982；Hull和White，1987）。在 SV 模型中，波動率被認為是一個随機過程。通過允許過程中的随機性，SV模型在理論上有更多的好處。在這項研究中，我們測試了幾個自回歸随機波動率（AR-SV）模型，這是一個流行的SV模型的子類别。在基本的AR-SV模型中，波動率的對數，ht=log(σt)，被模組化為一個随機的自回歸過程。
這也可以寫成
鑒于對數波動率，每日股票收益率yt可以被模組化為
模型1
這個模型是我們之前提到的基本 AR-SV 模型。調整對數波動率過程的狀态方程為：
和日收益率的觀察方程方程為
模型2
模型 2 是基本 SV 模型的一個變種。在這個模型中，對數波動率的狀态方程與基本的 AR-SV 模型相同，但是每日收益率的平均值
yt是α（非零）而不是零:
模型3
在這個模型中，對數波動率ht遵循一個AR（2）過程
這個方程最适合用來模拟具有較低自相關性的滞後-1 對數波動率過程。根據 Yule-Walker 方程（Cheng, 2005），對于這個 AR(2)過程中的任何 ht，滞後-1 自身相關（ht 和 ht-1 之間的相關性）是 ht-1 的系數，也就是 φ。另一方面，滞後n自相關（ht和ht-n之間的相關性）由φ n + ψ n-1給出。是以，該模型表明目前的對數波動率與它的滞後-1 對數波動率的相關性較小，但與所有其他的滞後對數波動率的相關性較大。
模型4
該模型由兩個獨立的AR(1)過程組成，如Harvey等人所述。
在這個模型中，對數波動率 ht 由 µ + h (1) t + h (2) t 給出，h (1) t 和 h (2) t 是兩個獨立的 AR(1) 過程。
模型5
模型5允許ut和vt+1之間存在相關性，這導緻yt的不對稱效應。這種ut和vt+1之間的相關性早已被Black（1976）以及Engle和Ng（1993）所注意。在 Engle 和 Ng(1993)之前完成的一項研究中，發現收益沖擊對波動率有一定的影響。是以，假設二者之間存在關聯性是合理的。在模型 5 中，該相關性由以下協方差矩陣描述。
是以，SV模型方程和ht的狀态方程可以寫成
模型6
在這個模型中，觀察方程中包含了一個跳躍成分（觀察值的額外随機向上或向下運動）。此外，yt也受到其滞後觀測值yt-1的影響。
一般來說，這個模型表明目前的收益率yt是由目前的價格波動率、随機跳躍的發生和之前的觀察值yt-1決定的。
模型7
與模型6類似，模型7也包括跳躍成分，但不包括前面的觀察。
模型7中所有參數的分布都與模型6中的參數相同。
• 模型8
為了得到這個模型，觀察方程中的高斯觀察誤差被自由度為ν的學生t分布所取代。
由于誤差是對稱的和非正态的，根據Andrews和Mallows(1974)的觀點，可以使用正态分布的比例混合進行模型拟合。
2.2 拟合SV模型的貝葉斯推斷和馬爾科夫鍊蒙特卡洛抽樣法
由于似然函數的非分析形式，将經典的統計推斷，如最大似然估計，應用于SV模型是相當困難的。為了克服這個問題，人們提出了幾種替代方法。例如，在Harvey等人（1994）提出的準最大似然法中，通過将log（yt）的分布視為正态分布，得到了實際似然函數的近似值。然後，這個近似函數（準最大似然函數）被最大化，而不是實際似然函數。
在另一種被稱有效矩量法（EMM）的方法中，準似然函數的導數被用作廣義矩法（GMM）的矩條件。然後通過最小化矩條件的準則來計算EMM估計的參數。通過使用這個矩條件，而不是臨時選擇一些低階矩，EMM方法被認為是更有效的（Andersen等人，1999）。
在我們的研究中，我們對SV模型采用了貝葉斯推斷法。根據貝葉斯規則，給定模型參數π(θ,h)的先驗分布和觀測資料y obs，模型參數的後驗分布可以表示為。
