歐拉函數的兩種求法、線性篩、篩法求歐拉函數

1. 單次

\[\varphi(n)=n\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})

\]

1. 積性

\[a,b互質，則\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\\

p為質數，p|n，當p^2|n時，\varphi(n)=\varphi(n/p)p，當p^2\nmid n時，\varphi(n)=\varphi(n/p)(p-1)\\

第二行也就是：質數p，若p,q互質，則\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)，否則\varphi(pq)=p\varphi(q)

1. 線性篩

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[100000005],prime[100000005];
int main()
{
    //ios::sync_with_stdio(false);
    int n,q,k,m=0;
    cin>>n>>q;
    v[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!v[i]) prime[++m]=i;
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(i*prime[j]>n) break;
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    while(q--){
        cin>>k;
        cout<<prime[k]<<endl;
    }
    return 0;
}
           

1. 篩法求歐拉函數

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6;
int prime[N+5],eul[N+5],v[N+5];
int main()
{
	int m=0;
	v[1]=eul[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!v[i]){
			prime[++m]=i;
			eul[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(prime[j]*i>N) break;
			v[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j])
				eul[prime[j]*i]=eul[prime[j]]*eul[i];
			else {
				eul[prime[j]*i]=(eul[prime[j]]+1)*eul[i];
				break;
			}
		}
	} 
	int T,n;
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n;
		cout<<eul[n]<<endl;
	}
}