為了将模型拟合給定的資料集，我們使用馬爾科夫鍊蒙特卡洛（MCMC）方法從每個模型的參數的後驗分布中取樣。在MCMC過程中，模型參數是根據馬爾科夫鍊進行抽樣的。馬爾科夫鍊是一個随機過程，在一個給定的狀态空間中進行狀态轉換。給定一個有限的狀态空間，當鍊足夠長時，馬爾科夫鍊必然會達到一個穩定狀态（不變分布）（Gilks，2005）。
比較随機模型的統計方法
在研究股票市場資料和預測未來趨勢時，模型的選擇非常重要。通過使用正确的模型，可以更好地了解和解釋資料的屬性，進而可以做出更好的預測和估計。而在實踐中使用錯誤的模型，則可能導緻本可避免的意外損失。
傳統的方法，包括平均平方誤差（MSE）和決定系數（R2），隻衡量資料與模型的拟合程度。由于在一個模型中增加額外的參數通常會增加拟合度，這些方法往往有利于複雜的模型，可能會過度拟合資料。為了克服過度拟合的問題，引入了交叉驗證方法。交叉驗證方法包括将資料集劃分為兩個子集，用一個子集拟合模型，用另一個子集測試模型。盡管交叉驗證法似乎能夠完全解決過度拟合的問題，但這些方法耗時且成本高。另外，許多方法對模型的複雜性進行了懲罰。
實證結果
4.1 仿真研究
在我們的第一個研究中，通過使用一組模拟資料集來測試模型選擇标準的性能。首先，我們從模型6生成了一個資料集，資料的真實模型是模型6。這個資料生成過程被重複了100次，生成了100個資料集。其次，每個模拟資料集都被單獨拟合到列出的所有候選SV模型中。最後，使用模型選擇标準，包括DIC、nWAIC、nIS、iWAIC和iIS，來為模拟資料集選擇最佳模型。
在第一步，通過将模型6中的參數設定為一些特定的值來模拟資料集。在我們的特定情況下，用于資料生成的參數是：µ = -10，φ = 0.96，τ = 0.345，β = 0.1，κ = 0.08，δ = 0.03。每個模拟資料集是一個有2000個觀測值的時間序列。
一旦生成了資料集，我們随後将候選的SV模型與資料進行拟合。為了拟合這些模型，我們使用了馬爾科夫鍊蒙特卡洛（MCMC）方法，從每個模型的參數後驗中取樣。許多MCMC算法已經被提出來對模型參數進行抽樣，如Metropolis-Hastings算法和Gibbs采樣。基于這些MCMC算法，開發了許多采樣軟體包，包括WinBUGS、OpenBUGS和JAGS（Lunn等人，2000；Spiegelhalter等人，2007；Plummer，2003）。然而，由于這些軟體包主要是基于Metropolis-Hastings算法，它們可能會因為算法中使用的随機遊走法提出新的狀态而出現收斂緩慢的問題。為了克服這個問題，開發了stan包（Carpenter等人，2015；Gelman等人，2015）。在stan中，通過應用Hamilton Monte Carlo和no-U-turn采樣，收斂速度可以快得多（Carpenter等人，2015）。是以，我們決定在SV模型的特定研究中使用stan采樣器。
在使用stan采樣器對模型參數的後驗分布進行采樣之前，我們需要先對參數進行先驗分布。對于本研究中的所有SV模型，μ的先驗分布是正态的，均值為-10，标準差為5。此外，τ 2的先驗分布為反Gamma(2.5, 0.025)(Kim et al., 1998)，對于所有的候選模型，φ的先驗分布都是在0和1之間均勻分布。對于模型2，參數α∼N(0，10)的先驗，所有其他參數的先驗與基本SV模型相同。模型3中ψ的先驗分布與基本SV模型中φ的先驗分布相同（在0和1之間均勻分布）。在模型4中，參數φ2的先驗分布與基本SV模型中的φ相同。對于模型5，ρ的先驗分布在-1和1之間，均值為0，這給了相關參數ρ一個非資訊性的先驗分布。模型6中的β參數衡量了目前觀測對先前觀測的影響程度，該參數一般被認為是小的。是以，我們對這個參數施加了β∼N（0，0.2）的資訊性先驗。同樣在模型6中，衡量觀察中發生跳躍（yt的額外向上或向下運動，可能發生也可能不發生）的機率的κ參數被賦予Beta(2, 100)先驗（Chib等人，2002）。另一方面，跳躍大小參數st的先驗分布為ln(1+st)∼N(-δ 2/2, δ2)，我們假定log(δ)的先驗分布為log(δ)∼N(-3.07, 0.149)(Chib et al., 2002)。在模型8中，參數ν在[2, 128]上有一個均勻分布作為其先驗（Chib等人，2002）。
一旦模型參數的先驗值被設定，Stan采樣器讀取模拟觀測值（來自模型6），随後對候選模型進行拟合。為了確定馬爾科夫鍊的收斂，每個單獨的馬爾科夫鍊的采樣疊代次數被設定為20，000次。由于鍊可能需要一段時間來收斂，是以前10,000個樣本被放棄。為了減少相鄰樣本之間的自相關，最後的樣本隻包含其餘10,000個樣本中的每10個樣本。此外，為了確定馬爾科夫鍊的收斂性，對每個模拟資料集同時運作兩個獨立的鍊。兩條鍊在同一組資料上的比較證明了馬爾科夫鍊在MCMC抽樣的前10,000個樣本之前就已經收斂了。Rˆ是對跨鍊變異與鍊内變異的相對測量，接近1.0的值表明收斂性良好（Gelman等人，2011）。在我們的研究中，我們為每個後驗分布（基于給定模型的資料集）運作兩個單獨的馬爾可夫鍊，如果馬爾可夫鍊确實收斂，那麼在收斂點之後，同一資料集的兩個鍊應該表現出類似的模式。Rˆ值大于1表明收斂不完善，Rˆ值越大，收斂就越差。拟合模型（使用模拟資料）的參數Rˆ值大多非常接近1，表明這些模型的馬爾科夫鍊确實收斂了。
不過，一個例外是模型4中的φ（Rˆ=53.8731）、τ（Rˆ=2.8202）、φ2（Rˆ=59.9186）和τ2（Rˆ=2.9484）參數。這些大的Rˆ值表明，馬爾科夫鍊在這個模型中收斂得并不好。然而，在這種特殊情況下，這個問題并不是一個大問題。在模型4中，我們有兩個獨立的AR(1)過程，它們具有相同的公式格式。是以，該模型包含兩個模式。如果一個模式包含h (1) t, φ, τ, h (2) t, φ2, τ2和所有其他參數，那麼另一個模式是通過保持所有其他參數不變而用h (2) t, φ, τ的值完全交換來形成的。是以，模型4的Rˆ的高值是由兩個鍊收斂到兩個不同的模式引起的（見圖4.2的例子）。由于這兩個模式彼此相距較遠，任何現有的采樣器都很難在這個特定的情況下探索參數空間。由于收斂到不同的模式會保持h（1）t+h（2）t的分布不變，而ˆyt的分布隻取決于h（1）t和h（2）t的總和，是以整個模型對yt的預測是不受影響的。
表4.2中列出了拟合參數的值及其标準偏差。表中的結果顯示，模型參數的期望值基本符合資料生成參數的輪廓，這表明拟合效果良好。
- ##########################################
- ## ＃＃下面的R代碼從模型6生成100組模拟資料。
- ## ＃＃資料集生成就會存儲在目前檔案夾中。
- ## y --- 模拟資料集。
- for (ifold in 1:100){
- s <- lss <- y<- h <- qq <- rep (0, T)
- h[1] <- rnorm (1, mu + phi * (h0 - mu), tau)
- for (t in 1:T) {lss[t] <- rnorm(1, -(delta^2)/2,delta^2); s[t] <- exp (lss[t] ) -
- 1}
- ##模型##########################################
- ## 下面的R代碼用rstan語言定義了模型1。
- fit <- stan(model_code = model1, data = list(y = y, T = T), iter = 20000,
- chains = 2, thin = 10)
每個跟蹤圖中的兩條鍊來自于基于模型6和同一組資料的兩條單獨模拟的馬爾可夫鍊。跨鍊方差與預燒期後的鍊内方差相比相對較小，表明馬爾科夫鍊的收斂性良好。
- ## 下面的R代碼用rstan語言定義了模型4。
- model4 <-'
- int<lower=1> T。
- }
- real<lower=0,upper=1> phi1。
- real<lower=0,upper=1> phi2。
- real<lower=0.0001> tausq;
- real<lower=0.0001> tau2sq;
- real<lower=0> tau。
- real<lower=0> tau2。
- tau <- sqrt(tausq);
- tau2 <- sqrt(tau2sq);
- mu ~ normal(-10,5);
- h1[t] ~ normal(phi1*h1[t-1], tau);
- h2[t] ~ normal(phi2*h2[t-1], tau2)。
- ## 下面的R代碼使用HMC對給定的資料集進行模型拟合
- 方法。
- ## ＃＃＃從每組測試資料中産生兩個獨立的馬爾科夫鍊。
- fit <- stan(model_code = model4, data = list(y = y, T = T), iter = 20000,
當兩個馬爾科夫鍊收斂到不同模式時，模型4中φ和φ2的跟蹤圖執行個體。軌迹圖中的φ和φ2來自基于模型4和同一組資料的兩個單獨模拟的馬爾科夫鍊。與鍊内方差相比，跨鍊方差很大，這是因為兩個鍊收斂到兩個不同的模式。
當stan采樣器完成模型參數的采樣後，使用DIC、WAIC、IS、iWAIC和iIS标準來進行模型選擇。為了計算iIS和iWAIC的綜合似然，我們在每次疊代中對每個時間點t抽樣100個ht。這個随機抽樣過程是根據計算出的ht |θ,h-t的分布完成的（詳見第三章）。當得到f(ht |θ,h-t)的樣本後，可以計算出相應的log f(y obs t |θ,h-t)。為了計算這個綜合似然，我們将f(ht |θ,h-t)的樣本插入y obs t的機率函數中，一次一個，以計算每個疊代中每個時間點的y obs t的總共100個對數比例的機率。最後，100個y obs t的對數似然性的平均值将提供一個理想的綜合對數似然性log f(y obs t |θ,h-t)的良好估計。然而，對于模型5來說，f(ht |θ,h-t)的樣本不能輕易地從一個明确的分布中獲得，綜合對數似然的近似值是通過數字正交的方法計算的。
4.2 标普100指數資料的實證研究
除了模拟研究，我們還使用了一組真實世界的股市資料（2010年9月至2015年8月的标普100股票指數資料）來拟合SV模型。标準普爾100指數包括100隻股票，這些股票幾乎占股票市場市值的45%。這個股票子集在資本市場上發揮着重要作用，是衡量金融市場整體實力的一個良好名額。是以，找到一個合适的方法來模拟标準普爾100指數資料是非常重要的。
在這項研究中，我們使用了2010年9月至2015年8月（1,258個交易日）标普100指數（從雅虎财經導出）的均值校正、連續複利的每日收益。總的來說，如圖4.3所示，這一時期的收益率上升，被認為是2008年股市下跌後的 "複蘇期"。然而，由于經濟狀況和貨币政策的頻繁變化，股票市場的波動率在不同時期有很大的不同。是以，将SV模型應用于股票市場資料是有意義的。
真實資料研究中的模型拟合過程與我們之前對模拟資料的研究相同。rstan軟體包被用來用股票市場資料拟合模型參數。馬爾科夫鍊的總疊代次數為20,000次，預燒期為10,000次。也就是說，前10,000個樣本被丢棄了。對于剩下的10,000個樣本，我們隻保留每10個樣本，以減少自相沖突。對每個模型中的資料集運作了兩條平行的馬爾科夫鍊，Rˆ結果（詳見表4.5）顯示，馬爾科夫鍊在預燒期後收斂了。模型參數的Rˆ值一般都接近于1，表明馬爾可夫鍊收斂效果良好。
所有的拟合參數都列在模型參數表中，如表4.6所示。從該表提供的結果可以看出，有些模型參數的絕對值非常小，而方差卻很大，說明這些參數與0沒有顯著差別。如果是這樣，相應的模型可能不是給定資料的好選擇。
當我們從MCMC抽樣過程中得到模型參數樣本後，分别應用DIC、nWAIC、iWAIC、nWAIC、nIS和iIS方法對模型進行選擇（詳見模拟研究）。表4.7列出的結果顯示，除了iWAIC方法外，其他五種模型選擇标準都選擇了模型4作為給定股市指數資料的最佳模型。此外，DIC、nWAIC、nIS和iIS方法在模型的好壞排序上也提供了非常相似的結果。然而，nWAIC方法選擇了模型8作為最佳模型。同樣對于nWAIC方法，其餘的排名結果也與其他的模型選擇标準非常不同。
結論和讨論
總之，根據模拟資料研究，HMC方法在模型參數的後驗分布中取樣是成功的。在測試的模型選擇方法中，DIC方法的效果相當好。DIC方法的良好表現可能是由于在大多數拟合的模型中，參數通常遵循多變量正态分布。此外，nIS也相當一緻，這表明重要性權重是糾正樂觀偏差的有效方法。此外，iIS 的結果顯示，與目前對數波動率 ht 相關的積分是進一步解決偏差問題的好方法。是以，iIS 方法能夠比 nIS 方法有所改進。但是，綜合方法可能并不總是一個好的選擇，因為它的計算成本很高。最後，在所有測試的方法中，nWAIC和iWAIC的性能都是最差的，這使得它們的理論基礎值得懷疑。根據這項研究，我們可以知道這兩種WAIC方法可能無法通過其公式準确地量化模型複雜性。
此外，對真實股市收益資料（2010年9月至2015年8月的标普100指數）的研究表明，根據模型選擇标準，最佳模型是模型4，這表明資料序列遵循ARMA過程。然而，由于所有的選擇标準都對模型4有強烈的偏好，即使真實的模型不是模型4，選擇這個模型作為最佳模型可能是一個錯誤。是以，次好的模型，模型2（非零預期收益模型），也是真實模型的良好候選。
在我們的研究中，我們使用馬爾科夫鍊蒙特卡洛方法來拟合我們的随機波動率模型，并随後使用五個不同的模型選擇标準（DIC，nWAIC，nIS，iWAIC，iIS）來評估模型。為了檢驗模型拟合算法的可靠性和模型選擇方法的一緻性，在使用任何真實資料之前，對模拟資料集做了初步研究。在模拟研究中，總共有100個資料集是由模型6單獨生成的，參數如下：µ = -10，φ = 0.96，τ = 0.345，β = 0.1，κ = 0.08，δ = 0.03。通過資料生成過程，我們既知道真實的模型，也知道模型參數的真實值。是以，我們能夠評估模型拟合方法的優劣，以及模型選擇标準的一緻性。
參考文獻
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Andersen, H. C. (1980), “Molecular dynamics simulations at constant pressure and/or temperature,” The Journal of Chemical Physics, 72, 2384–2393.
Andersen, T. G., Chung, H.-J., and Sørensen, B. E. (1999), “Efficient method of moments estimation of a stochastic volatility model: A Monte Carlo study,” Journal of Econometrics, 91, 61–87.
Andrews, D. F. and Mallows, C. L. (1974), “Scale mixtures of normal distributions,” Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 36, 99–102.
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